12. Исследование функций с помощью производной —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91264

Найдите точку минимума функции $y = x√x − 24x +1.$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Выполним замену $t =√x,$ тогда теперь функция имеет вид $y =t3− 24t2 +1$ при условии, что $t≥ 0.$ Найдем производную функции:

y′ = (t3− 24t2+ 1)′ = 3t2− 48t.

Экстремумы функции находятся в точках, где ее производная равна нулю:

[t = 0 3t2− 48t= 0 ⇔ 1 t2 = 16

Нули производной разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков, учитывая, что $t≥ 0 :$

$PICT$

Поскольку при $t= 16$ производная меняет свой знак с «–» на «+» при проходе слева направо, то $t= 16$ и есть минимум функции. Тогда имеем:

√- x = 16 ⇒ x= 256

Ответ: 256

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2081

Найдите точку максимума функции $y = − x2$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = − 2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− 2x = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2082

Найдите точку минимума функции $y = x2 + 2x + 2$ на отрезке $[− 2;2]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 2x + 2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x + 2 = 0 ⇔ x = − 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 2;2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 2;2]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка минимума функции $y$ на $[− 2;2]$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2191

Найдите точку локального минимума функции $y = x3 − 3x$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 3x2 − 3

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 3 = 0 ⇔ x = ±1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2742

Найдите наименьшее значение функции $y = 2x2 + 2x + 11$ на отрезке $[− 4;0]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 4x + 2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

4x + 2 = 0 ⇔ x = − 0,5.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 4;0]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 4;0]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего на $[− 4;0]$ значения функция достигает в $x = − 0,5$ .

y(− 0,5 ) = 2 ⋅ 0,25 − 1 + 11 = 10,5.

Итого: $10,5$ – наименьшее значение функции $y$ на $[− 4;0]$ .

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#13551

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 11)+ 8.$

Показать ответ и решение

Обозначим $f(x) = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Найдем производную функции:

f′(x)= (2x− ln(x+ 11)+ 8)′ = ′ ′ ′ = (2x)− (ln(x+ 11) +(8) = --1-- --1-- 2x-+-21 = 2− x+ 11 + 0 =2 − x+ 11 = x+ 11

Легко видеть, что полученная дробь зануляется при $−21 x= -2--$ и не определена при $x= −11.$

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются в нечетном числе множителей, следовательно, знак в них будет меняться.

$PIC$

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с « $−$ » на « $+$ », так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать. Значит, $x =− 10,5$ — точка минимума функции $y = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Ответ: -10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16753

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x− 3)+ 5.$

Показать ответ и решение

Заметим, что данная функция определена при $x> 3,$ поэтому далее будем рассматривать ее на промежутке $(3;+∞ ).$

Найдем критические точки заданной функции

f(x) =2x − ln(x− 3)+5

Для этого вычислим её производную:

f′(x)= (2x)′− (ln(x − 3))′+5′ = 1 2x − 7 = 2 − x−-3 + 0=-x−-3

Далее найдем нули производной:

f′(x)= 0 ⇒ 2x−-7 = 0 x− 3 2x − 7 = 0 ⇒ x= 3,5

Единственная критическая точка — это $x= 3,5,$ в этой точке производная меняет знак. Для того чтобы определить, является ли $x= 3,5$ точкой минимума, нужно определить знаки производной при $x< 3,5$ и $x> 3,5.$

Если $x > 3,5,$ то $f′(x)> 0,$ если $x < 3,5,$ то $f′(x)< 0.$ Значит, точка $x= 3,5$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17167

Найдите наименьшее значение функции $3 y = 13+ 75x − x$ на отрезке $[−5;5].$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции.

1.

Найдем производную:

y′ = 75− 3x2

2.

Найдем нули производной:

75− 3x2 = 0 ⇒ x= ±5

3.

Найдем знаки производной в получившихся промежутках и изобразим схематично график функции:

$PIC$

Таким образом, на отрезке $[−5;5]$ функция $y$ возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в точке $x = −5 :$

y(−5)= 13− 5⋅75+ 53 = −237

Ответ: -237

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17243

Найдите точку максимума функции $x3 y = 14 +x − 3 .$

Показать ответ и решение

Обозначим $x3 f(x) = 14 +x − 3 .$

1.

Найдем производную функции:

′ 2 f (x)= 1 − x

2.

Нули производной $x = ±1.$

3.

Применим метод интервалов для определения знаков производной. В каждом из нулей знак производной меняется на противоположный.

$PIC$

4.

