Мощность. КПД. Энергия
Под действие силы тяги \(F =1 000\) Н автомобиль движется равномерно и прямолинейно. Найдите скорость автомобиля, если мощность двигателя равна \(N=25\) кВт (ответ дайте в км/ч).
Переведём данные в СИ:
\(N = 25\) кВт = 25000 Вт.
По определению мощность двигателя равна: \[N = \frac{A}{\Delta t}\] где \(\Delta t\) – время работы двигателя, А – работа силы тяги, которая равна: \[A = FS\cos{\alpha}\] где S – путь, пройденный автомобилем, а \(\alpha\) – угол между вектором силы и вектором перемещения
В нашем случае \(\alpha = 0^{\circ} \Rightarrow \cos{\alpha} = 1\)
Теперь изначальное уравнение мощности можно переписать так: \[N = \frac{FS}{\Delta t} = F\cdot \upsilon \Rightarrow \upsilon = \frac{N}{F}\] \[\upsilon = \frac{25000 \text{ В т}}{1000 \text{ Н}} = 25\text{ м/с} = 90\text{ км/ч }\]
Какова мощность двигателя подъёмного крана, если он за время \(\Delta t=4\) с равномерно поднимает плиту массой \(m = 800\) кг на высоту \(h = 5\) м. Ответ дайте в кВт.
По определению мощность двигателя равна: \[N = \frac{|A|}{\Delta t}\] где A — работа двигателя.
Так как подъёмный край поднимает плиту равномерно, то его работа равна по модулю работе силы тяжести, которую можно найти как разность потенциальных энергий (ноль потенциальной энергии находится на поверхности земли): \[A = \Delta E_{\text{п}} = E_1 - E_0 = 0 - mgh= -mgh\] Значит, мощность равна: \[N = \frac{mgh}{\Delta t} = \frac{800\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$} \cdot 5\text{ м}}{4\text{ с}} = 10000 \text{ В т}= 10\text{ кВ т }\]
Девочка равномерно тащит санки массой \(m = 5\) кг по горизонтальной поверхности со скоростью \(\upsilon = 0,5\) м/с. Вектор силы \(F= 12\) Н направлен под углом \(\alpha\) к горизонту. Чему равен этот угол, если девочка развивает мощность \(N = 3\) Вт?
По определению мощность двигателя равна: \[N = \frac{|A|}{\Delta t}\] где A — работы силы, а \(\Delta t\) — время работы.
Работа силы по определению равна: \[A = FS\cos{\alpha}\] где S – пройденный путь.
С учётом этого мощность будет равна: \[N = \frac{FS\cos{\alpha}}{\Delta t} = F\cdot \upsilon \cos{\alpha} \Rightarrow\] \[\cos{\alpha} = \frac{N}{F\cdot \upsilon} = \frac{3\text{ В т}}{12\text{ Н}\cdot 0,5 \text{ м/с}} = 0,5 \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}\]
Камень массой \(m=700\) г роняют с высоты \(h = 45\) м с нулевой начальной скоростью. Чему равна средняя мощность \(N\) силы тяжести за время t полёта камня?
Переведём данные в СИ:
\(m = 700\) г = 0,7 кг.
По определению мощность двигателя равна: \[N = \frac{|A|}{t}\] где \(A\) — работа силы тяжести, а \(t\) — время её работы.
Так как тело свободно падает без начальной скорости, то высоту можно найти следующим способом: \[h = \frac{gt^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\] Работу силы тяжести можно найти как разность потенциальных энергий (ноль потенциальной энергии находится на поверхности земли): \[A = \Delta E_{\text{п}} = 0-mgh= -mgh\] Значит: \[N = \dfrac{mgh}{\sqrt{\dfrac{2h}{g}}} = mgh\cdot\sqrt{\frac{g}{2h}}\] \[N = 0,7\text{ кг} \cdot 10\text{ м/с$^2$} \cdot 45\text{ м} \cdot \sqrt{\frac{10\text{ м/с$^2$}}{2\cdot 45 \text{ м}}} = 105\text{ В т }\]
