11. Задачи на свойства графиков функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи на свойства графиков функций

Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.01 Задачи на свойства графиков функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Разделы подтемы Задачи на свойства графиков функций

Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

График линейной функции (прямая)

График квадратичной функции (парабола)

График корня

График обратной пропорциональности (гипербола)

График показательной функции (экспонента)

График логарифмической функции

График модуля

Графики синуса и косинуса

Комбинации нескольких графиков

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73810

На рисунке изображен график функции $f(x) =pax.$ Найдите $f(4).$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (1;1)$ и $B(2;5).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему

{1= pa 5= pa2 { a =5 p= 0,2

Следовательно,

f(x)= 0,2⋅5x = 5x−1.

Тогда

4−1 f(4) = 5 = 125.

Ответ: 125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73811

На рисунке изображен график функции $f(x)= pax.$ Найдите значение $x,$ при котором $f (x)= 32.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

График проходит через точки $A (0;4)$ и $B(2;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяет уравнению, задающему график. Тогда получаем следующую систему:

({ 0 ({ 4 =pa ⇔ a= 0,5 (1 =pa2 ( p= 4

Следовательно, $f(x)= 4⋅0,5x.$ Тогда

4⋅0,5x = 32 ⇔ 0,5x = 8 ⇔ x= − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73812

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите ординату точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точки $(2;3)$ и $(6;1).$ Следовательно, эти точки удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

(| k { 3= 2 |( k 1= 6 k = 6 f(x)= -6 x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(1;1)$ и $(3;−1),$ следовательно, система следующая:

(| c { 1= 1 +d |( −1= c + d 3 {c = 3 d = −2 g(x)= 3 − 2 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

6 = 3 − 2 x x 3 = −2 x x =− 3 2

Тогда ордината точки пересечения графиков равна

( 3) 6 f −2 = --3= − 4 − 2

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73813

На рисунке изображены части графиков функций $f(x) = k x$ и $g(x)= c +d. x$ Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ проходит через точку $(4;−3).$ Следовательно, эта точка удовлетворяет уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

k 12 −3 = 4 ⇔ k = −12 ⇒ f(x)= −-x

График функции $y = g(x)$ проходит через точки $(2;−1)$ и $(4;0),$ следовательно, система следующая:

( |{ −1 = c+ d ({ c= −4 c2 ⇔ ⇒ g(x)= − 4+ 1 |( 0= 4 + d ( d= 1 x

Найдем абсциссу точки пересечения графиков:

− 12= − 4+ 1 ⇔ − 8 =1 ⇔ x= −8 x x x

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73816

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите $c.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

График проходит через точки $(3;−1),$ $(5;− 3)$ и $(6;2).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( |||{ −1 = 9a + 3b +c −3 = 25a +5b+ c |||( 2= 36a+ 6b+ c

Выразим $c$ из первых двух уравнений и приравняем:

−1− 9a− 3b= −3 − 25a − 5b ⇔ b =− 1− 8a

Подставим это $b$ в первое и третье уравнения:

({ ({ −1 = 9a − 3− 24a +c ⇔ a= 2 ( 2= 36a− 6− 48a+ c ( c= 32

Тогда $c =32.$

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#73818

На рисунке изображен график функции $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите $c.$

$110xy$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

График проходит через точки $(−8;0),$ $(−6;4)$ и $(− 4;− 4).$ Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению функции, значит, получаем следующую систему:

( |||{ 0= 64a− 8b+ c 4= 36a− 6b+ c |||( −4 = 16a − 4b+ c

Сложим первое и третье уравнения, а второе умножим на 2:

(| ||{−4 = 80a − 12b+ 2c 8= 72a− 12b+ 2c |||( 0= 64a− 8b+ c

Вычтя из первого уравнения второе, получим

3 a =− 2

Выразим $c$ из исходных первого и третьего уравнений и приравняем:

8b− 64a= 4b− 16a − 4 b= 12a− 1= − 19

Тогда

c= 4b− 16a− 4= −56

Ответ: -56

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90749

На рисунке изображены графики двух функций вида $y = kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $y = k1x+ b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x + b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(−1;4)$ и $(− 3;2).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

{ { 4 = k1⋅(− 1)+b1 4= −k1+ b1 2 = k1⋅(− 3)+b1 ⇔ 2= 2k1 { { b1 = 4 +k1 b1 = 5 k1 =1 ⇔ k1 = 1

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

y = x+ 5

Вторая прямая проходит через точки $(2;4)$ и $(1;2).$ Следовательно, получаем следующую систему:

{ { 4 = k2 ⋅2+ b2 b2 = 0 2 = k2 ⋅1+ b2 ⇔ k2 = 2

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = 2x

Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

{ y0 = x0+ 5 y0 = 2x0 ⇒ 2x0 = x0+ 5 ⇔ x0 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91263

На рисунке изображены графики функций $f(x)= k x$ и $g(x)= ax +b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$

$xy110A$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Восстановим уравнение функции $f(x).$ Ее график проходит через точку $(− 3;− 1).$ Значит, можем составить уравнение:

