Момент силы, механическое равновесие тела

Пусть \(M_1\) – момент силы, приложенной к рычагу справа, а \(M_2\) – слева. Чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующих на него слева и справа, должны быть равны: \[M_1 = M_2\] В то же время момент силы \(M_2\) по определению равен произведению силы на ее плечо: \[M_2 = F\cdot{l},\] где \(F\) – величина силы, приложенной слева; \(l\) – длина плеча слева. Исходя из этого получаем, что: \[M_1 = F\cdot{l}\] Отсюда выразим \(l\): \[l = \frac{M_1}{F}\] \[l = \frac{90\text{ Н}\cdot{\text{м}}}{300\text{ Н}} = 0,3\text{ м} = 30\text{ см }\]

Пусть масса правого груза \(m_1\), а левого – \(m_2\).
Обозначим длину одного деления за \(l\). Тогда, исходя из рисунка, длина правого плеча равна \(l_1 = 7l\), а длина левого плеча равна \(l_2 = nl\), где \(n\) – количество делений.
Чтобы рычаг достиг равновесия, моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: \(M_1 = M_2\).
В то же время моменты сил \(M_1\) и \(M_2\) по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1l_1\] \[M_2 = F_2l_2\] Отсюда получаем: \(F_1l_1 = F_2l_2\)
Выразим длину левого плеча рычага: \(\displaystyle{l_2 = \frac{F_1l_1}{F_2}}\)
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2g\] С учетом этого: \[l_2 = \displaystyle{\frac{m_1g\cdot{l_1}}{m_2g}} = \frac{m_1l_1}{m_2}\] \[\displaystyle{l_2 = \frac{1\text{ кг}\cdot{7l}}{3,5\text{ кг}} = 2l}\Rightarrow nl = 2l \Rightarrow n = 2\]

Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы реакции опоры \(N\) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку \(O_3\). Получаем, что плечом этой силы является отрезок \(O_3C\).
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок \(O_3C\).
Рассмотрим треугольник \(\Delta O_1O_2O_4\) с прямым углом \(O_2\): \[O_1O_4^2 = O_1O_2^2 + O_4O_2^2\] \[O_1O_2 = O_2O_4 = a\] \[\displaystyle{O_1O_4 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}}\] Далее найдем отрезок \(O_2O_3\): \[\displaystyle{O_2O_3 = \frac{1}{2}O_1O_4} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Рассмотрим треугольник \(\Delta O_3O_2C\) с прямым углом \(C\): \[O_3O_2^2 = O_3C^2 + O_2C^2\] \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{O_3O_2^2 - O_2C^2 }}}\] \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 - O_2C^2 }}}\] Зная объем куба, можно найти его сторону \(a\): \[V = a^3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{512\text{ см}^3} = 8 \text{ см }\] Тогда: \[\displaystyle{O_3C = {\sqrt{\left(\frac{8\text{ см}\cdot\sqrt{2}}{2}\right)^2 - (\sqrt{7}\text{ см})^2 }} = 5 \text{ см} = 0,05\text{ м }}\]

Момент силы трения \(M\) равен произведению модуля силы трения \(F_\text{тр}\) на ее плечо \(l\): \[M = F_\text{тр}\cdot{l}\] Прямая \(OO_1\) – линия действия силы трения. По рисунку видно, что длина плеча силы трения \(l\) относительно точки \(O_1\) равна нулю (так как ось вращения, проходящая через точку \(O_1\), перпендикулярна линии действия силы трения).
Следовательно, и момент силы трения \(M\) так же равен нулю: \[M = F_\text{тр}\cdot{0}\text{ м} = 0\text{ Н}\cdot{\text{м }}\]

