Энергетический подход в электрических цепях (страница 2)

Количество теплоты, выделившееся в цепи равно \[Q=A- \Delta W, \quad (1)\] где \(A\) – работа источника, \(\Delta W\) – изменение энергии конденсатора.
В начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения 0 В, значит его энергия равна \[W_1=0\] В конечный момент времени конденсатор будет иметь напряжение равное напряжению на источнике, а его энергия равна \[W_2=\dfrac{C\xi^2}{2}\] Значит изменение энергии конденсатора равно \[\Delta W =W_2 -W_1 = \dfrac{C\xi ^2}{2}-0=\dfrac{C \xi ^2}{2} \quad (2)\] Работа на источнике будет равна \[A =q \xi,\] где \(q\) – заряд, протекший по цепи. Так как начальное напряжение на конденсаторе равно 0, то начальный заряд равен \(q_1=0\), а в конечный \(q_2=C \xi\), значит заряд, протекший по цепи равен \(q=C\xi\). Тогда работа источника равна \[A=C \xi \xi=C\xi^2\quad (3)\] Объединяя (1), (2) и (3) получим \[Q=C\xi^2 -\dfrac{C \xi^2}{2}=\dfrac{C \xi^2}{2}=\dfrac{20\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 10000 \text{ В$^2$}}{2}=0,1\text{ Дж}\]

Количество теплоты, выделившееся в цепи равно \[Q=A- \Delta W, \quad (1)\] где \(A\) – работа источника, \(\Delta W\) – изменение энергии конденсатора.
В начальный момент времени конденсатор заряжен до напряжения \(4 \xi\), значит, его энергия равна \[W_1=\dfrac{16 C \xi^2}{2}\] В конечный момент времени конденсатор будет иметь напряжение равное напряжению на источнике, а его энергия равна \[W_2=\dfrac{C\xi^2}{2}\] Значит изменение энергии конденсатора равно \[\Delta W =W_2 -W_1 = \dfrac{C\xi ^2}{2}-\dfrac{16C \xi^2}{2}=\dfrac{-15C \xi ^2}{2} \quad (2)\] Работа на источнике будет равна \[A =q \xi,\] где \(q\) – заряд, протекший по цепи. Так как начальное напряжение на конденсаторе равно \(4\xi\), то начальный заряд равен \(q_1=4C \xi \), а в конечный \(q_2=C \xi\), значит заряд, протекший по цепи равен \(q=-3C\xi\). Тогда работа источника равна \[A=-3C \xi \xi=\dfrac{-6C \xi^2}{2}\quad (3)\] Объединяя (1), (2) и (3) получим \[Q=\dfrac{15C \xi^2}{2}-\dfrac{6C\xi^2}{2}=\dfrac{9C\xi^2}{2}=\dfrac{9 \cdot 30\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 2500\text{ В$^2$}}{2}=337,5 \text{ мДж}\]

1. Найдем общую ёмкость цепи в первом и втором случае. 1: \[\dfrac{1}{C_{o1}}=\dfrac{1}{C+C}+\dfrac{1}{C} \Rightarrow C_{o1}=\dfrac{2C}{3}\] 2: \[\dfrac{1}{C_{o2}}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C+С} \Rightarrow C_{o2}=\dfrac{2C}{3}\] Как мы видим ёмкость не изменилась, а значит не изменилась и общая энергия системы конденсаторов, что означает, что количество теплоты будет выделять только за счет работы на источнике \[Q=A=q \xi,\] где \(q\) – заряд, протекший по цепи. 2. Общий заряд в цепи сохранится и будет равен. Рассмотрим конденсаторы и перераспределение зарядов на них. \[q=C_o\xi =\dfrac{2C\xi}{3}\] Обозначим конденсаторы слева направо цифрами 1, 2 и 3.
Первый случай:
Конденсаторы 1 и 2 соединены параллельно, а конденсатор 3 к ним последовательно \[q_1+q_2=q_3=\dfrac{2C\xi}{3}\] так как \(C_1=C_2=C\), то \(q_1=q_2=\dfrac{C\xi}{3}\). То есть \[q_1=q_2=\dfrac{C\xi}{3} \hspace{10 mm}q_3=\dfrac{2C\xi}{3}\] Второй случай:
Конденсаторы 2 и 3 соединены параллельно, а 1 к ним последовательно. \[q_1=q_2+q_3=\dfrac{2C\xi}{3}\] Так как \(C_2=C_3=C\), то \(q_2=q_3=\dfrac{C\xi}{3}\). То есть \[q_2=q_3=\dfrac{C \xi }{3} \hspace{10 mm} q_1=\dfrac{2C \xi}{3}\] 3. Заметим, что заряд \(q=\dfrac{C\xi}{3}\) с третьего конденсатора перешел на первый через источник тока. Значит, работа на источнике равна \[Q=A=\dfrac{C\xi \cdot \xi }{3}=\dfrac{C \xi^2}{3}=\dfrac{25\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 5625\text{ В$^2$}}{3}=46,875 \text{ мДж}‬\]