-k- f(− 3) = −1 ⇔ − 3 = −1 ⇔ k = 3

Тогда функция $f(x)$ имеет вид

f(x)= 3 x

Восстановим уравнение функции $g(x).$ Ее график проходит через точки $(− 2;4)$ и $(− 3;− 1),$ следовательно,

$pict$

Тогда функция $g(x)$ имеет вид

g(x)= 5x+ 14

Найдем точки пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

$pict$

По рисунку видно, что $x= − 3$ — абсцисса точки $A.$ Тогда ордината точки $B$ равна

1 g(0,2)= 5⋅5 +14 = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31968

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;1).$ Также ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 4)2 +1, где a> 0

По картинке видно, что в точке $x = 3$ функция равна 4. Для того чтобы попасть в точку $(3;4)$ из вершины с координатами $(4;1),$ нам нужно сместиться на 1 влево и на 3 вверх. Тогда понятно, что перед нами график функции $y = 3x2,$ вершину которого сместили из точки $(0;0)$ в точку $(4;1).$ Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

2 f(x)= 3(x− 4) + 1

Тогда

f(− 1)= 3(− 1− 4)2+ 1= 3 ⋅25 +1 = 76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32009

На рисунке изображён график функции $f (x)= kx +b.$ Найдите значение $x,$ при котором выполнено $f(x) =− 13,5.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4− (− 3) 7 k = Δx = 3−-(−-1) = 4 = 1,75

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек прямой в уравнение с уже найденным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(3;4) :$

4= 1,75 ⋅3+ b ⇔ 4= 5,25 +b ⇔ b = −1,25

Значит, функция имеет вид

f(x) =1,75x− 1,25

Имеем уравнение на $x:$

f(x)= −13,5 ⇔ 1,75x− 1,25 =− 13,5 ⇔ 7x − 5= −54 ⇔ x = −7

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#18616

На рисунке изображены графики двух функций вида $y = kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть $y = k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x+ b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(−1;4)$ и $(− 3;3).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

( ( { 4= k1⋅(−1)+ b1 {4= − k1+ b1 ⇔ ( 3= k1⋅(−3)+ b1 (1= 2k1 ( ( { b1 = 4+ k1 {b1 = 92 ( k1 = 1 ⇔ (k1 = 1 2 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

x-+9- y = 2

Вторая прямая проходит через точки $(2;− 1)$ и $(− 1;− 4).$ Следовательно, получаем следующую систему:

( ( { −1= k2⋅2+ b2 ⇔ {− 1= 2k2+ b2 ( −4= k2⋅(−1)+ b2 (3 = 3k2 ( ( { b2 = −(2k2 +1) { b2 = −3 ( ⇔ ( k2 = 1 k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x − 3

Обе прямые проходят через точку $A (x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x+9 y0 = -02-- ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Второй способ.

Если прямая $l$ на плоскости проходит через две точки $M (x ;y) 1 1 1$ и $M (x ;y ), 2 2 2$ то можем составить ее каноническое уравнение:

x− x1 y − y1 l : x2− x1-= y2−-y1

На рисунке видно, что одна из прямых проходит через точки $(− 1;4)$ и $(−3;3).$ Тогда имеем:

-x−-(−1)- y-− 4 x+-1- y−-4 − 3− (− 1) = 3− 4 ⇔ −2 = −1 x +1 x+ 9 --2--= y− 4 ⇔ y = -2---

Другая прямая проходит через точки $(2;−1)$ и $(− 1;− 4).$ Аналогично запишем ее каноническое уравнение:

x-− 2-= y-−-(−-1)-- ⇔ x−-2= y-+1 −1− 2 −4− (−1) − 3 − 3 x− 2= y+ 1 ⇔ y =x − 3

Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение прямой в верное равенство. Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x0+9- y0 = 2 ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Ответ: 15

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#19947

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение функции $y(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя убывающую прямую, на которой отмечены точки $(1;4),$ $(5;−2).$ Найдём угловой коэффициент:

k = Δy-= −-2−-4= −1,5 Δx 5− 1

Получим уравнение функции в виде

y(x)= −1,5x +b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;4):$

4= −1,5⋅1+ b ⇔ b= 5,5

Получится уравнение

y(x)= −1,5x + 5,5

Найдём уравнение функции $g(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя возрастающую прямую, на которой отмечены точки $(−1;−5),$ $(1;2).$ Найдём угловой коэффициент:

Δg 2− (−5) k = Δx-= 1−-(−1) =3,5

Получим уравнение функции в виде

g(x)= 3,5x + b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;2):$

2= 3,5 ⋅1+ b ⇔ b= −1,5

Получится уравнение

g(x) =3,5x− 1,5

Теперь решим уравнение $y(x) = g(x):$

−1,5x+ 5,5 =3,5x− 1,5 ⇔ x = 1,4

Тогда ордината точки пересечения прямых равна

y(1,4)= −1,5⋅1,4+ 5,5= 3,4

Способ 2.

