Механические колебания (страница 2)
Найдите период вертикальных гармонических колебаний небольшого сосуда, плавающего на поверхности воды в вертикальном положении дном вниз, если его масса 500 г, а площадь дна 50 см\(^2\). Трением пренебречь. Ответ дайте в мс.
При изменении погружения бутылки на \(x\), будет возникать возвращающая сила Архимеда, равная \[\rho g xS\] По второму закону Ньютона \[\rho g x S =ma \Rightarrow a=\dfrac{\rho g x S}{m}\] При этом ускорение сосуда будет направлено в сторону, обратную изменению глубины погружения, то есть, используя уравнение гармонических колебаний, получим \[a-\omega^2 x=0 \Leftrightarrow \dfrac{\rho g x S}{m}-\omega^2 x=0\] Откуда циклическая частота \[\omega=\sqrt{\dfrac{\rho g S}{m}}\] Период колебаний равен \[T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{\rho g S}}=2 \cdot 3,14 \sqrt{\dfrac{0,5 \text{ кг}}{1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 50\cdot 10^{-4}\text{ м$^2$}}}=628\text{ мс}\]
В \(U\) – образную трубку площадью сечения 40 см\(^2\) налили 80 г воды. Найдите циклическую частоту свободных колебаний воды в трубке. Ответ дайте в рад/с.
При изменении высоты воды в одном колене на \(x\), высота во втором колене изменяется на \(-x\), значит, возвращающая сила будет равна \[F=\rho g S(h-(-h))=2\rho g Sч,\] где \(\rho\) – плотность воды, \(S\) – площадь поперечного сечения трубки.
По второму закону Ньютона \[F=ma \Leftrightarrow 2\rho g Sh=ma \Rightarrow a=\dfrac{2\rho g Sh}{m}\] При этом ускорение сосуда будет направлено в сторону, обратную изменению глубины погружения, то есть, используя уравнение гармонических колебаний, получим \[a-\omega^2 x=0 \Leftrightarrow \dfrac{\rho g x S}{m}-\omega^2 x=0\] Откуда циклическая частота \[\omega=\sqrt{\dfrac{2\rho g S}{m}}=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 40\cdot 10^{-4}\text{ м$^2$}}{0,08\text{ кг}}}=10\text{ рад/с}\]
Однородный цилиндр подвесили в вертикальном положении на пружине жесткостью 140 Н/м. Во сколько увеличится частота малых вертикальных колебаний цилиндра, если его частично погрузить в воду? Трением пренебречь. Площадь сечения цилиндра 30 см\(^2\). \(g=9,8\) м/с\(^2\)
В первом случае циклическая частота равна \[\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\] Во втором случае при изменении погружения бутылки на \(x\), будет возникать возвращающая сила Архимеда, равная \[\rho g xS\] а также возвращающая сила натяжения пружины, то есть По второму закону Ньютона \[\rho g x S+kx =ma \Rightarrow a=\dfrac{\rho g x S+kx}{m}\] При этом ускорение сосуда будет направлено в сторону, обратную изменению глубины погружения, то есть, используя уравнение гармонических колебаний, получим \[a-\omega^2 x=0 \Leftrightarrow \dfrac{\rho g x S}{m}-\omega^2 x=0\] Откуда циклическая частота \[\omega=\sqrt{\dfrac{\rho g S+k}{m}}\] Частота находится по формуле: \[\nu=\dfrac{\omega}{2\pi}\] Найдем отношение частот и получим \[\dfrac{\nu_2}{\nu_1}=\dfrac{\omega_2}{\omega_1}=\sqrt{\dfrac{\rho g S+k}{k}}=\sqrt{1+\dfrac{\rho g S}{k}}=\sqrt{1+\dfrac{1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 9,8\text{ Н/кг}\cdot 30\cdot 10^{-4}\text{ м$^2$}}{140\text{ Н/м}}}=1,1\]
