Задачи на прямолинейное движение —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#3

Велосипедист преодолел 72 километра за 5 часов. Найдите среднюю скорость велосипедиста. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Средняя скорость по определению есть отношение всего пути ко времени, за которое этот путь был проделан. Средняя скорость велосипедиста $72 : 5 = 14,4$ км/ч, что составляет 14400 м/ч или $14400 : (60 ⋅ 60 ) = 4$ м/с.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1030

Поезд длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Из картинки видно, что “поезд проходит мимо столба” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда”, а “поезд проходит через туннель” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда плюс длине туннеля”.
Следовательно, так как длина поезда 1 км, а мимо столба он проходит за 1 мин, то его скорость равна 1 км/мин. Следовательно, 1 км/мин $⋅$ 3 мин $=$ 3 км – длина поезда плюс длина туннеля. Следовательно, длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1609

Из двух городов, расстояние между которыми равно 840 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобилиста. Скорость первого 70 км/ч, а скорость второго 60 км/ч. Через сколько часов они встретились, если известно, что автомобиль первого автомобилиста сломался на полпути между этими городами и на его починку пришлось потратить час.

Показать ответ и решение

Половина расстояния между городами 420 км. Это расстояние первый автомобилист преодолел за 6 часов, а второй автомобилист за 7 часов.

Так как первый сломался на полпути между городами, то через 7 часов после начала движения он также был на полпути между городами, то есть, через 7 часов они встретились.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1610

Борис выехал в город из деревни Борисовка на мопеде со скоростью 30 км/ч, но через 90 км его мопед сломался и он был вынужден пройти пешком 10 км до ближайшей деревни Ивановка. Это расстояние Борис шёл со скоростью 5 км/ч. В Ивановке ему посчастливилось взять напрокат велосипед и оставшиеся до города 65 км он проехал со скоростью 13 км/ч. Найдите среднюю скорость Бориса. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Бориса составляет $90 + 10 + 65 = 165$ км.

Время, которое Борис потратил на этот путь, равно $90 : 30 + 10 : 5 + 65 : 13 = 10$ ч. Тогда средняя скорость Бориса равна $165 : 10 = 16,5$ км/ч.

Ответ: 16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1611

Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые 20 км он шёл пешком со скоростью 4 км/ч, после чего ехал с первым попутчиком следующие 500 км со скоростью 100 км/ч, затем Евгений ехал ещё 500 км со вторым попутчиком со скоростью 125 км/ч, а оставшиеся 600 км он ехал с третьим попутчиком со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет $20 + 500 + 500 + 600 = 1620$ км.

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно $20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20$ ч. Тогда средняя скорость Евгения равна $1620 : 20 = 81$ км/ч.

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1612

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Показать ответ и решение

Способ 1.

Первый кот за один час убегает от второго на $0,5 км= 500 м етров.$ Тогда на $500:5 = 100$ метров он убегает от второго кота за $60:5= 12$ минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за $12⋅2= 24$ минуты.

Способ 2.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго кота, тогда $(v+ 0,5)$ км/ч — скорость первого кота.

Пусть $t$ ч — время, через которое первый кот обгонит второго на $200 м = 0,2 км.$

Тогда $v ⋅t$ км — расстояние, которое второй кот пробежит за $t$ часов, $(v+ 0,5)⋅t$ км — расстояние, которое первый кот пробежит за $t$ часов. Получаем уравнение:

(v+ 0,5)⋅t− v⋅t= 0,2 v ⋅t+0,5t− v ⋅t= 0,2

Отсюда получаем $t= 0,4$ часа. Тогда через $60⋅0,4= 24$ минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2344

Два велосипедиста выехали из одного места в одном направлении. Скорость первого — 10 км/ч, а второго — 18 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 104 км?