Количество теплоты будет равно \[Q=W_1-W_2,\quad (1)\] где \(W_1\) – начальное количество энергии, \(W_2\) – конечное количество энергии в цепи
Вначале у нас будет энергия только на конденсаторе \(C\), она равна \[W_1=\dfrac{C U_0^2}{2}\quad (2)\] , а заряд на нем \[q_0=CU_0\] В конце будут заряжены два конденсатора, причем их напряжение будет одинаково. \[W_2=\dfrac{CU^2}{2}+\dfrac{2CU^2}{2}=\dfrac{3CU^2}{2}\quad (3)\] Аналогично формуле (2) заряды в конце на этих двух конденсаторах равны \[q_c=CU \hspace{10 mm} q_{2c}=2CU\] Кроме того, у нас в цепи сохраняется заряд, а это значит, что \[CU_0=CU+2CU\Rightarrow U=\dfrac{U_0}{3}\quad (4)\] Объединяя (1), (2), (3) и (4), получим \[Q=\dfrac{CU_0^2}{2}-\dfrac{3C U_0^2}{18}=\dfrac{CU_0^2}{3}=\dfrac{50\cdot 10^{-6}\text{ Ф}\cdot 3600\text{ В$^2$}}{3}=60 \text{ мДж}\]

Найдем по закону Ома для полной цепи силу тока \[I=\dfrac{\xi}{r+R_0}\] где \(\xi\) – ЭДС источника, \(r\) – внутреннее сопротивление источника, \(R_0\) – общее сопротивление цепи. \[R_0=\dfrac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{10\text{ Ом} \cdot 15\text{ Ом}}{10\text{ Ом}+25\text{ Ом}}=6\text{ Ом}\] Значит, сила тока в цепи равна \[I=\dfrac{\xi}{r+R_0}=\dfrac{40\text{ В}}{2\text{ Ом}+6\text{ Ом}}=5 \text{ А}\] Значит напряжение на конденсаторе равно напряжению на участке с сопротивлением \(R_0\), то есть \[U_C=I R_0=5\text{ А} 6\text{ В}=30 \text{ В}\] А энергия на конденсаторе равна \[W=\dfrac{C U_C^2}{2}=\dfrac{200\text{ мкФ}\cdot 900\text{ В$^2$}}{2}=90 \text{ мДж}\] Вся запасенная энергия будет расходоваться на резистор и лампу, при чем \[Q_1=\dfrac{U^2 \Delta t}{R_1} \hspace{5 mm} Q_2=\dfrac{U^2 \Delta t}{R_2} \hspace{5 mm} Q_1+Q_2=W\] где \(U\) – напряжения участка из лампы и резистора, \(Q_1\) и \(Q_2\) – выделяемая энергия на резисторе и лампе за время \(\Delta t\) соответственно.
Отсюда энергия на резисторе \[Q_2=\dfrac{WR_1}{R_1+R_2}=\dfrac{90\cdot 10^{-3}\text{ Дж}\cdot 10 \text{ Ом}}{10\text{ Ом}+15\text{ Ом}}=36\text{ мДж}\]

По графику мощность 24 Вт может быть создана при напряжении равном 12 В и силе тока 2 А, значит сопротивление лампы при этих параметрах равно \[R_1=\dfrac{U_1}{I_1}\] При напряжении 6 В на лампе установится сила тока равна 1,4 А, значит сопротивление лампы \[R_2=\dfrac{U_2}{I_2}\] Так как температура лампы пропорциональна сопротивлению, то \[\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{R_2}{R_1} \Rightarrow T_2=\dfrac{T_1 R_2}{R_1} \Rightarrow T_2=\dfrac{T_1 I_1 U_2}{I_2 U_1} = \dfrac{4200 \text{ К}\cdot 2 \text{ А} \cdot 6\text{ В}}{12 \text{ В} \cdot 1,4\text{ А}}=3000\text{ К}\]

Энергия, выделившаяся в цепи, будет равна энергии запасенной на конденсаторе \[Q=\dfrac{CU^2}{2},\] где \(U\) – напряжение на обкладках конденсатора. Так как конденсатор подключен параллельно резистору, то напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе, а оно по закону Ома и закону Ома для полной цепи равно \[U=IR=\dfrac{\xi R}{r+R}=\dfrac{\xi}{\dfrac{r}{R}+1}\] Подставим напряжение в первоначальное уравнение и выразим нужное отношение \[Q=\dfrac{C\left(\dfrac{\xi}{\dfrac{r}{R}+1}\right)^2}{2} \Rightarrow \dfrac{r}{R}=\xi\sqrt{\dfrac{C}{2Q}}-1=10\text{ В}\sqrt{\dfrac{10\text{ мкФ}}{2\cdot 20\text{ мкДж}}}-1=4\]