Механические колебания
Период свободных колебаний математического маятника равен 0,5 с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если длину маятника увеличить в 4 раза, а массу вдвое уменьшить? (Ответ дайте в секундах.)
Период свободных колебаний математического маятника связан с длиной самого маятника, но не зависит от массы груза: \[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\] При увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличится в 2 раза, т. е. станет равным 1 с.
Период гармонических колебаний массивного груза на лёгкой пружине равен 2,4 с. В некоторый момент времени потенциальная энергия груза равна \(0\) (\(t=0\)). Через какое минимальное время потенциальная энергия груза достигнет максимума второй раз? (Ответ дайте в секундах.)
Максимальное значение потенциальная энергия приобретает в точке максимального отклонения пружины, когда скорость груза наименьшая. Так как период колебаний \(T=2,4\) с, то эта точка крайнего положения груза будет достигнута через \(\displaystyle \frac{T}{4} = \frac{2,4}{4} \) = 0,6 с. Это легко установить, зная, что период колебаний — это время одного полного колебания, при котором груз дважды проходит точку крайнего отклонения груза и первый раз он ее достигает через четверть периода (если начальное значение выбрать как точку равновесия груза). Второй раз потенциальная энергия достигнет максимума через \(\displaystyle \frac{3T}{4} = \frac{3\cdot2,4}{4} = 1,8 \) c.
На рисунке изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая).
Какова амплитуда колебаний этого маятника при резонансе? (Ответ дайте в сантиметрах, округлив до целых.)
Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте маятника. Из графика видно, что резонанс происходит при значении частоты вынуждающей силы в 2 Гц, амплитуда колебаний маятника при этом равна 8 см.
Груз массой 1000 г, подвешенный на пружине, совершает свободные вертикальные колебания с частотой 2 Гц. С какой частотой будет совершать такие колебания груз 250 г, если его подвесить на ту же пружину? (Ответ дайте в Гц.)
Частота колебаний \(\nu=2\) Гц пружинного маятника массой \(m=1000\) г \(= 1\) кг определяется по формуле:
\[\displaystyle \nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\] где \(k\) — жесткость пружины. Если взять маятник массой \(m_2=250\) г \(= m/4\), то частота колебаний станет равной
\[\displaystyle \nu_{2}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\dfrac{m}{4}}}=2\cdot\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=2\nu\] \[\nu_{2}=2\cdot2=4\: \text{Гц }\].
На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. Какая кинетическая энергия маятника в момент времени, соответствующий на графике точке A? (Ответ дайте в джоулях.)
При колебании математического маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как на маятник не действует никаких внешних сил, совершающих работу. В любой момент времени имеем
\[E_{\text{кин}}(t) + E_{\text{п}}(t) = E_{\text{полн.мех}} = const\] Из графика видно, что в моменты времени 0 с и 2 с потенциальная энергия имеет максимум, а значит, в эти моменты времени ее значение совпадает с величиной полной механической энергии. Отсюда
\[E_{\text{полн.мех}} = 16\: \text{Дж }\] В точке \(\textit{A}\) \[E_{\text{п}} = E_{\text{кин}} = 8\: \text{Дж }\]
На рисунке приведён график зависмости кинетической энергии \(E_{\text{к}}\) математического маятника массой \(m=200\) г от времени \(t\). В какой момент времени потенциальная энергия маятника станет максимальной в первый раз после начала колебаний? (Ответ дайте в секундах.)
По закону cохранения энергии: \[E_\text{п} + E_\text{к} = const\] где \(E_k\) — это кинетическая энергия, а \(E_\text{п}\) — это потенциальная энергия.
Следовательно \(E_\text{п}\) максимальна, когда \(E_k = 0\).
По графику видно, что первый раз \(E_k = 0\) в момент врмени \(t=0\), а второй – в момент времени \(t=6\) c.
Груз пружинного маятника смещается относительно положения равновесия по закону: \[x = A \sin{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)}\] где А — амплитуда колебаний, T — период колебаний, \(T=1\) c.
Через какое минимальное время после момента \(t=0\) кинетическая энегия груза станет максимальной? (Ответ дайте в секундах.)
Кинетическая энергия груза: \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\] Чтобы \(E_k\) была максимальной, скорость груза должна быть максимальной (так как прямая зависимость). Найдём производную координаты по времени: \[x_t'=\upsilon = A\cdot\frac{2\pi}{T}\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)}\] \(\upsilon=\upsilon_{max}\), когда \(\displaystyle \cos{\left(\frac{2\pi}{\text{T}}t\right)} =1\), так как это максимальное значение косинуса
Решив это уравнение с условием, что нам нужен минимальный промежуток времени, получим: \[\frac{2\pi}{\text{T}}t =\pi \Rightarrow t =\frac{T}{2} = \frac{1\text{ с}}{2} = 0,5\text{ с}\]
