Волновая оптика
При исследовании спектра ртути с помощью дифракционной решётки и гониометра (прибора для точного измерения углов дифракции света) было обнаружено, что в спектре 3-го порядка вблизи двойной жёлтой линии ртути со средней длиной волны \(\lambda_1= 578\) нм видна сине-фиолетовая линия 4-го порядка. Оцените её длину волны \(\lambda_2\) (в нм).
Формула для дифракционной решетки: \[dsin\alpha=m_3\lambda_1=m_4\lambda_2\] \(d\) – период дифракционной решетки, \(m\) – порядок дифракционного максимума, \(\lambda\) – длина волны, \(\alpha\) – угол наблюдения данного максимума. Максимальный синус равен 1, следовательно: \[\lambda_2=\frac{m_3\lambda_1}{m_4}=\frac{3\cdot578\text{ нм}}{4}=434 \text{ нм}\]
Определите постоянную дифракционной решетки (в нм), если при нормальном падении света на решетку зеленая линия спектра лампы (длина волны 550 нм) наблюдается в пятом порядке под углом \(30^{\circ}\).
Формула для дифракционной решетки: \[d\sin\alpha=m\lambda\] \(d\) – постоянная дифракционной решетки, \(m\) – порядок дифракционного максимума, \(\lambda\) – длина волны, \(\varphi\) – угол наблюдения данного максимума. Максимальный синус равен 1, следовательно: \[d=\frac{m\lambda}{\sin\alpha}=\frac{5\cdot550\cdot10^{-9}\text{ м}}{1/2}=5500 \text{ нм}\]
На дифракционную решетку, период которой равен \(d=2\text{ мкм}\) нормально падает пучок света, состоящий из фотонов с импульсом \(p=1,32\cdot10^{-27}\text{ кг}\)\(\cdot \text{м/c}\). Под каким углом \(\varphi\) к направлению падения пучка наблюдается дифракционный максимум третьего порядка? Ответ дайте в градусах, округлив до целых.
Углы, определяющие направления на дифракционные максимумы, при нормальном падении пучка на решетку удовлетворяют условию \(d\sin\varphi=m\lambda\) где \(\lambda\) — длина волны света, \(m=3\).
Импульс фотона связан с его длиной волны \(\lambda\) соотношением \(p=\dfrac{h}{\lambda}\) где \(h\) — постоянная Планка. Из записанных соотношений находим:
\[\sin\varphi=\dfrac{m\lambda}{d}=\dfrac{mh}{pd}=\dfrac{3\cdot6,6\cdot10^{-34}}{2\cdot10^{-6}\cdot1,32\cdot10^{-27}}=0,75\]
Следовательно, \(\varphi=\arcsin0,75\approx49^o\)
Монохроматический свет с частотой 1,5\(\cdot \)10\(^{15}\) Гц распространяется в пластинке,прозрачной для этого света и имеющей показатель преломления 1,6. Чему равна длина волны (в нм) этого света в пластинке?
Черноуцан
Показатель преломления данной среды относительно вакуума называется абсолютным показателем преломления данной среды \(n\), его можно определить как отношение скорости света в вакууме \(c\), к скорости света в данной среде \(v\) \[n = \frac{c}{v}\] Откуда: \[v = \frac{c}{n}\;\;\;\;(1)\] По формуле скорость света в среде равна \[v = \lambda \nu,\;\;\;\;(2)\] где \(\lambda\) – длина волны, \(\nu\) – частота света.
Приравняв (1) и (2), получим \[\dfrac{c}{n}=\lambda \nu \Rightarrow \lambda = \dfrac{c}{n \nu}\] Подставим числа из условий: \[\lambda = \dfrac{3 \cdot 10^8\text{ м/с}}{1,6\cdot 1,5\cdot 10^{15}\text{ Гц}}=125\text{ нм}\]
На дифракционную решетку перпендикулярно ее плоскости падает свет с длиной волны 500 нм. Сколько штрихов на 1 мм должна иметь решетка, чтобы пятый главный максимум в дифракционной картине находился под углом 90\(^\circ\) по отношению к падающему свету?