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежуткe $(− 1;1)$ производная положительна, то есть исходная функция возрастает. Левее точки $x= − 1$ и правее точки $x =1$ производная отрицательна и функция убывает.

$PIC$

На полученном эскизе видно, что точкой максимума является $x= 1,$ так как левее нее функция возрастает, а правее — убывает.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#19493

Найдите точку максимума функции $3 y =x − 108x+ 115.$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки заданной функции. Для этого вычислим ее производную:

′ ( 3 )′ ( f)(x′) = x − 108x+ 115 = = x3 − (108x)′+ (115)′ = 3x2− 108

Далее найдем нули производной:

′ 2 f (x)= 0 ⇔ 3x − 108 = 0 x2 = 36 ⇔ x= ±6

Так как производная непрерывна, то имеем промежутки знакопостоянства производной:

(−∞; −6), (− 6;6), (6;+∞ )

Тогда при $x∈ (−∞; −6)$ производная $f′(x)> 0,$ при $x∈ (−6;6)$ производная $f′(x)< 0,$ а при $x∈ (6;+ ∞ )$ производная $f′(x) > 0.$

Значит, на промежутках $(− ∞;− 6)$ и $(6;+ ∞)$ функция возрастает, а на промежутке $(−6;6)$ — убывает.

Точка $x0$ является точкой максимума, если в ней производная меняет знак с « $+$ » на « $−$ » при движении слева направо. Следовательно, $x = −6$ — точка максимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32209

Найдите наименьшее значение функции $y = 13x − 9sinx +9$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ = 13− 9cosx

Найдем нули производной:

13 y′ = 0 ⇒ cosx = 9- ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $′ y(x)> 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ,$ значит, принимает наименьшее значение в начале отрезка, то есть в точке $x= 0 :$

y(0)= − 9sin0 +9 = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32213

Найдите наибольшее значение функции $y = 15x− 3sinx +5$ на отрезке $[− π;0] 2$ .

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ y= 15− 3cosx =3(5− cosx)

Найдем нули производной:

′ y =0 ⇔ 3(5 − cosx)=0 ⇔ cosx =5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Производная не имеет нулей, следовательно, принимает значения одного знака. Так как $cosx ∈[−1;1]$ , то $5− cosx∈ [4;6]$ , следовательно, $y′ >0$ при всех $x ∈ℝ$ . Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всей своей области определения, значит, на любом отрезке наибольшее значение функция принимет в конце этого отрезка. Следовательно, наибольшее значение функции на указанном отрезке равно

y(0)= 15⋅0− 3sin0+ 5= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32220

Найдите наибольшее значение функции $y = 7cosx+ 16x− 2$ на отрезке $[− 3π;0] . 2$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ y = −7sinx +16

Найдем нули производной:

′ 16 y =0 ⇒ sinx = 7 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x= 0$ , мы понимаем, что $′ y(x)>0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ$ , значит, принимает наибольшее значение в конце отрезка, то есть в $x =0$ , и оно равно

y(0)= 7cos0 − 2= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32222

Найдите наибольшее значение функции $y = 4cosx − 20x +7$ на отрезке $[ 3π] 0; 2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ =− 4sinx − 20

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ sinx =− 5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $y′(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ,$ значит, принимает наибольшее значение в левом конце отрезка, то есть в точке $x= 0:$

y(0) = 4cos0 +7 = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32223

Найдите наибольшее значение функции $y =5 sinx− 6x+ 3$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ =5 cosx − 6

Найдем нули производной:

6 y′ = 0 ⇒ cosx= 5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $′ y(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ,$ значит, принимает наибольшее значение в начале отрезка, то есть в точке $x = 0:$

y(0)= 5sin 0+ 3= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32244

Найдите точку минимума функции $y = x3+ 5x2+7x− 5.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y =3x + 10x +7

Найдем нули производной:

′ 2 7 y =0 ⇒ 3x + 10x+ 7= 0 ⇔ x= −1;− 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −1$ является точкой минимума.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32245

Найдите точку максимума функции $y = 7+ 12x − x3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 12− 3x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 4 ⇔ x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 2$ является точкой максимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32246

Найдите точку минимума функции $y = 7+ 12x− x3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 12− 3x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 4 ⇔ x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −2$ является точкой минимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32247

Найдите точку максимума функции $y = 9x2− x3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(6 − x)= 0 ⇔ x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 6$ является точкой максимума.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32248

Найдите точку минимума функции $y = 9x2− x3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(6 − x)= 0 ⇔ x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 0$ является точкой минимума.

Ответ: 0