Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей (страница 2)

Пусть \(A\) – сумма кредита в млн. рублей, а \(x\) – сумма выплаты во второй и четвертый годы в млн. рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до}&\text{Сумма долга после} &\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,1A&A&0,1A\\ \hline 2&A&1,1A&1,1A-x&x\\ \hline 3&1,1A-x&(1,1A-x)+0,1(1,1A-x)&1,1A-x&0,1(1,1A-x)\\ \hline 4&1,1A-x&1,1(1,1A-x)&1,1(1,1A-x)-x&x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года заемщик выплатил весь кредит, то сумма долга после выплаты будет равна нулю, то есть \[1,1(1,1A-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{121}{210}A \quad (*)\] Т.к. общая сумма выплат заемщика должна превысить \(100\) млн. рублей, то получаем следующее неравенство: \[0,1A+x+0,1(1,1A-x)+x>100\quad\Leftrightarrow\quad 21A+190x>10\,000.\] Подставим в это неравенство выражение \((*)\) и получим: \[A>\dfrac{210\,000}{2740}\quad\Rightarrow\quad A>76,...\] Т.к. \(A\) – целое число млн. рублей, то наименьшее \(A=77\) млн. рублей.

Если в кредит было взято \(A\) рублей, а в первый месяц пользования кредитом после начисления процентов долг стал равен \(1,1A\) рублей, то \[1,1=\dfrac{100+y}{100},\] где \(y\) – процентная ставка в банке. Следовательно, решая уравнение, находим, что \(y=10\%\).
Составим новую таблицу, в которой будем следить за тем, как меняется сумма долга ДО начисления процентов (например, чему равна сумма долга 12 числа каждого месяца). \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 12.03 & 12.04 &12.05 & 12.06 & 12.07 & 12.08 & 12.09 \\ \hline &&&&&&&\\[0.5ex] \text{Долг} & \dfrac{1,1A}{1,1}=A & \dfrac{0,935A}{1,1}=0,85A & \dfrac{0,77A}{1,1}=0,7A & \dfrac{0,66A}{1,1}=0,6A & \dfrac{0,44A}{1,1}=0,4A & \dfrac{0,165A}{1,1}=0,15A & 0\\ &&&&&&&\\[0.5ex] \hline \end{array}\] Следовательно, платежи в каждый месяц равны: \[\begin{aligned} &x_1=0,1A+0,15A=0,25A\\ &x_2=0,1\cdot 0,85A+0,15A=0,235A\\ &x_3=0,1\cdot 0,7A+0,1A=0,17A\\ &x_4=0,1\cdot 0,6A+0,2A=0,26A\\ &x_5=0,1\cdot 0,4A+0,25A=0,29A\\ &x_6=0,1\cdot 0,15A+0,15A=0,165A \end{aligned}\] Тогда наибольший платеж — это \(x_5\).
Для того, чтобы найти \(x_5\), нужно найти \(A\). Для этого используем условие про переплату. Переплата равна: \[111\,000=0,1A+0,1\cdot 0,85A+0,1\cdot 0,7A+ 0,1\cdot 0,6A+0,1\cdot 0,4A+0,1\cdot 0,15A = 0,37A \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{111\,000}{0,37}=300\,000\] Таким образом, \[x_5=0,29A=87\,000\]

Пусть Марина взяла в долг у банка \(A\) рублей. Пусть в первый год платеж Марины равен \(x\) рублям. Тогда, исходя из условия задачи, \(2x\) – платеж во второй год, \(3x\) – в третий, \(4x\) – в четвертый. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга после начисления }\% & \text{Сумма долга после платежа} \\ \hline 1 & 1,125\cdot A & 1,125\cdot A-x \\ \hline 2 & 1,125(1,125\cdot A-x) & 1,125(1,125\cdot A-x)-2x \\ \hline 3 & 1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x) & 1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x)-3x\\ \hline 4 & 1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)- & 1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-\\ & -2x)-3x) & -2x)-3x)-4x\\ \hline \end{array}\]

