Переменный ток
На рисунке приведён график зависимости силы тока от времени в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединённых конденсатора и катушки, индуктивность которой равна 0,2 Гн. Каково максимальное значение энергии магнитного поля катушки? (Ответ дать в мкДж.) 
Энергия магнитного поля: \[W=\frac{LI^2}{2},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(I\) – сила тока на катушке.
Максимальная сила тока: \[I_{max}=5 \text{ мА}\]
Подставим в формулу энергии магнитного поля: \[W=\frac{0,2\text{ Гн}\cdot5^2\cdot10^{-6}\text{ А$^2$}}{2}=2,5 \text{ мкДж}\]
К конденсатору, заряд которого 250 пКл, подключили катушку индуктивности. Определите максимальную силу тока (в мА), протекающего через катушку, если циклическая частота свободных колебаний в контуре \(8\cdot10^7\) рад/с.
Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt{LC},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора.
Циклическая частота: \[\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} \Rightarrow LC=\frac{1}{\omega^2}\]
Закон сохранения для колебательного контура \[W_{L}=W_C\] \[\frac{LI_{max}^2}{2}=\frac{CU_{max}^2}{2}=\frac{q_{max}^2}{2C},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(I-{max}\) – максимальная сила тока на катушке, \(C\) – ёмкость конденсатора, \(U_{max}\) – максимальное напряжение, \(q_{max}\) – максимальный заряд на конденсаторе.
Тогда максимальная сила тока равна \[I_{max}=\sqrt{\frac{q_{max}^2}{LC}}=q_{max}\omega=250\cdot10^{-12}\text{ Кл}\cdot8\cdot10^7\text{ рад/с}=20 \text{ мА}\]
Заряженный конденсатор емкостью 4 мкФ подключили к катушке с индуктивностью 90 мГн. Через какое минимальное время (в мкс) от момента подключения заряд конденсатора уменьшится в 2 раза?
Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt{LC},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора. Циклическая частота: \[\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\] Так как конденсатор изначально заряжен, то колебания можно описывать законом: \[q=q_{max}cos(\omega t)\] \[q=0,5q_{max}\] Заменим циклическую частоту на \(\frac{1}{\sqrt{LC}}\) и получим \[0,5q_{max}=q_{max}cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}} t\right) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{LC}} t=\frac{\pi}{3}\] \[t=\frac{\pi \sqrt{LC}}{3}=628 \text{мкс}\]
Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется со временем по закону: \(\displaystyle U = U_0sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)\). В момент времени \(t = T/12\) мгновенное значение напряжения равно 9 В. Определите амплитуду напряжения.
Зависимость напряжения: \[U = U_0sin\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right),\] \(\omega\) – циклическая частота. \[U=U_0sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{12}+\frac{2\pi}{3}\right)\] \[U=\frac{U_0}{2}\] \[U_0=2U=18 \text{ В}\]
Напряжение, при котором зажигается или гаснет неоновая лампа, включенная в сеть переменного тока, соответствует действующему значению напряжения этой сети. В течение каждого полупериода лампа горит 2/3 мс. Найдите частоту переменного тока.
Зависимость напряжения: \[U = U_0sin(\omega t),\] \(\omega\) – циклическая частота. Действующее напряжение: \[U_{\text{д}}=\frac{U_0}{\sqrt{2}}\] \[U_{\text{д}} < U_0sin(\omega t)\] \[\frac{U_0}{\sqrt{2}} < U_0sin(\omega t )\] \[sin(\omega t)>\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[sin(\frac{2\pi}{T} t)>\frac{\sqrt{2}}{2}\] Решая это тригонометрическое неравенство на одном периоде синусоиды получаем, что \[\frac{\pi}{4}<\frac{2\pi}{T} t<\frac{3\pi}{4}\] \[\frac{1}{8}<\frac{1}{T} t<\frac{3}{8}\] \[t=\frac{T}{4}\] \[T=4t\] \[\nu=\frac{1}{4t}=\frac{3}{2\cdot4\cdot10^{-3}}=375 \text{ Гц}\]
Сила тока в первичной обмотке трансформатора 2 А, напряжение на ее концах 220 В. Напряжение на концах вторичной обмотки 40 В. Определите силу тока во вторичной обмотке. Потерями в трансформаторе пренебречь.
Для идеального трансформатора можно записать (\(P_1=P_2\)): \[I_1U_1=I_2U_2\] где \(I_1\) и \(I_2\) – силы тока на первичной и вторичной обмотках, \(U_1\) и \(U_2\) – напряжения на первичной и вторичной обмотках, тогда сила тока на вторичной обмотке равна \[I_2=\frac{I_1U_1}{U_2}=\frac{2\text{ А}\cdot220\text{ В}}{40\text{ В}}=11 \text{ А}\]
Под каким напряжением находится первичная обмотка трансформатора, имеющая 1000 витков, если во вторичной обмотке 3500 витков и напряжение на ней 105 В?
Для трансформатора справедливо: \[\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1},\] где \(U_2\) и \(U_1\) – напряжения на вторичной и первичной обмотках, \(N_2\) и \(N_1\) – количество витков на вторичной и первичной обмотках, тогда напряжение на первичной обмотке \[U_1=\frac{U_2N_1}{N_2}=\frac{105\text{ В}\cdot1000}{3500}=30 \text{ В}\]
