Механические колебания и волны (страница 2)

1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Уравнение гармонических колебаний: \[x = Acos(\omega t),\] где \(A\) – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний – это наибольшее значение смещения. По графику видно, что \(A = 3\) см. Тогда уравнение гармонических колебаний для данного груза: \[x = 0,03cos(\omega t).\] Скорость – это производная координаты: \[v_x = x' = - A\omega sin(\omega t) = -0,6sin (\omega t)\] Из данного уравнения видно, что \(A\omega = 0,6\), следовательно, \(\omega = \dfrac{0,6}{A} = \dfrac{0,6}{0,03} = 20\) рад/с
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Период колебаний маятника в данном случае определяется выражением: \[T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2 \cdot 3,14}{20 \text{ рад/с}} = 0,314 \text{ с}\] 3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Ускорение – это производная скорости по времени: \[a_x = v'_x = - A\omega ^{2}cos(\omega t) = - a_{x max}cos(\omega t)\] Следовательно, \[a_{x max} = A\omega ^{2} = 3 \cdot 10^{-2}\text{ м} \cdot (20 \text{ рад/с})^{2} = 12 \text{ м/с}^{2}\] 4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Циклическая частота определяется выражением: \[\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\] Отсюда выведем массу: \[m = \dfrac{k}{\omega ^{2}} = \dfrac{400 \text{ Н/м}}{(20 \text{ рад/с})^{2}} = 1 \text{ кг}\] 5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Максимальная потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется выражением \[E_\text{п max} = \dfrac{k(A + x_{0})^{2}}{2}\] где \(x_{0}\) – растяжение пружины под весом груза. Растяжение пружины под весом груза можно узнать, взяв положение равновесия для груза и расписав силы, действующие на него. В этом случае на груз будут действовать сила упругости \(\vec{F}_\text{упр}\) и сила тяжести \(m\vec{g}\), направленные в противоположные стороны друг от друга вдоль вертикальной оси \(Oy\).
В проекции на ось \(Oy\): \[F_\text{упр y} - mg = 0\] В данном случае сила упругости \[F_\text{упр у} = kx_{0}\] Тогда получаем следующее уравнение: \[kx_{0} - mg = 0\] Отсюда выражаем \[x_{0} = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с$ ^{2} $ }}{400 \text{ Н/м}} = 0, 025 \text{ м}\]Теперь мы можем узнать максимальную потенциальную энергию: \[E_\text{п max} = \dfrac{400 \text{ Н/м} \cdot (3 \cdot 10^{-2} \text{ м} + 0, 025 \text{ м})^{2}}{2} = 0,605 \text{ Дж} = 605 \text{ мДж }\]