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на $18− 10 = 8$ км больше, чем первый. Следовательно, 8 км/ч — скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 0 км, стало — 104 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на 104 км. Значит, прошло $104:8 =13$ часов.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23560

Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

На момент выезда второго автомобиля первый проедет 60 км, то есть будет на расстоянии 60 км от города А. Начиная с этого момента, автомобили будут сближаться со скоростью $60+ 65 = 125$ км/ч и встретятся через $317525-= 3$ часа.

Получаем, что суммарно первый автомобиль провел в движении $1+ 3= 4$ часа со своей постоянной скоростью 60 км/ч, за это время он удалился от города А на $60⋅4= 240$ км.

Ответ: 240

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#288

Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через полчаса после прибытия в B он выехал обратно и одновременно с этим навстречу ему выехал второй мотоциклист из А. Из-за поломки скорость первого мотоциклиста на обратном пути уменьшилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Скорость второго мотоциклиста оказалась на 20 км/ч больше, чем первоначальная скорость первого. Время, через которое произошла встреча, оказалось в два раза меньше, чем время, которое первый потратил на дорогу из А в В. Найдите скорость второго мотоциклиста в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть t ч – время, которое затратил первый мотоциклист на путь из А в В,

$v$ км/ч – первоначальная скорость первого мотоциклиста.

Тогда расстояние между пунктами А и В равно $v ⋅ t$ км, расстояние, которое проехал первый мотоциклист из В до места встречи, равно

1 -v ⋅ 0,5t км, 3

а расстояние, которое проехал второй мотоциклист из А до места встречи, равно

(v + 20) ⋅ 0,5t к м.

Так как сумма расстояний, которые они одновременно проехали до места встречи, равна расстоянию от А до В, то

1 1 vt = -v ⋅ 0,5t + (v + 20) ⋅ 0, 5t ⇔ --vt = 10t, 3 3

откуда находим $v = 30$ и, следовательно, скорость второго мотоциклиста равна $v + 20 = 50$ км/ч.

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#289

Из пункта А в пункт В вышел турист. Одновременно с этим из пункта В в пункт А выбежал бегун. Турист шёл весь путь с постоянной скоростью. Бегун бежал первую треть пути из А в В со скоростью 10 км/ч, а всё оставшееся расстояние со скоростью в два раза большей, чем скорость туриста. Найдите скорость туриста, если до места встречи с бегуном он успел пройти треть пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть S км – расстояние между А и В,

$v$ км/ч – скорость туриста.

Тогда время, которое турист шёл до места встречи, равно

1S -3-, v

время, которое бегун потратил на первую треть пути, равно

1 -3S 10,

а время, которое бегун потратил на вторую треть пути (то есть на путь до места встречи), равно

1 -3S. 2v

Так как турист и бегун начали движение одновременно, то

13S 13S 13S 10S vS 5S -v- = -10 + -2v ⇔ 30v- = 30v-+ 30v-,

откуда получаем $v = 5$ км/ч.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#307

Поезд едет с постоянной скоростью 60 км/ч. Он проезжает мимо столба за 45 секунд. За сколько секунд он полностью переедет мост длиной 1500 метров?

Показать ответ и решение

Когда поезд проезжает мимо столба, изначально расстояние от последнего вагона до столба равно длине поезда. В конце последний вагон проезжает мимо столба, значит, он перемещается на расстояние, равное длине поезда. За 60 секунд поезд проезжает 1000 метров, значит, за 45 секунд поезд проезжает 750 метров и длина поезда равна 750 метрам.

Чтобы полностью переехать мост длиной 1500 метров, поезду длиной 750 метров понадобится время в секундах, равное

45 ⋅3 = 135

Действительно, через 45 секунд после начала переезда первый вагон поезда окажется на середине моста. Ещё через 45 секунд первый вагон начнёт покидать мост, а ещё через 45 секунд последний вагон покинет мост.

Ответ: 135

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#308

Удав ползёт равномерно со скоростью 1,5 км/ч. Он полностью проползает мимо здания длиной 20 метров за 1 минуту. Найдите длину удава в метрах.