Тогда имеем следующее уравнение (т.к. к концу четвертого года долг банку равен нулю):

\(1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x)-3x)-4x=0 \quad \Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow \quad 1,125^4\cdot A-x(1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4)=0\)

Заметим, что всего Марина за время пользования кредитом заплатила банку \(x+2x+3x+4x=10x\) рублей. Значит, необходимо найти величину:

\[\dfrac{10x}{A}\cdot 100\%\]

Выразим из полученного уравнения \(x\):

\[x=\dfrac{1,125^4\cdot A}{1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4}\]

Значит, необходимо найти:

\[\dfrac{10\cdot 1,125^4\cdot A}{A\cdot (1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4)}\cdot 100= \dfrac{1000\cdot 1,125^4}{1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4}\]

Заметим, что \(1,125=\frac98\). Следовательно:

\[\dfrac{1000\cdot 9^4}{8^4\cdot \left( \left(\frac98\right)^3+2\cdot \left( \frac98\right)^2+3\cdot \left( \frac98\right)+4\right)}= \dfrac{1000\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^3+2\cdot 9^2\cdot 8+3\cdot 9\cdot 8^2+4\cdot 8^3\right)}=\dfrac{1000\cdot 6561}{46408}\]

Выполнив деление в столбик \(6561\div 46408\), получим \(0,1413...\), тогда все выражение равно \(141,3...\)
Округляя до целого числа, получим \(141\%\).

Пусть \(p=0,01r\), тогда \(p\leqslant 0,1\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг на 10 число} & \text{Долг на 16 число} & \text{Платеж} \\ \hline 01 & A & A+pA & pA+0,2A=x_1 \\ \hline 02 & 0,8A & 0,8A+p\cdot 0,8A & p\cdot 0,8A+0,15A=x_2\\ \hline 03 & 0,65A & 0,65A+p\cdot 0,65A & p\cdot 0,65A+0,25A=x_3\\ \hline 04 & 0,4A & 0,4A+p\cdot 0,4A & p\cdot 0,4A+0,15A=x_4\\ \hline 05 & 0,25A & 0,25A+p\cdot 0,25A & p\cdot 0,25A+0,15A=x_5\\ \hline 06 & 0,1A & 0,1A+p\cdot 0,1A & p\cdot 0,1A+0,1A=x_6\\ \hline \end{array}\]

Определим наибольший платеж. Заметим, что \(x_2>x_4>x_5>x_6\) (действительно, например, \(x_2>x_4\), так как \(0,8p>0,4p\), потому как \(p\) положительное, а второе слагаемое у них одинаковое).
Также \(x_1>x_2\). Следовательно, претенденты на наибольший платеж – это \(x_1\) и \(x_3\). Так как \(0<p\leqslant 0,1\), то \(0,2<p+0,2\leqslant 0,3\) и \(0,25<0,65p+0,25\leqslant 0,315\). Графики выглядят так:



Следовательно, видим, что \(x_3>x_1\) при любом \(p\in (0;0,1]\). Таким образом, наибольший платеж – это \(x_3\).

Определим наименьший платеж. Из предыдущих рассуждений заключаем, что \(x_3>x_1>x_2>x_4>x_5>x_6\). Таким образом, наименьший платеж – это \(x_6\).

