Закон сохранения энергии
Консервативные силы — силы, сохраняющие механическую энергию замкнутой системы тел.
Механическая энергия \(\displaystyle W\) тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: \[W = E_\text{к} + E_\text{п}\] Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.
Пусть тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны \(\displaystyle E_\text{к1}\) и \(\displaystyle E_\text{п1}\), в конечном положении — \(\displaystyle E_\text{к2}\) и \(\displaystyle E_\text{п2}.\) Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим \(\displaystyle A.\) По теореме о кинетической энергии \(E_\text{к2}-E_\text{к1} = A.\) Однако работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий: \(A = E_\text{п1}-E_\text{п2}\), Отсюда получаем \[E_\text{к2}-E_\text{к1} = E_\text{п1}-E_\text{п2},\] или \[E_\text{к1} + E_\text{п1} = E_\text{к2} + E_\text{п2}.\] Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении: \[W_1=W_2.\] Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения.
Закон сохранения механической энергии: \[W=const\] Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.
Единицы измерения: [\(\text{Дж}\)] (Джоуль).
Мячик массой 0,5 кг, брошенный вертикально вверх, обладал кинетической энергией \(E_{\text{к}}=50\) Дж. На какую максимальную высоту поднялся мячик? Сопротивлением воздуха пренебречь.
По закону сохранения энергии \( E_{\text{к}} = E_{\text{п}}\) \(\rightarrow\) \(mgh=E_\text{к}\)
Отсюда: \[\displaystyle h = \frac{E_\text{к}}{mg} = \frac{50}{0,5\cdot10} = 10 \text{ м }\]
Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью \(V = 4\) м/с. Найдите массу камня, если на максимально достигнутой высоте потенциальная энергия камня составила 40 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.
По закону сохранения энергии \( E_{\text{к}} = E_{\text{п}}\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle \frac{mV^2}{2} = E_\text{п}\) Отсюда: \[\displaystyle m = \frac{2E_\text{п}}{V^2} = \frac{80}{16} = 5 \text{ кг }\]
Автомобиль с выключенным двигателем проехал 28,8 м вниз по дороге, проложенной под углом 30\(^{\circ}\) к горизонту. При этом его начальная скорость была равна 6 . Какова конечная скорость автомобиля? Трением пренебречь.
По рисунку видно, что \(\displaystyle h=S\cdot\frac{1}{2}=\frac{S}{2}\)
По закону сохранения энергии: \[E_\text{п0}+E_\text{к0} = E_\text{к}\] \[\displaystyle \frac{mV_0^2}{2} + mgh = \frac{mV^2}{2}\] \[V=\sqrt{V_0^2 + 2gh} = \sqrt{V_0^2 + gS} = \sqrt{36 + 10\cdot28,8} = 18\: \text{м/с}\]
У основания гладкой наклонной плоскости шайба массой 10 г обладает кинетической энергией 0,04 Дж. Определите максимальную высоту, на которую шайба может подняться по плоскости относительно основания. Сопротивлением воздуха пренебречь.
“Демоверсия 2018”
Из закона сохранения энергии: \[E=\dfrac{mv^2}{2}=mgh \Rightarrow h=\dfrac{E}{mg}=\dfrac{0,04\text{ Дж}}{0,01\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}}=0,4\text{ м}\] где \(m\) – масса тела, \(v\) – скорость тела в начальный момент времени, \(h\) – максимальная высота подъема.
Максимальная высота, на которую шайба массой 40 г может подняться по гладкой наклонной плоскости относительно начального положения, равна 0,2 м. Определите кинетическую энергию шайбы в начальном положении. Сопротивлением воздуха пренебречь.
“Демоверсия 2020”
Из закона сохранения энергии: \[E_k=mgh=0,04\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 0,2\text{ м}=0,08\text{ Дж}\]
Автомобиль с выключенным двигателем сняли со стояночного тормоза, и он покатился под уклон, составляющий угол 30\(^\circ\) к горизонту. Проехав 10 м, он попадает на горизонтальный участок дороги. Чему равна скорость автомобиля в начале горизонтального участка дороги? Трением пренебречь.
“Досрочная волна 2020 вариант 1”
Из закона сохранения энергии \[mg S \sin 30^\circ=\dfrac{mv^2}{2},\] где \(m\) – масса автомобиля, \(S\) – путь автомобиля.
Откуда скорость: \[v=\sqrt{2gS\sin 30^\circ}=\sqrt{2\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 10\text{ м}\cdot 0,5}=10\text{ м/с}\]