Показать ответ и решение

За минуту удав проползает расстояние в метрах, равное

1500:60 = 25

Когда удав проползает мимо здания, кончик его хвоста преодолевает расстояние, равное сумме длин удава и здания. Тогда длина самого удава в метрах равна

25 − 20 =5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#690

Лыжник планировал проехать $4$ с горы с постоянной скоростью $v$ . Вместо этого первые два километра он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся два километра он проехал в два раза медленнее, чем планировал. Во сколько раз больше времени ушло у лыжника на самом деле, чем должно было бы уйти, если бы всё в его жизни было по плану?

Показать ответ и решение

Пусть по плану на весь маршрут лыжника должно было уйти $t$ часов, тогда на первые два километра (которые составляют половину пути) у лыжника ушло

1- 1- t ⋅ 2 ⋅2 = 0,25t,

а на оставшиеся два километра ушло

1- t ⋅2 ⋅ 2 = t,

следовательно, на весь путь ушло $1,25t$ , то есть в $1,25$ раза больше, чем было запланировано изначально.

Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#927

Бегун Вася установил рекорд на дистанции $L$ метров, пробежав её с постоянной скоростью $v$ км/ч (его время наименьшее за всю историю человечества). Илья хочет повторить результат Васи или побить его рекорд. Он знает, что в течение некоторого времени он сможет поддерживать скорость $1,2v$ км/ч, а потом его скорость упадёт до $0,8v$ км/ч и сохранится такой до конца дистанции. Какую часть дистанции Илья должен поддерживать скорость $1,2v$ км/ч, чтобы результат его устроил? Если в задаче возможны несколько ответов – выберите наименьший.

Показать ответ и решение

Обозначим через $l$ км длину первого участка (где скорость Ильи равна $1,2v$ км/ч), тогда суммарное время Ильи на всей дистанции равно

--l-- L-−--l 1,2v + 0,8v

Так как Илью устроит любое время, не большее, чем у Васи, то

l L − l L -----+ ------≤ --, 1,2v 0,8v v

что равносильно

l 0,8l + 1,2(L − l) ≤ 0,96L ⇔ l ≥ 0,6L ⇔ -- ≥ 0,6. L

Таким образом, наименьший ответ равен $0,6$ .

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1026

Из пункта А в пункт Б одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй первую половину пути проехал со скоростью $84$ км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на $11,2$ км/ч меньшей скорости первого, в результате чего оба автомобилиста прибыли в пункт Б одновременно. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она была больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого автомобилиста равна $x$ км/ч, $S$ км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:

$PIC$

Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно

S- x

Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно

S- S- -2-+ ---2----- 84 x − 11,2

Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение:

S S2- S2- --= ---+ --------- x 84 x − 11,2

Заметим, что можно разделить обе части уравнения на $S$ , так как $S ⁄= 0$ . Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону:

2 x--−-(84-+-11,2-)x-+-2-⋅ 84-⋅ 11,2-= 0 2 ⋅ 84 ⋅ x ⋅ (x − 11,2)

Решим уравнение $2 x − (84 + 11,2 )x + 2 ⋅ 84 ⋅ 11,2 = 0$ . Домножим его на $10$ : $2 10x − 952x + 2 ⋅ 84 ⋅ 112 = 0$ .
Дискриминант

D = 9522 − 4 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 84 ⋅ 112 = 72 ⋅ 26 ⋅ 172 − 210 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 72 = 72 ⋅ 26 ⋅ (289 − 240) = (7 ⋅ 23 ⋅ 7 )2 = 3922

Следовательно, корнями будут

x1 = 952-+-392-= 67,2 и x2 = 952-−-392- = 28 20 20

Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2.

Ответ: 67,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1028

Два велосипедиста выехали в одном направлении из мест, находящихся на расстоянии 13 км друг от друга. Скорость первого – 12 км/ч, а второго – 17 км/ч, причем второй находился в начале движения впереди. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 58 км?