Следовательно: \[\begin{cases} (0,65p+0,25)A=517\,125\\ (0,1p+0,1)A=187\,250 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} A=1\,750\,000\\ p=0,07 \end{cases}\]

Тогда переплата по кредиту равна \[\begin{aligned} &pA+p\cdot 0,8A+p\cdot 0,65A+p\cdot 0,4A+p\cdot 0,25A+p\cdot 0,1A=\\[1ex] &=0,07\cdot 1\,750\,000\cdot (1+0,8+0,65+0,4+0,25+0,1)=392\,000 \end{aligned}\]

Введем обозначения: \(A=800\,000\) рублей – сумма, оплаченная по кредитной карте, \(t=1,04\), \(x=10\,000\) рублей.

\[\small{\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Долг на 4 число}&\text{Долг на 10 число}& \text{Долг на 20 число}&\text{Долг на 30 число}&\text{Обязательный платеж}\\ \hline A & tA & tA-x & t(tA-x) & a_1\\ \hline 0,9A & t\cdot 0,9A & t\cdot 0,9A-x & t(t\cdot 0,9A-x) & a_2\\ \hline 0,7A & t\cdot 0,7A & t\cdot 0,7A-x & t(t\cdot 0,7A-x) & a_3\\ \hline 0,5A & t\cdot 0,5A & t\cdot 0,5A-x & t(t\cdot 0,5A-x) & a_4\\ \hline 0,2A & t\cdot 0,2A & t\cdot 0,2A-x & t(t\cdot 0,2A-x) & a_5\\ \hline \end{array}}\]

Вычислим \(a_i\) обязательные платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен \(t(tA-x)\), а после платежа должен стать равным \(0,9A\), то платеж \(a_1=t(tA-x)-0,9A=t^2A-tx-A+0,1A=(t^2-1)A-tx+0,1A\) (расписали \(0,9A=A-0,1A\)).

Аналогично второй платеж \(a_2=t^2\cdot 0,9A-tx-0,7A=t^2\cdot 0,9A-tx-0,9A+0,2A=(t^2-1)\cdot 0,9A-tx+0,2A\);
третий платеж \(a_3=(t^2-1)\cdot 0,7A-tx+0,2A\);
четвертый платеж \(a_4=(t^2-1)\cdot 0,5A-tx+0,3A\);
пятый платеж \(a_5=(t^2-1)\cdot 0,2A-tx+0,2A\).

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в \(x\) рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

\(5\cdot x+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5x+(t^2-1)\cdot A\cdot(1+0,9+0,7+0,5+0,2)-5tx+\)

\(+A(0,1+0,2+0,2+0,3+0,2)=5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx+A\)

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом \(A\), то есть переплата равна \(5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx\).

Значит, относительно суммы кредита переплата составила:

\(\dfrac{5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx}{A}\cdot 100\%= \left(3,3(t-1)(t+1)-\dfrac{5x(t-1)}{A}\right)\cdot 100\%= \)  

\(=\left( 3,3\cdot 0,04\cdot 2,04-\dfrac{5\cdot 10\,000\cdot 0,04}{800\,000}\right)\cdot 100\%=(26,928-0,25)\%=26,678\%\)

Пусть кредит выдается на сумму \(A\) рублей, а платеж, который вносит клиент в первый и третий годы, равен \(x\) рублей. Пусть также \(y\%\) – годовой процент по кредиту; тогда введем переменную \(1+0,01y=p\). Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до} &\text{Сумма долга после} &\text{Сумма платежа}&\text{Сумма долга}\\ &\text{начисления }\% &\text{начисления }\% & &\text{после платежа}\\ \hline 1& A & pA & x & pA-x \\ \hline 2& pA-x & pA-x+0,01y(pA-x) & 0,01y(pA-x) & pA-x\\ \hline 3& pA-x & p(pA-x) & x & p(pA-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что в таблице мы для наглядности записывали \(0,01y\), а не \(p-1\).

