Закон об изменении кинетической энергии
Если тело движется под действием силы \(\displaystyle \vec{F}\), то его кинетическая энергия, вообще говоря, меняется со временем. Оказывается, изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе силы \(\displaystyle \vec{F}\). Покажем это для случая прямолинейного равноускоренного движения.
Пусть \(\displaystyle \vec{v_1}\) — начальная скорость, \(\displaystyle \vec{v_2}\) — конечная скорость тела. Выберем ось X вдоль траектории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы \(\displaystyle \vec{F}\)).
В результате имеем
\[A=\dfrac{mv_{2x}^2}{2}-\dfrac{mv_{1x}^2}{2}=E_\text{к2}-E_\text{к1}=\Delta{E_\text{к}}\]
Теорема о кинетической энергии
Изменение кинетической энергии тела равно работе, совершённой приложенными к телу внешними силами за рассматриваемый промежуток времени.
Шарик массой 100 г падает с высоты h с начальной скоростью, равной нулю. Скорость шарика в момент перед падением на землю равна 8 м/с. Чему равна его потенциальная энергия в момент начала падения, если потеря энергии за счет сопротивления воздуха составила 1 Дж.
По закону сохранения энергии с учетом потерь: \[E_\text{к}+E_\text{потерь} = E_\text{п}\] А значит: \[E_\text{п} = \frac{mV^2}{2} + E_\text{потерь} = \frac{0,1\cdot64}{2}+1 = 4,2\text{ Дж }\]
Шарик массой 400 г падает с высоты 12,25 м. Начальная скорость шарика равна нулю. Потеря энергии за счёт сопротивления воздуха составила 4 Дж. Какая скорость была у шарика в момент падения на землю?
По закону сохранения энергии с учетом потерь: \[E_\text{к} = E_\text{п} - E_\text{потерь}\] Отсюда: \[\frac{mV^2}{2} = mgh-E_\text{потерь}\] \[V=\sqrt{\frac{2(mgh - E_\text{потерь})}{m}} = \sqrt{\frac{2(0,4\cdot10\cdot12,25 - 4)}{0,4}} = 15\text{ м/с }\]
Мячик падает на землю с высоты \(h=18\) м с нулевой начальной скоростью. Найдите скорость мячика в момент удара о поверхность земли, если засчёт силы сопротивления воздуха он потерял \(10\%\) первоначальной энергии.
Запишем закон сохранения энергии: \[E_1 = E_2 + Q\] где \(E_1\) — полная механическая энергия до броска, \(E_2\) — полная механичсесская энергия в момент удара о поверхность земли, \(Q\) — потерянная энергия засчёт силы сопротивления воздуха.
Допустим, что ноль потенциальной энергии находится на поверхности земли.
Так как полная механическая энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий, то: \[E_1 = E_{\text{п1}}+E_{\text{к1}} = mgh + 0 = mgh\] \[E_2 = E_{\text{п2}}+E_{\text{к2}} = 0 + \frac{m\upsilon^2}{2} =\frac{m\upsilon^2}{2}\] По условию: \[Q = 0,1E_1 = 0,1mgh\] Значит: \[mgh = \frac{m\upsilon^2}{2} + 0,1\cdot mgh\] \[0,9\cdot mgh = \frac{m\upsilon^2}{2} \Rightarrow 0,9\cdot gh = \frac{\upsilon^2}{2}\] \[\upsilon = \sqrt{2\cdot0,9\cdot gh} = \sqrt{2\cdot0,9 \cdot 10\text{ м/с$^2$} \cdot 18\text{ м}} = 18\text{ м/c }\]
Шарик массой 100 г падает с высоты 100 м с начальной скоростью, равной нулю. Чему равна его кинетическая энергия в момент перед падением на землю, если потеря энергии за счёт сопротивления воздуха составила 20 Дж?
“Демоверсия 2019”
Из закона о сохранении энергии: \[mgh=Q+E \Rightarrow E=mgh-Q=0,1\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 100\text{ м}-20\text{ Дж}=80\text{ Дж}\] где \(m\) – масса шарика, \(h\) – начальная высота, \(Q\) – потери за счет сопротивления воздуха.
Шарик массой \(m\)=1 кг, находящийся на высоте \(h_1\)=10 м, из состояния покоя падает на поверхность, при этом выделяется количество теплоты \(Q=10\) Дж, отскакивает вверх на высоту \(h_2\). Найдите высоту подъема \(h_2\).
Так как тело падает из состояния покоя, то начальная скорость при падении равна 0. При движении вниз выполняется закон сохранения энергии. \[E_\text{п1}=E_\text{к} \quad (1)\] После соударение шарика об землю будет выполнено равенство (часть энергии переходит в тепло): \[E_\text{к}=E_\text{п2}+Q \quad (2)\] Подставим (1) в (2) \[E_\text{п1}=E_\text{п2}+Q \quad E_\text{п1}=mgh_1\quad E_\text{п2}=mgh_2 \quad \Rightarrow \quad mgh_1=mgh_2+Q\] Выразим \(h_2\): \[h_2=\frac{mgh_1-Q}{mg}=\frac{1 \cdot10 \cdot 10-10}{1 \cdot 10}=9\text{ м}\]
