Решение простых уравнений
Найдите корень уравнения \(\dfrac{2}{9}x = 4\dfrac{1}{9}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: \(2x = 37\), что равносильно \(x = 18,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(-\dfrac{4}{3}x = 5\dfrac{2}{3}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Умножим левую и правую часть уравнения на \(-3\). После умножения: \(4x = -17\), что равносильно \(x = -4,25\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \(x^2 - 11x + 28 = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Дискриминант данного уравнения \(D = 121 - 28 \cdot 4 = 121 - 112 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{11 + 3}{2} = 7, \ x_2 = \dfrac{11 - 3}{2} = 4\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 7\) – больший корень уравнения.
Найдите корень уравнения \(2x^2 - 7x + 3 = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Дискриминант данного уравнения \(D = 49 - 24 = 25 = 5^2\). Корни \(x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3, \ x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = 0,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 0,5\) – меньший корень уравнения.
Найдите корень уравнения \((4x + 5)^2 = (4x + 4)^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16\), что равносильно \(8x = -9\), откуда \(x = -1,125\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((5x + 8)^2 = 160x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(25x^2 + 80x + 64 = 160x\), что равносильно \(25x^2 - 80x + 64 = 0\), что равносильно \((5x - 8)^2 = 0\), что равносильно \((5x - 8)(5x - 8) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{8}{5} = 1,6\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((2x + 11)^2 = 88x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(4x^2 + 44x + 121 = 88x\), что равносильно \(4x^2 - 44x + 121 = 0\), что равносильно \((2x - 11)^2 = 0\), что равносильно \((2x - 11)(2x - 11) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{11}{2} = 5,5\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