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что за каждый час второй велосипедист будет проходить на $17 − 12 = 5$ км больше, чем первый. Следовательно, 5 км/ч – скорость удаления. Изначально между велосипедистами было расстояние 13 км, стало – 58 км, следовательно, расстояние между ними изменилось на $58 − 13 = 45$ км. Значит, прошло $45 : 5 = 9$ часов.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1029

Из пункта А в пункт С выехал мотоциклист, скорость которого 16 км/ч. Одновременно с ним из пункта В, находящегося между пунктами А и С, в пункт С выехал второй мотоциклист, скорость которого 31 км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно 10 км. Через сколько минут расстояние между мотоциклистами будет равно 17,5 км? Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланке укажите их сумму.

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что так как более быстрый мотоциклист находится впереди, то расстояние между мотоциклистами будет только увеличиваться (то есть они будут только отдаляться друг от друга). Значит, в задаче будет только один ответ.
Следовательно, расстояние между ними должно измениться на $17,5 − 10 = 7,5$ км (так как изначально они находились на расстоянии 10 км друг от друга). Скорость удаления мотоциклистов равна $31 − 16 = 15$ км/ч. Следовательно, время, через которое расстояние между ними увеличится еще на 7,5 км, равно $7,5 : 15 = 0,5$ часа или $30$ минут.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1613

Два туриста одновременно вышли в одном направлении в город N. При этом вышли они из разных городов, расстояние между которыми 9 км. Известно, что турист, изначально находившийся дальше от города N, шёл со скоростью, в два раза превышающей скорость другого туриста. В город N они прибыли одновременно, через 3 часа после начала движения. Найдите скорость туриста, который шёл быстрее. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч – скорость медленного туриста.

Тогда расстояние, которое прошёл медленный турист, равно $3v$ , а расстояние, которое прошёл быстрый турист, равно $2v ⋅ 3 = 6v$ .

Так как быстрый турист прошёл на 9 км больше, то:

6v − 3v = 9,

откуда находим $v = 3$ км/ч, значит скорость быстрого туриста $2 ⋅ 3 = 6$ км/ч.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1614

Два велосипедиста одновременно выехали из пункта C в пункт D с одинаковой скоростью. Расстояние между пунктом D и пунктом C – 30 км. Проехав первую треть пути с постоянной скоростью, первый велосипедист увеличил скорость в два раза и ехал с ней до D, а второй велосипедист всю дорогу ехал с постоянной скоростью. Найдите первоначальную скорость обоих велосипедистов, если в D второй велосипедист прибыл на час позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч – стартовая скорость велосипедистов.

Тогда время, которое потратил на путь второй велосипедист, равно

30- v ,

время, которое потратил на первую треть пути первый велосипедист, равно

1 ⋅ 30 3----, v

а время, которое потратил на оставшуюся часть пути первый велосипедист, равно

2 3-⋅ 30. 2v

Так как первый прибыл в пункт D на час раньше, то:

13 ⋅ 30 23 ⋅ 30 30 10 10 30 v --v---+ --2v--= -v-− 1 ⇔ -v-+ v--= -v-− v- ⇔ 20 = 30 − v

– при $v ⁄= 0$ , откуда находим $v = 10$ км/ч.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1829

Лыжник проехал 2 км с горы со скоростью 20 км/ч, после чего поскользнулся и пролетел 1 км кубарем со скоростью 10 км/ч. Оставшиеся 2 км он спускался на подъёмнике со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость лыжника. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь.

Весь путь лыжника составил $2 + 1+ 2 = 5$ км.

Время, которое лыжник потратил на этот путь, равно

1 2 : 20+ 1 : 10 + 2 : 15 = 3 ч

Тогда средняя скорость лыжника равна

5 : 1 = 15 км/ ч 3

Ответ: 15