Тема 11. Задачи на свойства графиков функций
11.10 Комбинации нескольких графиков
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#35284

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A.  Найдите абсциссу точки A.

110xy

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты k  и b  для нижней прямой. Найдём k  как тангенс угла наклона прямой:

    Δy   0− (−2)  2
k = Δx-= 0−-(−1) = 1 = 2

Чтобы найти b,  подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом k.  Подставим точку (−1;−2):

−2= 2 ⋅(− 1) +b  ⇔   − 2= −2 +b  ⇔   b =0

Значит, первая функция имеет вид f1(x) =2x.

Теперь определим коэффициенты k  и b  для верхней прямой. Найдём k  как тангенс угла наклона прямой:

    Δy    4 − 0   4
k = Δx-= 0−-(−4) = 4 = 1

Чтобы найти b,  подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом k.  Подставим точку (−4;0):

0 = 1⋅(− 4)+ b  ⇔   0= (−4)+ b  ⇔   b= 4

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 4

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔   2x = x+ 4  ⇔   x= 4
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#35281

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A.  Найдите абсциссу точки A.

xy110

Показать ответ и решение

Найдем уравнения прямых.

Определим коэффициенты k  и b  для нижней прямой. Найдём k  как тангенс угла наклона прямой:

   Δy   2 − 0  2
k = Δx-= 1-− 0 = 1 = 2

Чтобы найти b,  подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом k.  Подставим точку (1;2) :

2 =2 ⋅1+ b  ⇔   2= 2+ b  ⇔   b= 0

Значит, первая функция имеет вид f1(x) =2x.

Теперь определим коэффициенты k  и b  для верхней прямой. Найдём k  как тангенс угла наклона прямой:

    Δy-  -3-− 0-  3
k = Δx = 0− (−3) = 3 = 1

Чтобы найти b,  подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже расcчитанным коэффициентом k.  Подставим точку (−3;0):

0 = 1⋅(− 3)+ b  ⇔   0= (−3)+ b  ⇔   b= 3

Значит, вторая функция имеет вид

f2(x)= x+ 3

Теперь найдем абсциссу точки пересечения двух прямых.

f1(x)= f2(x) ⇔   2x = x+ 3  ⇔   x= 3
Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#19947

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

xy110

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение функции y(x)= kx+ b,  график которой представляет из себя убывающую прямую, на которой отмечены точки (1;4),  (5;−2).  Найдём угловой коэффициент:

k = Δy-= −-2−-4= −1,5
    Δx    5− 1

Получим уравнение функции в виде

y(x)= −1,5x +b

Найдём значение b,  подставив в уравнение точку (1;4):

4= −1,5⋅1+ b  ⇔   b= 5,5

Получится уравнение

y(x)= −1,5x + 5,5

Найдём уравнение функции g(x)= kx+ b,  график которой представляет из себя возрастающую прямую, на которой отмечены точки (−1;−5),  (1;2).  Найдём угловой коэффициент:

    Δg   2− (−5)
k = Δx-= 1−-(−1) =3,5

Получим уравнение функции в виде

g(x)= 3,5x + b

Найдём значение b,  подставив в уравнение точку (1;2):

2= 3,5 ⋅1+ b  ⇔   b= −1,5

Получится уравнение

g(x) =3,5x− 1,5

Теперь решим уравнение y(x) = g(x):

−1,5x+ 5,5 =3,5x− 1,5  ⇔   x = 1,4

Тогда ордината точки пересечения прямых равна

y(1,4)= −1,5⋅1,4+ 5,5= 3,4

 

Способ 2.

По картинке видим, что целые точки (1;4)  и (5;− 2)  принадлежат графику первой прямой y(x)= kx+ b,  поэтому можем составить систему из двух уравнений:

(                 (
{4 =f1(1)         {4 = k1+ b1
(             ⇔   (
 − 2= f1(5)         − 2= 5k1+ b1
(                        (
{k1 = 4− b1          ⇔   {b1 = 5,5
(− 2= 5(4 − b1)+ b1        (k1 = − 1,5

Также целые точки (1;2)  и (− 1;− 5)  принадлежат графику второй прямой g(x)= kx +b,  поэтому можем составить систему из двух уравнений:

(                   (
{ 2= f2(1)           { 2= k2+ b2
( −5 = f2(−1)    ⇔   ( −5= − k2+b2

({ k = 2− b                ({b = − 1,5
   2      2           ⇔     2
( −5 = −(2− b2)+ b2        (k2 =3,5

Значит, функции имеют вид

y(x)= −1,5x+ 5,5, g(x)= 3,5x − 1,5

Аналогично первому способу решаем уравнение y(x)= g(x)  и получаем ответ.