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Уравнение гармонических колебаний: \[x = Acos(\omega t)\] где \(A\) – амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний – это наибольшее значение смещение. По графику видно, что \(A = 2\) см. Тогда уравнение гармонических колебаний для данного груза: \[x = 0,02cos(\omega t)\] Скорость – это производная координаты: \[v_x = x' = - A\omega sin(\omega t) = -0,8sin (\omega t)\] Из данного уравнения видно, что \(A\omega = 0,8\), следовательно, \[\omega = \dfrac{0,8}{A} = \dfrac{0,8}{0,02} = 40 \text{ рад/с}\] 2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Период колебаний маятника в данном случае определяется выражением: \[T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\cdot 3,14}{40 \text{ рад/с}} = 0,157 \text{ с}\] 3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Ускорение – это производная скорости по времени: \[a_x = v'_x = - A\omega ^{2}cos(\omega t) = - a_{x max}cos(\omega t)\] Следовательно, \[a_{x max} = A\omega ^{2} = 2 \cdot 10^{-2}\text{ м} \cdot (40 \text{ рад/с})^{2} = 32 \text{ м/с}^{2}\] 4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Циклическая частота определяется выражением: \[\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\] Отсюда выведем массу: \[m = \dfrac{k}{\omega ^{2}} = \dfrac{800 \text{ Н/м}}{(40 \text{ рад/с})^{2}} = 0,5 \text{ кг}\] 5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Максимальная потенциальная энергия упругой деформации пружины определяется выражением \[E_\text{п max} = \dfrac{k(A + x_{0})^{2}}{2}\] где \(x_{0}\) – растяжение пружины под весом груза. Растяжение пружины под весом груза можно узнать, взяв положение равновесия для груза и расписав силы, действующие на него. В этом случае на груз будут действовать сила упругости \(\vec{F}_\text{упр}\) и сила тяжести \(m\vec{g}\), направленные в противоположные стороны друг от друга вдоль вертикальной оси \(Oy\). В проекции на ось \(Oy\): \[F_\text{упр y} - mg = 0\] В данном случае сила упругости \(F_\text{упр у} = kx_{0}\). Тогда получаем следующее уравнение: \[kx_{0} - mg = 0\] Отсюда выражаем \(x_{0} = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{0,5 \text{ кг} \cdot 32 \text{ м/с$ ^{2} $ }}{800 \text{ Н/м}} = 0, 02\) м. Теперь мы можем узнать максимальную потенциальную энергию \[E_\text{п max} = \dfrac{800 \text{ Н/м} \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м} + 0, 02 \text{ м})^{2}}{2} = 0,64 \text{ Дж} = 640 \text{ мДж }\]

1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t = 0\) с скорость груза равна нулю, то есть, его кинетическая энергия равна 0, а это возможно лишь в положении максимального отклонения. Затем груз движется в отрицательном направлении оси \(Ox\), так как график зависимости скорости груза от времени убывает. Из этого следует, что в момент времени \(t = 0\) груз находился в точке Б.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t_2\) скорость груза равна нулю, то есть, его кинетическая энергия минимальна.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Период колебаний пружины определяется по формуле: \[T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}\] Отсюда выражаем \(m\): \[m = \dfrac{T^{2} k}{4\pi^2} = \dfrac{0,5^2\pi^2 \text{ с}^2 \cdot 40 \text{ Н/м}}{4\pi^2} = 2,5\text{ кг}\] 4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
В момент времени \(t_3\) скорость максимальна, следовательно, максимальна кинетическая энергия, а она максимальна в данном случае при прохождении положения равновесия (0).
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t_1\) скорость максимальна, следовательно, максимальна кинетическая энергия. Полная механическая энергия в данном случае определяется по формуле: \(E_\text{мех} = E_\text{п} + E_\text{к}\). Полная механическая энергия остается неизменной, следовательно, при максимальной кинетической энергии груза потенциальная энергия деформации пружины минимальна, то есть меньше кинетической энергии груза.

Утверждение 1 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
1) Растяжение пружины в \(t=1,0\) с максимально, следовательно, потенциальная энергия тоже максимальна.
Утверждение 1 – \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
2) Да, из таблицы видно, что период равен 4,0 с.
Утверждение 2 – \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
3) В момент времени \(t=2,0\) с потенциальная энергия пружины минимальна, следовательно, кинетическая энергия максимальна.
Утверждение 3 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
4) Амплитуда равна 15 мм.
Утверждение 4 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
5) Полная механическая энергия не изменяется во время процесса.
Утверждение 5 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)

Утверждение 1 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
1) Растяжение пружины в \(t=2,0\) с минимально, следовательно, потенциальная энергия тоже минимальна.
Утверждение 1 – \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
2) Да, из таблицы видно, что период равен 4,0 с.
Утверждение 2 – \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
3) В момент времени \(t=1,0\) с потенциальная энергия пружины максимальная, следовательно, кинетическая энергия минимальна.
Утверждение 3 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
4) Амплитуда равна 15 мм.
Утверждение 4 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
5) Полная механическая энергия не изменяется во время процесса.
Утверждение 5 – \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)