Т.к. кредит в конце третьего года должен быть выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

\[p(pA-x)-x=0 \quad \Rightarrow \quad p^2A-x(p+1)=0\]

По условию задачи общая сумма выплат должна составлять не менее \(150\%\) от суммы кредита \(A\). Значит, имеем следующее неравенство (будем писать вместо \(0,01y\) выражение \(p-1\)):

\[x+(p-1)(pA-x)+x\geqslant 1,5A \quad \Rightarrow \quad A(p^2-p)+x(3-p)\geqslant 1,5A\]

Выразим из вышеполученного уравнения \(x=\dfrac{p^2A}{p+1}\) и подставим в неравенство:

\[A(p^2-p)+(3-p)\cdot \dfrac{p^2A}{p+1}\geqslant 1,5A \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6p^2-5p-3}{p+1}\geqslant 0\]

Т.к. \(p+1>0\), то решение данного неравенства совпадает с решением неравенства \(6p^2-5p-3\geqslant 0\).

Т.к. \(y\) кратно десяти, то возможные варианты для \(p\) – это \(1,1; \ 1,2; \ 1,3\) и т.д. Подставим по очереди каждое число и найдем наименьшее подходящее.
Таким образом, это \(p=1,3\): \(6\cdot 1,3^2-5\cdot 1,3-3=0,64>0\).

Значит, \(y=30\%\).

Т.к. сумма долга каждый месяц должна уменьшаться на одну и ту же величину, а долг необходимо погасить за 5 месяцев, то это значит, что долг разбили на 5 равных частей и каждый месяц он уменьшается на одну такую часть. То есть если долг был равен \(A\) рублей, то в конце первого месяца он будет равен \(A-\frac15A=A-0,2A=0,8A\), в конце второго: \(0,8A-0,2A=0,6A\), в конце третьего: \(0,6A-0,2A=0,4A\) и т.д.

Составим таблицу. Для удобства введем обозначения: \(A=1000\) тыс. рублей, \(1,001=t\):

\[\small{\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Долг на 1 число}&\text{Долг на 9 число}& \text{Долг на 15 число}&\text{Долг на 27 число}&\text{Обязательный платеж}\\ \hline A & tA & tA-1 & t(tA-1) & a_1\\ \hline 0,8A & t\cdot 0,8A & t\cdot 0,8A-1 & t(t\cdot 0,8A-1) & a_2\\ \hline 0,6A & t\cdot 0,6A & t\cdot 0,6A-1 & t(t\cdot 0,6A-1) & a_3\\ \hline 0,4A & t\cdot 0,4A & t\cdot 0,4A-1 & t(t\cdot 0,4A-1) & a_4\\ \hline 0,2A & t\cdot 0,2A & t\cdot 0,2A-1 & t(t\cdot 0,2A-1) & a_5\\ \hline \end{array}}\]

Вычислим \(a_i\) платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен \(t(tA-1)\), а после платежа должен стать равным \(0,8A\), то платеж \(a_1=t(tA-1)-0,8A=t^2A-t-A+0,2A=(t^2-1)A-t+0,2A\) (расписали \(0,8A=A-0,2A\)).

Аналогично второй платеж \(a_2=t^2\cdot 0,8A-t-0,6A=t^2\cdot 0,8A-t-0,8A+0,2A=(t^2-1)\cdot 0,8A-t+0,2A\);
третий платеж \(a_3=(t^2-1)\cdot 0,6A-t+0,2A\);
четвертый платеж \(a_4=(t^2-1)\cdot 0,4A-t+0,2A\);
пятый платеж \(a_5=(t^2-1)\cdot 0,2A-t+0,2A\).

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в \(1\) тыс.рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

\(5\cdot 1+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5+(t^2-1)\cdot A\cdot(1+0,8+0,6+0,4+0,2)-5t+5\cdot 0,2 A=\)

\(=5+(t^2-1)\cdot 3A-5t+A\)

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом \(A\):

\[\left(5+(t^2-1)\cdot 3A-5t+A\right)-A=3A\cdot (t^2-1)-5(t-1) \quad \Rightarrow\]

Делая подстановку \(A=1000\), \(t=1,001\), получим:

\[\Rightarrow \quad 3\cdot 1000\cdot 2,001\cdot 0,001-5\cdot 0,001= 5,998\text{ тыс.рублей}=5998 \text{ рублей}\]