Ответ: 3,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18616

На рисунке изображены графики двух функций вида  y = kx+ b,  которые пересекаются в точке A (x0;y0).  Найдите x0.

xy110

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть y = k1x +b1  — уравнение первой прямой, y = k2x+ b2  — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки (−1;4)  и (− 3;3).  Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

(                       (
{ 4= k1⋅(−1)+ b1        {4= − k1+ b1
                    ⇔
( 3= k1⋅(−3)+ b1        (1= 2k1
(                  (
{ b1 = 4+ k1       {b1 = 92
( k1 = 1       ⇔   (k1 = 1
      2                  2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

   x-+9-
y =  2

Вторая прямая проходит через точки (2;− 1)  и (− 1;− 4).  Следовательно, получаем следующую систему:

(                        (
{ −1= k2⋅2+ b2       ⇔   {− 1= 2k2+ b2
( −4= k2⋅(−1)+ b2        (3 = 3k2
(                     (
{ b2 = −(2k2 +1)        { b2 = −3
(                 ⇔   (
  k2 = 1                k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x − 3

Обе прямые проходят через точку A (x0;y0)  по условию, тогда имеем систему:

({     x+9
  y0 = -02--     ⇒   x0− 3= x0+-9
( y0 = x0− 3                 2

   2x0− 6= x0+ 9  ⇔   x0 = 15

 

Второй способ.

Если прямая l  на плоскости проходит через две точки M (x ;y)
  1 1 1  и M  (x ;y ),
  2 2  2  то можем составить ее каноническое уравнение:

   x− x1   y − y1
l : x2− x1-= y2−-y1

На рисунке видно, что одна из прямых проходит через точки (− 1;4)  и (−3;3).  Тогда имеем:

-x−-(−1)-  y-− 4      x+-1-  y−-4
− 3− (− 1) = 3− 4  ⇔    −2  =  −1
    x +1                 x+ 9
    --2--= y− 4  ⇔   y = -2---

Другая прямая проходит через точки (2;−1)  и (− 1;− 4).  Аналогично запишем ее каноническое уравнение:

x-− 2-= y-−-(−-1)-- ⇔    x−-2= y-+1
−1− 2   −4− (−1)       − 3    − 3
     x− 2= y+ 1  ⇔   y =x − 3

Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение прямой в верное равенство. Обе прямые проходят через точку A(x0;y0)  по условию, тогда имеем систему:

({     x0+9-
  y0 =  2       ⇒   x0− 3= x0+-9
( y0 = x0− 3                 2

   2x0− 6= x0+ 9  ⇔   x0 = 15
Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#46562

На рисунке изображены графики функций f(x) =a√x-  и g(x)= kx+ b,  которые пересекаются в точке A.  Найдите абсциссу точки A.

xy110

Показать ответ и решение

По картинке видим, что точка (4;3)  принадлежит графику функции f,  следовательно,

f(4)= 3  ⇔   a√4-= 3  ⇔
                   √-
 a= 3   ⇒   f(x)= 3 x
    2             2

Посмотрим теперь на график функции g.  Это прямая, которой принадлежат точки (− 4;− 4)  и (4;0).  Найдем угловой коэффициент:

    0−-(−-4)  1
k = 4− (− 4) = 2

Найдем b,  подставив в уравнение g  точку (4;0)  и    1
k = 2 :

             1
g(4) = 0  ⇔   2 ⋅4 +b =0  ⇔
                   1
  b= −2  ⇒   g(x)= 2x − 2

Найдем абсциссу точки A,  приравняв f  и g :

    3√x = 1x− 2  ⇔   3√x-= x− 4  ⇔
(   2     2        (
{ 9x= (x− 4)2      {− x2+ 17x− 16= 0
(              ⇔   (                  ⇔
  x− 4≥ 0           x ≥ 4
          ({ x= 1;16
                     ⇔   x =16
          ( x≥ 4
Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#11718

На рисунке изображены графики функций f(x)= −2x2− 2x+ 4  и g(x)= ax2+ bx+ c,  которые пересекаются в точках A(−1;4)  и B(x0;y0).  Найдите x0.

xy110A

Показать ответ и решение

Для начала разберемся, какой из графиков какой функции соответствует.

