Динамика
На рисунке изображены векторы, которые приложены к одному точечному телу. Сторона клетки равна 1 Н. Найдите равнодейсвующую всех сил \(R\) и ускорение тела \(a\), если его масса \(m=2\) кг. (все силы находятся в одной плоскости)
Каждой позиции первого столбца подберите соответсвующую позицию из второго столбцa, в ответ укажите последовательность цифр.
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:} & \text{Численные значения (выражены в СИ)}\\ \hline \text{А) Равнодействующая всех сил, $R$}&1)\ 12\\ \text{Б) Ускорение тела, $a$}&2)\ 5 +\sqrt{13}\\ &3) \ 6\\ &4) \ 10 +2\sqrt{13}\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
А – 1
Равнодействующая всех сил равна векторной сумме всех сил. Найдём равнодействующую \(R_1\) сил \(F_2\) и \(F_3\): 
Теперь найдём равнодействующую \(R_2\) сил \(R_1\) и \(F_1\): 
По рисунку видно, что \(R_2 = R =12\) H.
Б – 3
По второму закону Ньютона: \[\vec{R} = m\vec{a}\] \[R = ma \Rightarrow a = \frac{R}{m} = \frac{12\text{ H}}{2\text{ кг}} = 6\text{ м/с$^2$}\]
Грузик подвесили к лёгкой пружинке, прикреплённой к потолку. Система находится в равновесии. На рисунках изображены графики зависимости некоторых физических величин от других величин. Определите, какие зависимости могут изображать эти графики?
К каждой позиции из первого столбца подберите соответствующую позицию из второго. В ответ укажите последовательность цифр
ГРАФИКИ: 
ЗАВИСИМОСТИ:
1) Растяжение пружинки от жёсткости, \(\Delta x(k)\)
2) Жёсткость пужинки от времени, \(k(t)\)
3) Ускорение тела от жёсткости пружинки, \(a(k)\)
4) Сила упругости от растяжения пружинки, \(F(\Delta x)\)
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
1) По закону Гука сила уругости равна: \[F = k\Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{F}{k}\]
Значит, график зависимоти \(\Delta x(k)\) – гипербола, что соответсвует графику Б \(\Rightarrow\) Б – 1
2) Время никак не влияет на жёсткость пружины (это видно из закона Гука, п.1), следовательно, график зависимости \(k(t)\) – прямая, параллельная оси Ох. 
3) Так как система в равновесии, то ускорения у грузика нет, \(\Rightarrow\) при любых значениях жёсткости ускорение \(a=0\). 
4) По закону Гука сила уругости равна: \[F = k\Delta x\]
Значит, сила F зависит от растяжения \(\Delta x\) линейно, что соответсвует графику А \(\Rightarrow\) А — 4.
Спутник вращается вокруг Земли на расстояние \(R\). Масса спутника – \(m\), а масса Земли – \(M\), \(G\) – гравитационная постоянная. Чему равны потенциальная энегия спутника \(E_{\text{п}}\) и его скорость \(\upsilon\)?
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую похицию из второго. В ответ укажите последовательность цифр.
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ВЕЛИЧИНЫ} & \text{ФОРМУЛЫ:}\\ \hline \text{А) Потенциальная энегия}, E_{\text{п}}&1)\ -\dfrac{GmM}{R}\\ \text{Б)Скорость}, \upsilon&2)\ \sqrt{\dfrac{GM}{R}}\\ &3)\ \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\\ &4)\ \dfrac{GmM}{R}\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
1) Потенциальная энегия спутника массой \(m\), летающего на расстояние \(R\) от планеты определяется формулой: \[E_{\text{п}}=-\dfrac{GmM}{R}\]
А — 1
2) На спутник действует сила гравитации. По второму закону Ньютона: \[G\frac{mM}{R^2} = ma\]
где \(а\) — ускорение спутника, при чём так как он движется по окружности, то: \[G\frac{mM}{R^2}= ma = m\cdot\frac{\upsilon^2}{R}\Rightarrow\]
\[\upsilon = \sqrt{\frac{GM}{R^2}\cdot R} = \sqrt{\frac{GM}{R}} \Rightarrow\]
Б — 2
Тело массой \(m=3\) кг движется под действием некоторых сил На рисунке привидён график зависимости результирующей всех сил \(F\) от времени \(t\). Определите по графику ускорение тела в период времени от 0 с до 2 с и от 3 с до 6 с.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца. В ответ укажите последовательность цифр.