По картинке видим, что целые точки $(1;4)$ и $(5;− 2)$ принадлежат графику первой прямой $y(x)= kx+ b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( {4 =f1(1) {4 = k1+ b1 ( ⇔ ( − 2= f1(5) − 2= 5k1+ b1 ( ( {k1 = 4− b1 ⇔ {b1 = 5,5 (− 2= 5(4 − b1)+ b1 (k1 = − 1,5

Также целые точки $(1;2)$ и $(− 1;− 5)$ принадлежат графику второй прямой $g(x)= kx +b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( { 2= f2(1) { 2= k2+ b2 ( −5 = f2(−1) ⇔ ( −5= − k2+b2 ({ k = 2− b ({b = − 1,5 2 2 ⇔ 2 ( −5 = −(2− b2)+ b2 (k2 =3,5

Значит, функции имеют вид

y(x)= −1,5x+ 5,5, g(x)= 3,5x − 1,5

Аналогично первому способу решаем уравнение $y(x)= g(x)$ и получаем ответ.

Ответ: 3,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#35281

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 2 − 0 2 k = Δx-= 1-− 0 = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(1;2) :$

2 =2 ⋅1+ b ⇔ 2= 2+ b ⇔ b= 0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy- -3-− 0- 3 k = Δx = 0− (−3) = 3 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже расcчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−3;0):$

0 = 1⋅(− 3)+ b ⇔ 0= (−3)+ b ⇔ b= 3

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 3

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 3 ⇔ x= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#35284

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$

$110xy$

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты $k$ и $b$ для нижней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 0− (−2) 2 k = Δx-= 0−-(−1) = 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−1;−2):$

−2= 2 ⋅(− 1) +b ⇔ − 2= −2 +b ⇔ b =0

Значит, первая функция имеет вид $f1(x) =2x.$

Теперь определим коэффициенты $k$ и $b$ для верхней прямой. Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4 − 0 4 k = Δx-= 0−-(−4) = 4 = 1

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−4;0):$

0 = 1⋅(− 4)+ b ⇔ 0= (−4)+ b ⇔ b= 4

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 4

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔ 2x = x+ 4 ⇔ x= 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#11718

На рисунке изображены графики функций $f(x)= −2x2− 2x+ 4$ и $g(x)= ax2+ bx+ c,$ которые пересекаются в точках $A(−1;4)$ и $B(x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110A$

Показать ответ и решение

Для начала разберемся, какой из графиков какой функции соответствует.

Координата по $x$ вершины параболы $f$ равна $−-(−2) =− 1, 2⋅(−2) 2$ что соответствует правой параболе.

Любую параболу вида $2 g(x)= ax + bx+ c$ можно представить в виде

g(x)= a(x − xB )2+ yB

Здесь $(xB;yB)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина левой параболы $g$ имеет координаты $(−2;5),$ значит функция имеет вид

g(x)= a(x+ 2)2+ 5

Также по картинке видно, что в точке -4 функция $g$ равна 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= g(− 4)= a(− 4+ 2)2+ 5 ⇔

⇔ −4 = 4a ⇔ a= −1

Теперь мы полностью восстановили функцию $g,$ она имеет вид

g(x)= −(x+ 2)2 +5

Найдем точки пересечения $f$ и $g :$

− (x +2)2+ 5= − 2x2 − 2x +4 ⇔

⇔ x2− 2x− 3 =0 ⇔ x= −1;3

Пересечение, соответствующее $x = −1,$ это точка $A.$ Тогда координата $x0$ точки $B$ равна 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#13549

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(11).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ с вершиной $(x0;y0)$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 2;− 1),$ значит функция имеет вид

f(x)= a(x+ 2)2− 1

Также по картинке видно, что в точке $x = 0$ функция равна 3. Это условие можно записать следующим образом:

3 =f(0)= a(0+ 2)2− 1 ⇔ 4 = 4a ⇔ a= 1

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= (x + 2)2− 1

Тогда искомое значение равно

2 f(11)= (11+ 2) − 1 = 168

Ответ: 168

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#16793

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(6).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $f(x)= ax2+ bx +c$ можно представить как

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 4;3),$ значит, функция имеет вид

f(x)= a(x+ 4)2+ 3

Также по картинке видно, что в точке $x= 0$ функция равна 5. Это условие можно записать следующим образом:

2 1 5 =f(0)= a(0+ 4)+ 3 ⇔ 2 = 16a ⇔ a= 8

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) = 1x2+ x+ 5 8

Тогда имеем:

1 2 f(6)= 8 ⋅6 + 6+ 5= 15,5

Ответ: 15,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#16795

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f (1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По графику видно, что в точках $x = 3$ и $x= 5$ парабола принимает одинаковые значения, следовательно, прямая $x = 3+25= 4$ — ось симметрии параболы, а также $x = 4$ — абсцисса ее вершины.

Мы знаем, что $x$ -координата вершины параболы — единственная точка, в которой ее производная равна нулю (ведь касательная в вершине — горизонтальная прямая). Найдем $f′(x),$ а затем приравняем $f′(4)$ к нулю: