Квантовая физика
Число фотонов, излучаемых лазерной указкой за \(t = 5 с,\) \(N = 6\cdot 10^{16}\). Длина волны излучения указки равна \(\lambda\)= 600 нм. Определите мощность\( P\)излучения указки. Ответ дайте в мВт.
Один фотон обладает энергией \[E_1=h\nu = \dfrac{hc}{\lambda},\] где \(\nu\) – частота излучения.
Тогда \(N\) фотонов обладают энергией \[E_N=N\dfrac{hc}{\lambda} \quad (1)\] Кроме того энергия равна \[E_N=Pt\quad (2)\] Из (1) и (2) можем найти мощность \[P=\dfrac{E_N}{t}=N\dfrac{hc}{\lambda t}=6\cdot 10^{16}\dfrac{6,6 \cdot 10^{-34}\cdot 3 \cdot 10^8}{600\cdot 10^{-9}\cdot 5}=4 \text{ мВт}\]
Источник в монохроматическом пучке параллельных лучей за время \(\Delta t= 8 \cdot 10^{-4}\) с излучает \( N = 5\cdot10^{14}\) фотонов. Лучи падают по нормали на площадку \(S = 0, 7 \)см\(^2\) и создают давление \(p_0= 1, 5 \cdot 10^{-5}\) Па. При этом 40% фотонов отражается, а 60% поглощается. Определите длину волны излучения. Ответ дайте в мкм
Давление света будет складываться из давления поглощенных лучей и давления отраженных лучей \[p_0=p_1+p_2\quad (1)\] Давление равно \[p=\dfrac{F}{S}\quad (2)\] А сила из второго закона Ньютона равна \[F=ma\Rightarrow F = \dfrac{m\Delta v}{\Delta t}\Rightarrow F\Delta t = \Delta p \quad (3)\] где \(\Delta p\) изменение импульса за время \(\Delta t\).
Значит (1) с учетом (2) и (3) можно переписать в виде \[p_0=\dfrac{\Delta p_1+ \Delta p_2}{S\Delta t}\quad (4)\] Изменение импульса поглощаемых фотонов равно \[\Delta p_1=p_1=n_1\cdot N \dfrac{E}{C}=n_1 N\dfrac{h}{\lambda}\quad (5)\] Изменение импульса отраженных равно двукратному начальному импульсу, то есть \[\Delta p_2=2p_2=2n_2\cdot N \dfrac{E}{C}=2n_2 N\dfrac{h}{\lambda}\quad (6)\] Значит (4) можно переписать с учетом (5) и (6) в виде \[p_0=\dfrac{n_1N\dfrac{h}{\lambda}+2n_2N\dfrac{h}{\lambda}}{S\Delta t}=(n_1+n_2)\dfrac{Nh}{\lambda S \Delta t}\] Отсюда длины волны равна \[\lambda = \dfrac{Nh(n_1+2n_2)}{p_0S\Delta t}=\dfrac{5\cdot 10^{14}\cdot 6,6 \cdot 10^{-34}(0,4+0,6\cdot 2)}{1,5 \cdot 10^{-5}\cdot 0,7 \cdot 8 \cdot 10^{-4}}=55\cdot 10^{-6}\text{ м}\]
Давление света от Солнца, который падает перпендикулярно на абсолютно чёрную поверхность, на орбите Земли составляет около\( P = 5 \cdot 10^{-6} \) Па. Оцените концентрацию \(n\) фотонов в солнечном излучении, считая, что все они имеют длину волны \(\lambda = 500\) нм. Ответ дайте умножив на \(10^{-13}\)
Импульс одного фотона равен \[p=\dfrac{h}{\lambda}\] Тогда все фотоны имеют импульс \[p_N=N\dfrac{h}{\lambda}\] За время \(\Delta t\) на площадь \(S\) падает \(N=nSc\Delta t\) фотонов. А значит общий импульс всех фотонов равен \[p_N=nSc\Delta t\dfrac{h}{\lambda}\quad (1)\] Давление равно \[P=\dfrac{F}{S}\quad (2)\] А сила из второго закона Ньютона равна \[F=ma\Rightarrow F = \dfrac{m\Delta v}{\Delta t}\Rightarrow F\Delta t = \Delta p \quad (3)\] Тогда (2) с учетом (1) и (3) равно \[P=\dfrac{hnc}{\lambda}\] Отсюда концентрация \[n=\dfrac{\lambda P}{hc}=\dfrac{500 \cdot 10^{-9}\cdot 5 \cdot 10^{-6}}{6,6\cdot 10^{-34}\cdot 3 \cdot 10^{8}}=1,3 \cdot 10^{13}\]
Световая отдача лампочки накаливания, потребляющей мощность 132 Вт, равна 6%, а средняя частота излучения лампы \(6 \cdot 10^{14}\)Гц. Сколько миллиардов фотонов от этой лампы попадает за одну секунду в зрачок глаза человека, стоящего в 100 м от лампы? Зрачок считать плоским кругом радиусом 2 мм. Ответ дайте умножив на 10\(^{-9}\).
Лампочка будет излучать \(N\) фотонов с общей энергией \[E=\eta P t,\] где \(\eta\) – световая отдача лампочки, а энергия одного фотона равно \[E_0=h\nu,\] \(\nu\) – частота излучения.
Откуда количество фотонов, излучаемых лампочкой равно \[N=\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{\eta Pt}{h\nu}\quad (1)\] Так как зрачок является плоским кругом по условию, то его площадь равна \[s=\pi r^2\] где \(r\) – радиус зрачка. И эта площадь будет составлять часть от распространения света по сфере радиусом \(R=100\) м. и при этом радиус сферы равен \(S=4\pi R^2\) Тогда отношение количества фотонов, полученных глазом, к общему количеству фотонов равно \[\dfrac{n}{N}=\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}\Rightarrow n = \dfrac{Nr^2}{4R^2}=\dfrac{\eta Pt^2}{4h\nu R^2}=2\cdot 10^9\]
Препарат активностью 1,7\(\cdot \)10\(^{11}\) частиц в секунду помещен в медный контейнер массой 0,5 кг. На сколько повысилась температура контейнера за 1 ч, если известно, что данное радиоактивное вещество испускает \(\alpha\) – частицы энергией 5,3 МэВ? Считать, что энергия всех \(\alpha\) – частиц полностью переходит во внутреннюю энергию контейнера. Теплоемкостью препарата и теплообменом с окружающей средой пренебречь.
При испускании\(\alpha\) –частицы выделяется \(W_1\)=5,3 МэВ энергии, значит за 1 час будет выделяться энергия \[W=NW_0t,(1)\] где \(N\) – активность препарата, \(t\) – время.
Найдем количество теплоты, которое получает контейнер. \[Q=cm\Delta T,(2)\] где \(c\) – удельная теплоёмкость контейнера, \(m\) – масса контейнера, \(\Delta T\) – изменение температуры.
Так как потерями энергии пренебречь, то можем приравнять (1) и (2) \(NW_0t=cm \Delta T\) Отсюда изменение температуры \[\Delta T = \dfrac{NW_0 t}{cm}=\dfrac{1,7 \cdot 10^{11}\text{ с$^{-1}$}\cdot 5,3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ Дж}\cdot 3600\text{ с}}{380\text{ Дж/(кг $\cdot $ К)}\cdot 0,5\text{ кг}}\approx 2,7 \text{ К}\]
