Влажность. Водяной пар

Относительная влажность равна: \[f=\dfrac{p}{p_\text{н}}\cdot 100\%,\] где \(p\) – давление газа.
Тогда для вдыхаемого и выдыхаемого воздуха давление равно \[p_1=0,6p_\text{н}\] \[p_2=p_\text{ н}\] По уравнению Клапейрона– Менделеева: \[pV=\nu RT=\dfrac{m}{M}RT,\] где \(\nu\) – количество вещества, \(m\) – масса газа, \(T\) – температура в Кельвинах.
Выразим массу водяных паров \[m=\dfrac{pVM}{RT}\] Откуда изменение массы за 1 вдох \[\Delta m =m_2-m_1=\dfrac{p_2VM}{RT}-\dfrac{p_1VM}{RT}=\dfrac{VM}{RT}0,4p_\text{ н}=\dfrac{2,5\cdot 10^{-3}\text{ м$^3$}\cdot 18\cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}}{8,3\text{Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot 309\text{ К}}\cdot 0,4 \cdot 5,9 \cdot 10^{3} \text{ Па}=4,1\cdot 10^{-5}\text{ кг}\] Это потеря за 1 вдох и выход, за час делается \(N=60\cdot n=900\) вдохов. Откуда потери за час \[\Delta M=900\Delta m=900\cdot 4,1\cdot 10^{-5}\text{ кг}=0,0369\text{ кг}=37\text{ г}\]

За 1,5 часа работы увлажнителя испарится 0,2 \(\cdot\) 1,5 = 0,3 л воды, т. е. 0,3 кг воды. Парциальное давление этих водяных паров \(p=\dfrac{mRT}{MV}= \dfrac{0,3\cdot 8,31 \cdot 283}{0,018\cdot 60}\approx 650\) Па. А значит, относительная влажность в комнате увеличится на \(\dfrac{650}{1230}\cdot 100\%\approx 53\%\). Таким образом, относительная влажность воздуха равна \(30\%+53\%=83\%\)

Относительная влажность для первого и второго сосудов соответственно равна: \[\varphi_1=\dfrac{\rho_1}{\rho_o}\cdot 100\%\] \[\varphi_2=\dfrac{\rho_2}{\rho_o}\cdot 100\%\] где \(\rho\) — плотность водяных паров в первом и втором сосуде, \(\rho_{o}\) — плотность насыщенных водяных паров.
Выразим плотность водяных паров для каждого сосуда: \[\hspace{10 mm} \rho_1=\dfrac{\varphi_1\cdot \rho_o }{100\%} \hspace{10 mm} (1)\] \[\hspace{10 mm} \rho_2=\dfrac{\varphi_2\cdot \rho_o }{100\%} \hspace{10 mm} (2)\] Масса находится через плотность воздуха и объемы сосудов, которые он занимает: \[m_1=\rho_1 V_1\] \[m_2=\rho_2 V_2\] Так как сосуды объединяют, то масса, получившаяся в результате объединений, равна: \[m=m_1+m_2\] Тогда плотность получившейся смеси: \[\rho=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\] Относительная влажность после открытия крана будет равна: \[\varphi=\dfrac{\rho}{\rho_o}\cdot 100\%=\dfrac{m_1+m_2}{\rho_o(V_1+V_2)}=\dfrac{\rho_1 V_1+\rho_2 V_2}{\rho_o(V_1+V_2)}\] С учетом (1) и (2): \[\varphi =\dfrac{ \varphi_1 V_1+\varphi_2 V_2}{V_1+V_2}\]

\[\varphi = \dfrac{40\% \cdot30\text{ л}+50\% \cdot 40\text{ л}}{30\text{ л}+40\text{ л}}\approx 45,7 \%\]

Относительная влажность для первого и второго сосудов соответственно равна: \[\varphi_1=\dfrac{\rho_1}{\rho_o}\cdot 100\%\] \[\varphi_2=\dfrac{\rho_2}{\rho_o}\cdot 100\%\] где \(\rho\) — плотность водяных паров в первом и втором сосуде, \(\rho_{o}\) — плотность насыщенных водяных паров.
Выразим плотность водяных паров для каждого сосуда: \[\hspace{10 mm} \rho_1=\dfrac{\varphi_1\cdot \rho_o }{100\%} \hspace{10 mm} (1)\] \[\hspace{10 mm} \rho_2=\dfrac{\varphi_2\cdot \rho_o }{100\%} \hspace{10 mm} (2)\] Масса находится через плотность воздуха и объемы сосудов, которые он занимает: \[m_1=\rho_1 V_1\] \[m_2=\rho_2 V_2\] Так как сосуды объединяют, то масса, получившаяся в результате объединений, равна: \[m=m_1+m_2\] Тогда плотность получившейся смеси: \[\rho=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\] Относительная влажность после открытия крана будет равна: \[\varphi=\dfrac{\rho}{\rho_o}\cdot 100\% =\dfrac{m_1+m_2}{\rho_o(V_1+V_2)}=\dfrac{\rho_1 V_1+\rho_2 V_2}{\rho_o(V_1+V_2)}\] С учетом (1) и (2): \[\; \; \; \varphi =\dfrac{ \varphi_1 V_1+\varphi_2 V_2}{V_1+V_2} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \varphi(V_1+V_2)=\varphi_1 V_1+ \varphi_2 V_2\] Поделим уравнение на объем второго сосуда и получим: \[\varphi \left(\dfrac{V_1}{V_2}+1\right)=\varphi_1\dfrac{V_1}{V_2}+\varphi_2\] Найдем отношение объемов сосудов: \[\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{50\% - 45,7\%}{45,7\%-40\%} \approx 0,75\]

