Геометрическая оптика (Законы отражения и преломления)
Какая из точек (1, 2, 3 или 4), показанных на рисунке, является изображением точки S в тонкой собирающей линзе с фокусным расстоянием F? 
1) точка 1
2) точка 2
3) точка 3
4) точка 4
“Досрочная волна 2019 вариант 1”
Построим изображение точки S в тонкой собирающей линзе. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не меняет своего направления. Луч, направленный параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через фокус. 
Из рисунка видно, что это точка 2
Угол падения луча на поверхность равен \(40^{\circ}\). Найдите угол \(\alpha\) между падающим и отраженным лучом.
“Досрочная волна 2019 вариант 2”
Угол между падающим и отраженным лучами равен 2 углам падения.
При повороте плоского зеркала на некоторый угол вокруг оси, проходящей через точку падения луча перпендикулярно плоскости, в которой лежат падающий и отраженный лучи, угол между падающим и отраженным лучами увеличился на \(40^{\circ}\). На какой угол (в градусах) было повернуто зеркало?
При повороте зеркала на угол \(\alpha\), угол между падающим и отраженным лучем увеличивается на \(2\alpha\), следовательно, зеркало было повернуто на \(20^{\circ}\)
Свая вбита в водоем перпендикулярно дну, высота части сваи, которая находится над водой, равна \(h\)=0,8 м. Наблюдатель смотрит на конец сваи из под воды. Какова высота части сваи, находящейся над водой, для наблюдателя, если \(\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}}\)=1,4? Углы принять малыми.
Сделаем рисунок
\(H\) — высота части сваи, находящейся над водой, для наблюдателя.
Найдём \(H\) из тангенса угла \(\beta\) \[tg\beta=\dfrac{AB}{H} \Rightarrow H=\dfrac{AB}{tg\beta} \quad (1)\]
\(AB\) найдем из тангенса угла \(\alpha\) \[tg\alpha=ctg(90-\alpha)=\dfrac{AB}{h}\Rightarrow AB=h \cdot tg_\alpha \quad (2)\]
Подставим (2) в (1)
\[H= \dfrac{h\cdot tg\alpha}{tg\beta}\]
Так как углы малые, то \(tg\approx\sin\) и можно заменить тангенс на синус.
\[H=\dfrac{h \cdot \sin\alpha }{\sin\beta} \quad (3)\]
По закону преломления \[\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}} \quad (4)\]
Подставим (4) в (3)
\[H=\dfrac{h \cdot n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}}=0,8\text{ м} \cdot 1,4=1,12\text{ м}\]
Свая вбита в водоем перпендикулярно дну. Наблюдатель смотрит на конец сваи из под воды и для него высота части сваи, находящийся над водой, равна 1.4 м. Какова высота части сваи, находящияся над водой, если \(\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}}\)=1,4? Углы принять малыми.
Сделаем рисунок.
\(H\) — высота части сваи, находящейся над водой, для наблюдателя.
Найдём \(h\) из тангенса угла \(\alpha\)
\[tg\alpha=ctg(90-\alpha)=\dfrac{AB}{h}\Rightarrow h=\dfrac{AB}{tg_\alpha} \quad (1)\]
\(AB\) выразим из тангенса угла \(\beta\)
\[tg\beta=\dfrac{AB}{H} \Rightarrow AB=H\cdot tg\beta \quad (2)\]
Подставим (2) в (1)
\[h= \dfrac{H\cdot tg\beta}{tg\alpha}\]
Так как углы малые, то \(tg\thickapprox\sin\) и можно заменить тангенс на синус.
\[h= \dfrac{H\cdot \sin\beta}{\sin\alpha} \quad (3)\]
По закону преломления: \[\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}} \quad (4)\]
Подставим (4) в (3)
\[h=\dfrac{h \cdot n_\text{воздуха}}{n_\text{воды}}=\dfrac{1.4\text{ м}}{1,4}=1\text{ м}\]
На поверхности водоема плавает деревянный круг радиусом \(r\)=3 м. Синус угла падения луча на края круга \(\sin_\alpha\)=3/4, а глубина водоема 1,3 м. Каков радиус тени круга, если \(\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}} \)=4/3? Ответ округлить до десятых.
Сделаем рисунок
По закону преломления: \[\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{n_\text{воды}}{n_\text{воздуха}}\]
Выразим синус угла преломления \[\sin\beta=\dfrac{n_\text{воздуха} \cdot \sin\alpha}{n_\text{воды}}\]
Найдем его \(\sin\beta=\dfrac{3\cdot 3}{4 \cdot 4}=\dfrac{9}{16}\)
Найдем косинус угла \(\beta\) \(\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\dfrac{81}{256}}=\sqrt{\dfrac{175}{256}}=\dfrac{\sqrt{175}}{16}\)
Найдем тангенс угла \(\beta\) \(tg\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{9 \cdot 16}{16 \cdot \sqrt{175}}=\dfrac{9}{\sqrt{175}}\)
Также тангенс угла \(\beta\) находится \[tg\beta=\dfrac{AB}{h}=\dfrac{9}{\sqrt{175}}\]
Выразим \(AB\) и найдем его \[AB=\dfrac{9 \cdot h}{\sqrt{175}}=\dfrac{ 9 \cdot 1,3\textbf{ м}}{\sqrt{175}}\thickapprox0,9\text{ м}\]
Так как под кругом тоже тень, то к \(AB\) нужно прибавить радиус самого круга и получим 3,9 м.
На рисунке изображен ход луча в трех средах. Найдите наиболее оптически плотную среду. В ответ укажите цифру.
Чем среда оптически плотнее, тем луч света больше отклоняется к перпендикуляру. В нашем случае ход луча наиболее близкий к перпендикуляру в среде под номером 2.
