Задачи на прямолинейное движение (страница 5)
Если тело движется с постоянной скоростью, то пройденное им расстояние удовлетворяет следующей формуле: \[{\large{S=v\cdot t}}\] где \(v\) — его скорость, \(t\) — время, в течение которого оно двигалось.
Другие вариации данной формулы: \(v=\dfrac St\) и \(t=\dfrac Sv\)
Некоторые частные случаи:
\(\blacktriangleright\) Когда два тела движутся навстречу друг другу со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) соответственно, то \(v_1+v_2\) — их скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, \(t\) — время, через которое они встретились, то:
\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся в противоположном направлении (например, из одной точки), то \(v_1+v_2\) — их скорость удаления. Тогда расстояние \(S\) между ними через время \(t\):
\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся друг за другом, то:
\((1) \quad v_1>v_2\). Тогда первое тело догонит второе через некоторой время \(t\).
\(v_1-v_2\) — скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними в начале движения, то:
\((2) \quad v_1<v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе и расстояние между ними будет только увеличиваться.
\(v_2-v_1\) — скорость удаления. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, то через время \(t\) расстояние между ними будет:
\((3) \quad v_1=v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе, но расстояние между ними всегда будет оставаться одинаковым.
Из города N в город M, расстояние между которыми 36 км, выехал автомобиль со скорость 46 км/ч. Одновременно с ним из города M в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 21 км?
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.
Заметим, что так как впереди находится второй (медленный) автомобиль, то сначала автомобили будут сближаться (до того момента, как первый догонит второго), а затем будут удаляться.
Так как расстояние между ними в начале движения 36 км и \(36>21\), то первый раз расстояние в 21 км между ними будет, пока они сближаются, а второй раз – когда они будут отдаляться.
Скорость сближения автомобилей равна \(46-40=6\) км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 36 км до 21 км, то есть на \(36-21=15\) км. Следовательно, первый раз это произойдет через \(15:6=2,5\) часа.
Теперь найдем, через сколько часов после начала движения первый догонит второго. Это значит, что расстояние между ними должно стать равным 0 км. Значит, должно измениться на 36 км. Следовательно, время встречи равно \(36:6=6\) часов.
Значит, спустя 6 часов движения картинка выглядит так:
Скорость отдаления также равна 6 км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 0 км до 21 км, следовательно, на 21 км, следовательно, это произойдет через \(21:6=3,5\) часа после встречи. Значит, второй раз расстояние между ними будет равно 21 км через \(6+3,5=9,5\) часов.
Так как в задаче два ответа, то в бланк мы запишем \(2,5+9,5=12\)
Бегун Вася установил рекорд на дистанции \(L\) метров, пробежав её с постоянной скоростью \(v\) км/ч (его время наименьшее за всю историю человечества). Илья хочет повторить результат Васи или побить его рекорд. Он знает, что в течение некоторого времени он сможет поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, а потом его скорость упадёт до \(0,8v\) км/ч и сохранится такой до конца дистанции. Какую часть дистанции Илья должен поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, чтобы результат его устроил? Если в задаче возможны несколько ответов – выберите наименьший.
Обозначим через \(l\) км длину первого участка (где скорость Ильи равна \(1,2v\) км/ч), тогда суммарное время Ильи на всей дистанции равно \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\]
Так как Илью устроит любое время, не большее, чем у Васи, то \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\leqslant \dfrac{L}{v}\,,\] что равносильно \[0,8l + 1,2(L - l)\leqslant 0,96L\qquad\Leftrightarrow\qquad l\geqslant 0,6L\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{l}{L}\geqslant 0,6\,.\]
Таким образом, наименьший ответ равен \(0,6\).
Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах.
Пусть \(x\) км/ч – скорость автомобиля. Пусть \(y\) км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно \(\dfrac yx\) (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно \(\dfrac y{90}\) (ч).
Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, \[\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\] Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил \(\dfrac{403}x\) (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил \(\dfrac {2y}{90}\). Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: \[\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90}\] Это второе уравнение. Составим систему: \[\begin{cases}
\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\\[2ex]
\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90} \end{cases}\] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x=\dfrac{90y}{90+y}\) и подставим во второе уравнение, получим: \[2y^2-313y-403\cdot 90=0\] Дискриминант \(D=313^2+2\cdot 4\cdot 403\cdot 90=388\,129\). Извлечем корень из данного числа. Так как \(600^2=360\,000\), а \(700^2=490\,000\), то \(600<\sqrt{388\,129}<700\). Так как \(61^2=3721\), \(62^2=3844\), \(63^2=3969\), то \(620<\sqrt{388\,129}<630\). Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\) следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\) и \(7\) (\(3^2=9, 7^2=49\)). Проверим: \(623^2=388\,129\). Таким образом, \(\sqrt{D}=623\).
Найдем корни: \[y_{1,2}=\dfrac{313\pm623}{4}\quad\Rightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&y=234\\&y=-77,5\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(y\) – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень \(y=234\).