Относительная влажность воздуха находится по формуле: \[\hspace{10 mm} \varphi=\dfrac{p}{p_o}\cdot 100\% \hspace{8 mm} (1)\] где \(p\) — давление паров воды, \(p_o\) — давление насыщенного пара при данной температуре.
Выразим из (1) давление паров воды: \[\hspace{10 mm} p=\dfrac{\varphi \cdot p_o}{100\%} \hspace{10 mm} (2)\] Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для водяного пара: \[\hspace{10 mm} pV=\nu R T \hspace{10 mm} (3)\] где \(V\) — объем, занимаемый водяным паром, \(\nu\) — количество вещества пара, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура водяного пара в Кельвинах.
Количество вещества пара найдем по формуле: \[\hspace{15 mm} \nu=\dfrac{m}{M} \hspace{15 mm} (4)\] где \(m\) — масса пара, \(M\) — молярная масса воды.
Подставим (2) и (4) в (3): \[\dfrac{\varphi p_o}{100\%}V=\dfrac{m}{M}RT\] Выразим массу водяных паров, содержащихся в одном кубическом метре воздуха: \[m=\dfrac{\varphi p_o}{100\%}V\cdot\dfrac{M}{RT}\] \[m=\dfrac{50\% \cdot 5945\text{ Па}\cdot1\text{ м}^3 \cdot0,018\text{ кг/моль}}{100\%\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$ К)}\cdot309\text{ К}} \approx 0,0208\text{ кг} = 20,8\text{ г}\]

Переведем градусы Цельсия в Кельвины: 27\(^\circ\)С = 300 К
Парциальное давление водяного пара при относительной влажности \(\varphi_1\) равно: \[p_1 = \varphi_1 p_{\text{н.п.}}\] Из уравнения Менделеева – Клапейрона: \[p_1V = \dfrac{m_1}{M} RT\] где \(p_1\) — давление газа при температуре t= 27 \(^\circ\)С, \(V\) — объем газа, \(m_1\) — масса газа при температуре t= 27\(^\circ\), \(M\) — молярная масса водяных паров, \(R\) — универсальная газовая постоянная, а \(T\) — температура газа в Кельвинах.
Находим начальную массу пара, содержащегося в комнате: \[\; \; \; m_1=\dfrac{\varphi_1 p_{\text{н.п.}}MV}{RT} \; \; \; (1)\] Аналогично при относительной влажности \(\varphi_2\) масса пара равна: \[\; \; \; m_2=\dfrac{\varphi_2 p_{\text{н.п.}}MV}{RT} \; \; \; (2)\] \[\; \; \; \Delta m=m_2-m_1=\tau \mu \; \; \; (3)\] Выразим из (3) время \(\tau\) и подставим (1), (2): \[\tau=\dfrac{m_2-m_1}{\mu}=\dfrac{(\varphi_2-\varphi_1) p_{\text{н.п.}}MV}{\mu RT}\] \[\tau=\dfrac{0,6\cdot3665\text{ Па}\cdot18\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}\cdot50\text{ м$^3$}\cdot3600\text{ с}}{2\text{ кг}\cdot8,31\text{ Дж/(моль$\cdot$К)}\cdot300\text{ К}}\approx 1428 \text{ с}\]

1. При\( t = 100^\circ\) давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению: \(10^5\) Па.
2. Так как давление увеличилось в 4 раза, а объем в 5, то значит, что часть влажного воздуха сконденсировалась и стала водой.
3. Запишем закон Дальтона для двух случаев \[\begin{cases} 1 & p_1=p_1\text{ сух}+ \phi p_0 \\ 2: & p_2=np_1=kp_\text{ сух}+1 \cdot p_0 \\ \end{cases}\] где \(p_2\) – давление в конечном состоянии, \(p_\text{ сух}\) – давление воздуха, \(p_0\) – атмосферное давление.
Исключим \(p_\text{ сух}\) \[np_1=k\left(p_1-\phi p_0\right) +p_0\] Выразим отсюда начальную влажность \[\phi=\dfrac{\left(k-n\right)p+p_0}{kp_0}=\dfrac{\left(5-3\right)1,5\cdot 10^5 \text{ Па}+10^5 \text{ Па}}{5\cdot 10^5 \text{ Па}} = 80 \%\]