Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения средняя скорость лодки в км/ч равна

Пусть км — расстояние, которое проплыл теплоход по пути из в тогда время, которое теплоход плыл по течению равно часов; время, которое теплоход плыл против течения равно часов. Плыл теплоход всего часа, тогда:

откуда находим км.

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем . То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем .

Так как за час катер проходил бы 35 км, но ветер сносит его назад на 3 км, то в итоге за час катер проходит 32 км. Следовательно, 144 км катер пройдет за часа.

За каждый час яхта проходила бы 30 км, или 30000 метров, значит, за минуту она проходила бы метров. Так как за каждую минуту ветер сносит ее на 20 метров, то в итоге за минуту яхта проходит 480 метров. Следовательно, ей понадобится минут или часов.

Пусть км/ч – скорость течения, , тогда

– скорость перемещения катера по течению,

– скорость перемещения катера против течения,

 

– время, затраченное катером на перемещение по течению,

 

– время, затраченное катером на перемещение против течения.

 

Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:

– при , что равносильно , откуда получаем, что км/ч, так как .

Пусть км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда

 

ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

 

ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

 

– время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

 

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то:

откуда км/ч.

Пусть собственная скорость лодки равна , а скорость течения равна . За первый час лодка проплыла , а за второй час (на обратном пути) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило

– в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось до финиша.

Пусть собственная скорость яхты равна , а скорость течения равна . За первый час Игорь проплыл , а за второй час в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило

– в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило

– в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило

– в сторону течения.

В итоге за поисков Игорь переместился на от места начала поисков, что по условию составило , тогда

Рассмотрим схематичный рисунок:
 

 
Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого км/ч, синего км/ч.
Из условия задачи следует, что км, км.
Пусть . Тогда . Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство:

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное , а зеленый – равное . Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство:

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить:

По теореме Виета корнями уравнения будут числа и . Так как – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то . Следовательно, ширина реки равна .

Пусть – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда:

Тогда за весь рейс теплоход прошел километров.

 

Плот проплыл 13 км за часа. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера часов.

Пусть км/ч — скорость катера в стоячей воде, Тогда имеем:

часов — время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как плот плывёт по течению из M в N;

часов — время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время катера на дорогу из M в N и обратно равно 5,5 часа, то

Отсюда находим

Так как , то ответ 22 км/ч.

Пусть — скорость течения в км/ч, тогда имеем:

— скорость перемещения яхты по течению;

— скорость перемещения яхты против течения;

— время, затраченное яхтой на перемещение по течению;

— время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время против течения совпадает со временем по течению, то имеем:

Приравняем числитель дроби к нулю:

Тогда скорость течения равна

Пусть скорость течения реки равна , тогда путь лодки по течению составил км.

Так как обратный путь занял 2 ч, то

Пусть км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда имеем уравнение

Дискриминант равен

Следовательно, корни равны

Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то не подходит. Следовательно, скорость катера равна 14 км/ч.

Рассмотрим одного из пловцов (например, того, кто плыл против течения) и плот. Если скорость течения равна м/мин, а собственная скорость пловца м/мин, то за 5 минут плот сдвинется вправо на м, а пловец влево на м (рис. 1). Если бы действие происходило в стоячей воде, то плот бы не сдвинулся с места, а пловец сдвинулся бы влево на м (рис. 2).
 

 
Таким образом, расстояние между плотом и пловцом что в стоячей воде, что при движении по реке меняется одинаково (в обоих случаях расстояние между ними через 5 минут будет равно ).
Таким образом, можно предполагать, что действие в задаче происходит в стоячей воде.

 

Тогда если первый пловец отплыл от плота на расстояние , а второй – на расстояние за 5 минут, то для того, чтобы вернуться на плот, также нужно первому пройти расстояние , а второму – . Так как их скорости остаются прежними, то на то, чтобы вернуться на плот, им понадобится тоже 5 минут. Следовательно, вернутся на плот они одновременно через 10 минут после прыжка.

Время движения туда и обратно составляет часов. Пусть км/ч — собственная скорость парохода. Составим таблицу:

Поскольку общее время пути составляет 7 часов, составим уравнение:

среди полученных ответов выбираем тот, который неотрицательный.

Пусть км/ч — собственная скорость катера. Катер пробыл в пути без учёта остановки ч. Составим таблицу:

Поскольку весь путь занял часов, получим уравнение:

Поскольку , то подходит только .

Длительность всего пути равна часам. Пусть км — длина между пунктами. В ответ затем запишем так как за рейс теплоход пройдет расстояние между пунктами дважды. Скорость движения теплохода по течению равна км/ч, а скорость против течения равна км/ч. Составим таблицу:

Поскольку суммарное время пути равно 48 часам, то получим уравнение:

Пусть км/ч — скорость теплохода в стоячей воде. Тогда скорость движения теплохода по течению будет равна , а против течения — . Составим таблицу:

Поскольку суммарное время пути равно часам, получим уравнение:

Корень нам не подходит, поскольку по тому условию, которое мы задали, скорость теплохода положительна, а значит ответ равен 20 км/ч.