Момент силы, механическое равновесие тела (страница 2)

Так как рычаг после увеличения длины плеча \(d_1\) в 3 раза остается в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева во втором случае, должны быть равны: \(M_1 = M_2\).
В то же время моменты сил \(M_1\) и \(M_2\) по определению равны произведению силы на ее плечо: \[M_1 = F_1\cdot{3d_1}\] \[M_2 = F_2\cdot{d_2}\]
Отсюда получаем: \(F_1\cdot{d_1} = F_2\cdot{d_2}\)
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому: \[F_1 = m_1g\] \[F_2 = m_2^{'}g,\] где \(m_2^{'}\) – масса груза, подвешенного справа, во втором случае.
С учетом этого: \(M_1 = m_1g\cdot{3d_1}\) и \(M_2 = m_2^{'}g\cdot{d_2}\).
Приравняв \(M_1\) и \(M_2\), получаем, что: \[m_1g\cdot{3d_1} = m_2^{'}g\cdot{d_2}\] \[3m_1d_1 = m_2^{'}d_2\] Выразим массу второго груза \(m_2^{'}\): \[\displaystyle{m_2^{'} = \frac{3m_1d_1}{d_2}}\] Заметим, что \(\displaystyle{\frac{m_1d_1}{d_2} = m_1}\) (это следует из условия равновесия рычага для первого случая). \[m_2^{'} = 3m_1\] То есть, чтобы рычаг после увеличения длины плеча \(d_1\) в 3 раза сохранил равновесие, масса второго груза должна так же увеличиться в 3 раза.
Тогда его масса должна измениться на: \[\Delta m = m_2^{'} - m_2 = 3m_2 - m_2 = 2m_2\] \[\Delta m = 2\cdot{0,5\text{ кг}} = 1\text{ кг }\]

Т.к. груз движется без ускорения, то равнодействующая всех сил, действующих на груз, равна нулю. Поворот ворота обеспечивает подъем груза. В результате этого создается момент силы \(F\), длина плеча которой совпадает с длиной рукоятки \(l\), и он равен: \[M_1 = Fl\] Момент \(M_1\) уравновешивается моментом действующей на груз силы тяжести, длина плеча которой совпадает с радиусом вала ворота \(R\): \[M_2 = mg\cdot{R}\] \[Fl = mg\cdot{R}\] Отсюда выразим силу \(F\): \[\displaystyle{F = \frac{mg\cdot{R}}{l}}\] \[\displaystyle{F = \frac{6\text{ кг}\cdot{10\text{ м/c}^2}\cdot{0,24\text{ м}}}{0,36\text{ м}} = 40\text{ Н }}\]

Момент действующей на вертикальную стенку силы реакции опоры относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку \(B\), равен: \[M = N_1l,\] где \(l\) - плечо силы. Мысленно продолжим линию действия силы реакции опоры \(N_1\) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку \(B\). Получаем, что плечом силы \(N_2\) является отрезок \(AB\), равный: \[\displaystyle{AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}}\] \[AB = \sqrt{0,65\text{ м}^2 - 0,16\text{ м}^2} = 0,63\text{ м }\] Чтобы найти неизвестную величину \(N_1\), укажем все силы, действующие на прут, и запишем второй закон Ньютона с учетом того, что тело находится в равновесии: \[\vec{F}_{\text{тр}1} + \vec{N}_1 + \vec{F} + \vec{N}_2 + \vec{F}_{\text{тр}2} = 0\] Введем оси \(OX\) и \(OY\), спроецируем на них все силы. \[OX: N_1 - F_{\text{тр}2} = 0\] \[OY: F_{\text{тр}1} + N_2 - F = 0\] Выразим силу реакции опоры \(N_1\), действующую на горизонтальную стенку: \[N_1 = F_{\text{тр}2}\] \[N_1 = 20\text{ H}\] Подставим найденные значения в начальную формулу: \[M = 20{\text{ Н}\cdot{0,63}\text{ м}} = 12,6\text{ Н}\cdot{\text{м}}\approx{13}\text{ Н}\cdot{\text{м }}\]

Момент действующей на прут со стороны горизонтальной стенки силы трения относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку \(A\), равен: \[M = F_{\text{тр}2}l,\] где \(l\) - плечо силы. Мысленно продолжим линию действия силы реакции опоры \(F_{\text{тр}2}\) и перпендикуляром соединим ее с прямой, проходящей через точку \(A\). Получаем, что плечом силы \(F_{\text{тр}2}\) является отрезок \(AB\), равный: \[\displaystyle{AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}}\] \[AB = \sqrt{0,89\text{ м}^2 - 0,39\text{ м}^2} = 0,8\text{ м}\] Чтобы найти неизвестную величину \(F_{\text{тр}2}\), укажем все силы, действующие на прут, и запишем второй закон Ньютона с учетом того, что тело находится в равновесии: \[\vec{F}_{\text{тр}1} + \vec{N}_1 + \vec{F} + \vec{N}_2 + \vec{F}_{\text{тр}2} = 0\] Введем оси \(OX\) и \(OY\), спроецируем на них все силы. \[OX: N_1 - F_{\text{тр}2} = 0\] \[OY: F_{\text{тр}1} + N_2 - F = 0\] Выразим силу трения \(F_{\text{тр}2}\), действующую на горизонтальную стенку: \[F_{\text{тр}2} = N\] \[F_{\text{тр}2} = 125\text{ H }\] Подставим найденные значения в начальную формулу: \[M = 125{\text{ Н}\cdot{0,8}\text{ м}} = 100\text{ Н}\cdot{\text{м}} = 0,1\text{ кН}\cdot{\text{м }}\]

Из правила моментов: \[m1gl_1=m_2gl_2 \Rightarrow l_2=m_1\dfrac{l_1}{l_2}=0,2\text{ кг}\cdot 1,5=0,3\text{ кг}\] где \(m_1\) и \(m_2\) – массы грузов, \(l_1\) и \(l_2\) – расстояния от точки крепления грузов до точки подвеса.

Из правила моментов: \[F_1 \cdot OA=F_2 \cdot OB \Rightarrow OA= \dfrac{F_2\cdot OB}{F_1}=\dfrac{30\text{ Н}\cdot 80\text{ см}}{80\text{ Н}}=30\text{ см}\] Где \(F_1\) и \(F_2\) – силы, приложенные к концам ОА и ОВ соответственно.