Черонуцан
По формуле дифракционной решетки: \[d\sin \varphi_k = k\lambda,\] где \(k\) – порядок максимума, \(d\) – постоянная решетки, \(\lambda\) – длина волны решётки, \(\varphi_k\) – направление на \(k-\)й максимум.
По условию \(k=5\), \(\varphi_k=90^\circ\), откуда: \[d=k\lambda=5\lambda= 2500 \text{ нм}\] Тогда количество штрихов на \(l=1\) мм: \[N=\dfrac{l}{d}=\dfrac{1\text{ мм}}{2500\text{ нм}}=400\]
Волна красного света проходит через тонкую прозрачную пленку с показателем преломления 1,8. Толщина пленки 3,8\(\cdot\)10\(^{-5}\) м. Определите, сколько раз длина волны света в пленке укладывается на ее толщине, если длина волны в вакууме 720 нм. Волна падает на пленку перпендикулярно ее плоскости.
Черноуцан
По закону преломления: \[\dfrac{c}{v}=n,\] где \(v\) – скорость света в среде, \(n\) – показатель преломления среды.
Частота волны при переходе из одной среды в другую не изменяется, следовательно \[c=\nu \lambda_1 \quad v = \nu \lambda_2,\] где \(\lambda_1\) – длина волны в вакууме, \(\lambda_2\) – длина волны в среде.
Тогда \[\dfrac{\nu \lambda_1 }{\nu \lambda_2}=n \Rightarrow \lambda_2 = \dfrac{\lambda_1}{n}\] На толщине \(d\) будет укладываться \[N=\dfrac{dn}{\lambda_1}=95\]
Для исследования рентгеновских лучей с длинами волн меньше 10 нм изготовить обычную дифракционную решётку с подходящим периодом не представляется возможным, однако есть способ обойти эту трудность. Возьмём обычную решётку с периодом \(d = 30\) мкм и осветим её параллельным пучком рентгеновского излучения с длиной волны \(\lambda = 4,5\) нм с углом падения на решётку \(\alpha = 89,5^\circ\) (скользящее падение лучей). Под каким углом \(\gamma\) к первоначальному пучку будет фиксироваться дифракционный максимум первого порядка? Считайте этот угол малым: \(\gamma <<1\). Ответ выразить в градусах и округлить до целого числа.
При скользящем падении лучей на дифракционную решётку с периодом \(d\) разность хода соседних лучей возникает как до их падения (\(-d\cdot \sin \alpha\)) так и после их выхода из решётки (\(d\cdot \sin \varphi\) где \(\varphi\) – угол дифракции, то есть угол между перпендикуляром к плоскости решётки и лучом). Таким образом, условие первого главного максимума для дифракции на решётке в данном случае имеет вид: \(d(\sin \varphi - \sin \alpha)=\lambda \) или, согласно тригонометрической формуле, \[d\cdot 2 \sin\dfrac{\varphi-\alpha}{2}\cos \dfrac{\varphi+\alpha}{2}=\lambda\] По условию угол отклонения луча решёткой \(\gamma = \varphi-\alpha << 1\), поэтому \(\varphi \approx \alpha\) и \(\cos \dfrac{\varphi+\alpha}{2}\cos \alpha\). Значит, \[2\sin \dfrac{\varphi-\alpha}{2}\approx 2\sin\dfrac{\gamma}{2}\approx \gamma\] и условие главного дифракционного максимума первого порядка приобретает вид: \(d\cos \alpha \cdot \gamma \approx \lambda,\) то есть эффективный период решётки уменьшается до \(d\cos \alpha\) и при угле \(\alpha\), близком к \(90^\circ\), может быть намного меньше \(d\). Теперь можно найти угол \(\gamma\): \[\gamma \approx \dfrac{\lambda}{d\cos \alpha}\approx \dfrac{4,5 \cdot 10^{-9}\text{ м}}{30\cdot 10^{-6}\text{ м}\cdot 0,00873}\approx 1,718\cdot 10^{-2}\approx 0,984^\circ \approx 1^\circ\]