Момент силы тяжести M равен произведению модуля силы тяжести \(F\) на ее плечо \(l\): \[M = F\cdot{l}\] Плечо – это кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Мысленно продолжим линию действия силы тяжести \(F\) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку \(A\). Получаем, что плечом силы тяжести является отрезок \(AO_3\).
Воспользуемся геометрией, чтобы найти отрезок \(AO_3\).
Рассмотрим треугольник \(\Delta O_1O_2O_3\) с прямым углом \(O_3\): \[O_1O_2^2 = O_1O_3^2 + O_2O_3^2\] \[O_1O_3 = O_2O_3\] \[O_1O_2^2 = 2O_1O_3^2\] \[\displaystyle{O_1O_3 = \frac{O_1O_2}{\sqrt{2}}}\] \[\displaystyle{O_1O_3 = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = 5\text{ м }\] Рассмотрим треугольник \(\Delta O_1AO_3\) с прямым углом A: \[O_1O_3^2 = AO_3^2 + AO_1^2\] \[AO_3 = \sqrt{O_1O_3^2 - AO_1^2}\] \[AO_3 = \sqrt{(5\text{ м})^2 - (3\text{ м})^2} = 4\text{ м }\] Сила тяжести равна произведению массы куба \(m\) на ускорение свободного падения \(g\): \[F = mg\] Подставим это значение в исходную формулу: \[M = mg\cdot{AO_3}\] Зная плотность и объем куба, можно найти его массу: \[\displaystyle{\rho =\frac{m}{V}},\text{ где }V = a^3\] \[m = \rho V = \rho a^3\] Подставим это значение в предыдущую формулу и найдем искомую величину: \[M = \rho a^3g\cdot{AO_3}\] \[\displaystyle{M = 400\text{ }\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot{(5\sqrt{2}\text{ м})}^3\cdot{10\frac{\text{м}}{\text{с}^2}}\cdot{4}\text{ м} \approx 5,7\text{ М\,Н$\cdot$м }}\]

Момент действующей на горизонтальную стенку силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку \(O\), равен: \[M = N_2l,\] где \(l\) – плечо силы. Мысленно продолжим линию действия силы рекции опоры \(N_2\) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку \(O\). Получаем, что плечом силы \(N_2\) является отрезок \(OC_1\), равный: \[\displaystyle{OC_1 = \frac{BC}{2}} = \frac{\sqrt{AC^2 - AB^2}}{2}\] \[OC_1 = \frac{\sqrt{9,7\text{ м}^2 - 6,5\text{ м}^2}}{2} = 3,6\text{ м }\] Чтобы найти неизвестную величину \(N_2\), укажем все силы, действующие на прут, и запишем второй закон Ньютона с учетом того, что тело находится в равновесии: \[\vec{F}_{\text{тр}1} + \vec{N}_1 + \vec{F} + \vec{N}_2 + \vec{F}_{\text{тр}2} = 0\] Введем оси \(OX\) и \(OY\), спроецируем на них все силы. \[OX: N_1 - F_{\text{тр}2} = 0\] \[OY: F_{\text{тр}1} + N_2 - F = 0\] Выразим силу реакции опоры \(N_2\), действующую на горизонтальную стенку: \[N_2 = F - F_{\text{тр}1}\] Сила тяжести \(F\) по определению равна: \(F = mg\), поэтому: \[N_2 = mg - F_{\text{тр}1}\] \[N_2 = 1\text{ кг}\cdot{10\text{ }\frac{\text{м}}{\text{c}}^2} - 3\text{ H} = 7\text{ H }\] Подставим найденные значения в начальную формулу: \[M = 7{\text{ Н}\cdot{3,6}\text{ м}} = 25,2\text{ Н}\cdot{\text{м}}\approx{25}\text{ Н}\cdot{\text{м }}\]

Так как рычаг находился в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева, должны быть равны: \(M_1 = M_2\).
В то же время моменты сил \(M_1\) и \(M_2\) по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1l_1\] \[M_2 = F_2l_2\] Отсюда получаем: \(F_1l_1 = F_2l_2\)
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2g\] С учетом этого: \(M_1 = m_1g\cdot{l_1}\) и \(M_2 = m_2g\cdot{l_2}\). Приравняв \(M_1\) и \(M_2\), получаем, что: \[m_1g\cdot{l_1} = m_2g\cdot{l_2}\] \[m_1l_1 = m_2l_2\] Выразим массу второго груза \(m_2\): \[\displaystyle{m_2 = \frac{m_1l_1}{l_2}}\] \[\displaystyle{m_2 = \frac{0,7\text{ кг}\cdot{0,84\text{ м}}}{0,35\text{ м}}} \approx 1,7\text{ кг }\]