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:}&\text{ЗНАЧЕНИЯ (ВЫРАЖЕНЫ В СИ)}\\ \hline \text{A) Модуль ускорения тела в период времени от 0 с до 2 с, } a_1 &1)\ 2\\ \text{Б) Модуль скорения тела в период времени от 3 с до 6 с, } a_2 &2)\ 6\\ &3)\ 0\\ &4)\ 4\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
По второму закону Ньютона результирующая всех сил F равна: \[F = ma\]
Запишем это уравнение для первого и второго случаев соответственно: \[F_{0-2} = ma_1\Rightarrow a_1 = \frac{F_{0-2}}{m}\] \[F_{3-6} = ma_2\Rightarrow a_2 = \frac{F_{3-6}}{m}\]
Посчитаем нужные нам ускорения: \[a_1 = \frac{F_{0-2}}{m} = \frac{12\text{ Н}}{3\text{ кг}} = 4\text{ м/с$^2$}\Rightarrow\textbf{А — 4}\] \[a_2 = \frac{F_{3-6}}{m} = \frac{0\text{ Н}}{3\text{ кг}} = 0\text{ м/с$^2$}\Rightarrow\textbf{Б — 3}\]
Небольшое тело движется по круговой траектории радиусом \(R\) с постоянной угловой скорстью \(\omega\). Определите, по каким формулам можно найти значение линейной скорсти \(\upsilon\) и период вращения \(Т\).
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго. В ответ укажите последовательность цифр
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:}& \text{ФОРМУЛЫ:}\\ \hline \text{А) Линейная скорость движения}&1)\ \dfrac{\omega}{2\pi}\\ \text{Б) Период вращения}&2)\ \omega R\\ &3)\ \dfrac{2\pi}{\omega}\\ &4)\ \omega^2 R\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
1) По определению угловая скорость связана с периодом по формуле: \[\omega=\frac{2\pi}{T}\Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega}\Rightarrow\textbf{Б — 3}\]
2) Так как период обращения – время, за которое тело делает один полный оборот, то: \[T = \frac{2\pi R}{\upsilon}\Rightarrow\upsilon = \frac{2\pi R}{T} = 2\pi R\cdot \frac{\omega}{2\pi} = \omega R\Rightarrow \textbf{А — 2}\]
Мальчик тянет равномерно санки массой \(m\) сначала вниз по горке, а потом – вверх с постоянной силой. Угол наклона плоскости к горизонту \(\alpha\ (0^{\circ}<\alpha<90^{\circ})\). Коэффициент трения горки о санки равен \(\mu\). Определите, по каким формулам можно найти силу \(F\), с которой тянет мальчик вверх и вниз?
Каждой позиции первого столбца подберите соответсвующую позицию из второго столбца, в ответ укажите последовательность цифр. \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ:} & \text{ФОРМУЛЫ:}\\ \hline \text{А) Сила $F$, с которой мальчик тянет вверх }&1)\ m(\mu g\cos{\alpha}+g\sin{\alpha})\\ \text{Б) Сила $F$, c которой мальчик тянет вниз}&2)\ m(g\cos{\alpha}- \mu g\sin{\alpha})\\ &3)\ m(\mu g\cos{\alpha-g\sin{\alpha}})\\ &4)\ mg(\cos{\alpha}- \sin{\alpha})\\ \hline \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline A&Б\\ \hline &\\ \hline \end{array}\]
А – 1
Рассмотрим силы, действующие на санки:
По второму закону Ньютона: \[\vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}+\vec{F_{\text{тр}}}=m\vec{a}\]
Спроециуем на оси \(Oy\) и \(Ox\): \[Ox: F - F_{\text{тр}} -mg\sin{\alpha}=0 \Rightarrow F =F_{\text{тр}} +mg\sin{\alpha}\] \[Oy: N-mg\cos{\alpha} =0 \Rightarrow N=mg\cos{\alpha}\]
По определению сила трения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos{\alpha}\]
Отсюда: \[F =F = \mu mg\cos{\alpha} +mg\sin{\alpha} = m(\mu g\cos{\alpha}+ g\sin{\alpha})\]
Б – 3
Рассмотрим силы, действующие на санки: 
По второму закону Ньютона: \[\vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}+\vec{F_{\text{тр}}}=m\vec{a}\]
Спроециуем на оси \(Oy\) и \(Ox\): \[Ox: F-F_{\text{тр}} + mg\sin{\alpha}=0 \Rightarrow F =F_{\text{тр}} -mg\sin{\alpha}\] \[Oy: N-mg\cos{\alpha} =0 \Rightarrow N=mg\cos{\alpha}\]
По определению сила трения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos{\alpha}\]
Отсюда: \[F =F_{\text{тр}} -mg\sin{\alpha}= \mu mg\cos{\alpha} -mg\sin{\alpha} = m(\mu g\cos{\alpha}- g\sin{\alpha})\]
