Задачи с параметром

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-3\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае левая часть равна \(0\), а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) \(a\ne 0\). Тогда \(x=-\dfrac{3}{a}\).

Уравнение можно переписать в виде \(ax=-a^2\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае левая и правая части равны \(0\), следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a\ne 0\). Тогда \(x=-a\).

Неравенство можно переписать в виде \(ax\geqslant -\dfrac{5}{4}\). Рассмотрим три случая:

1) \(a=0\). Тогда неравенство принимает вид \(0\geqslant -\dfrac{5}{4}\), что верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a>0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, \(x\geqslant -\dfrac{5}{4a}\).

3) \(a<0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\).

Преобразуем неравенство к виду: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).

2) \(a\ne 0\). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.

Следовательно, уравнение \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) всегда имеет два корня \(x_1=-3a, x_2=\dfrac{2}{a}\). Таким образом, неравенство примет вид:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Если \(a>0\), то \(x_1<x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вверх, значит, решением являются \(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty)\).

Если \(a<0\), то \(x_1>x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вниз, значит, решением являются \(x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a]\).

Преобразуем неравенство: \((a-1)(a-2)x \geqslant a-2\). Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи:

1) \(a=2\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant 0\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

2) \(a=1\). Тогда неравенство примет вид \(0 \geqslant -1\), что верно при любых значениях \(x\), следовательно, множество решений содержит полуинтервал \([2;3)\).

3) \((a-1)(a-2)>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\). Тогда:

\(x\geqslant \dfrac{1}{a-1}\). Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал \([2;3)\), необходимо, чтобы

\(\dfrac{1}{a-1} \leqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{3-2a}{a-1} \leqslant 0 \Rightarrow a\in (-\infty; 1)\cup [1,5; +\infty)\).

Учитывая условие \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\), получаем \(a\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)\).

4) \((a-1)(a-2)<0 \Leftrightarrow a\in (1;2)\). Тогда:

\(x\leqslant \dfrac{1}{a-1} \Rightarrow \dfrac{1}{a-1} \geqslant 3\).

Действуя аналогично случаю 3), получаем \(a\in (1; \dfrac{4}{3}\big]\).

Рассмотрим два случая:

1) \(a=0\). Тогда уравнение является линейным: \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\). То есть уравнение имеет один корень.

2) \(a\ne 0\). Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант: \(D=9a^2-2a+1\).

Рассмотрим уравнение \(9a^2-2a+1=0\): \(D'=4-36<0\), следовательно, уравнение \(9a^2-2a+1=0\) не имеет корней. Значит, выражение \((9a^2-2a+1)\) принимает значения строго одного знака: либо всегда положительно, либо отрицательно. В данном случае оно положительно при любых \(a\) (в этом можно убедиться, подставив вместо \(a\) любое число).

Таким образом, \(D=9a^2-2a+1>0\) при всех \(a\ne 0\). Значит, уравнение \(ax^2+(3a+1)x+2=0\) всегда имеет два корня: \(x_{1,2}=\dfrac{-3a-1\pm \sqrt D}{2a}\)

Данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-2a \\ &3-(a+1)x=0 \qquad (*) \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Рассмотрим два случая:

1) \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\). В этом случае уравнение \((*)\) равносильно \(3=0\), то есть не имеет решений.

Тогда вся система равносильна \( \begin{cases} x\geqslant 2\\ x=2 \end{cases} \Leftrightarrow x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \Rightarrow a\ne -1\). В этом случае система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3{a+1} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система будет иметь одно решение, если \(x_2\leqslant -2a\), и два решения, если \(x_2>-2a\):

2.1) \(\dfrac3{a+1}\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) имеем один корень \(x=-2a\).

2.2) \(\dfrac3{a+1}>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) имеем два корня \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3{a+1}\).