Координата по x  вершины параболы f  равна −-(−2) =− 1,
2⋅(−2)    2  что соответствует правой параболе.

Любую параболу вида        2
g(x)= ax + bx+ c  можно представить в виде

g(x)= a(x − xB )2+ yB

Здесь (xB;yB)  — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина левой параболы g  имеет координаты (−2;5),  значит функция имеет вид

g(x)= a(x+ 2)2+ 5

Также по картинке видно, что в точке -4 функция g  равна 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= g(− 4)= a(− 4+ 2)2+ 5  ⇔

⇔   −4 = 4a   ⇔   a= −1

Теперь мы полностью восстановили функцию g,  она имеет вид

g(x)= −(x+ 2)2 +5

Найдем точки пересечения f  и g :

− (x +2)2+ 5= − 2x2 − 2x +4  ⇔

⇔   x2− 2x− 3 =0   ⇔   x= −1;3

Пересечение, соответствующее x = −1,  это точка A.  Тогда координата x0  точки B  равна 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45222

На рисунке изображены графики функций

f(x) = 3x + 3 и  g(x)= ax2 +bx +c,

которые пересекаются в точках A (− 1;0)  и B (x0;y0).  Найдите y0.

xy110A

Показать ответ и решение

Парабола на рисунке получается из параболы y =x2  отражением относительно оси абсцисс с получением параболы       2
y =− x ,  поднятием на 1 вверх с получением параболы      2
y = −x + 1  и сдвигом влево на 2 с получением параболы y = −(x+ 2)2+ 1.  Следовательно, ее уравнение

y = − (x +2)2+ 1= − x2− 4x − 3

Значит, так как − x2 − 4x − 3 = ax2+ bx +c,  то имеем: a= −1,  b= −4,  c =− 3.

Найдем координаты точки B :

                                                 ⌊(
(                          (                     |{ x= − 1
{y = 3x + 3                 { y = 3x+ 3           ||( y = 0
(          2           ⇔   (  2              ⇔   ||(
 3x +3 = −x − 4x− 3          x + 7x + 6= 0        |⌈{ x= − 6
                                                  ( y = − 15

Следовательно, y0 = −15.

Ответ: -15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32016

На рисунке изображены графики функций  f(x)= −3x +13    и  g(x)= ax2+ bx + c,  которые пересекаются в точках A  и B.  Найдите ординату точки B.

xy110A

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции g(x)  проходит через точки (− 1;8),  (1;2)  и (3;4).  Если график функции проходит через определенную точку, то ее координаты обращают уравнение функции в верное равенство. Значит, мы можем составить систему из трех уравнений:

(
|||g(−1)= 8
{g(1)= 2
|||
(g(3)= 4
(
|||{a⋅(−1)2+ b⋅(−1)+ c= 8
 a⋅(1)2+ b⋅(1)+ c= 2
|||(     2
 a⋅(3) + b⋅(3)+ c= 4
(
|||{a− b+ c= 8
 a+ b+ c= 2
|||(
 9a+ 3b+ c= 4

Из первого уравнения следует, что a= 8+ b− c.  Тогда, подставив этот результат во второе уравнение, получим

    a+ b+ c= 2
(8+ b− c)+ b+ c= 2

     8+ 2b = 2
      b= −3

Подставив a= 8 +b− c= 5 − c  и b = −3  в третье уравнение, получим

9(5− c)+ 3⋅(−3)+ c= 4
   45− 9c− 9+ c= 4

      36− 8c= 4
         c= 4

Тогда можем найти a:

a = 5− c= 5− 4= 1

Значит, мы нашли уравнение функции g(x):

g(x)= x2− 3x+ 4

По условию графики функций f(x)  и g(x)  пересекаются в точках A(3;4)  и B(x0;y0).  Тогда координаты точки B  обращают уравнения функций f(x)  и g(x)  в верные равенства:

(
{ f(x0)= y0
(             ⇒   f(x0)= g(x0)
  g(x0)= y0
                2
     −3x0+ 13= x0− 3x0+ 4
      9= x20  ⇒   x0 = −3
            x0⁄=3

Тогда ордината y0  точки B  равна

    y0 = f(x0)= f(− 3)=
= − 3⋅(− 3)+ 13 = 9+ 13= 22
Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#19984

На рисунке изображены графики функций         2
f(x) =ax  +bx+ c  и g(x)= kx+ d,  которые пересекаются в точках A (− 1;0)  и B (x0;y0).  Найдите y0.

11xy0A

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

             2
f(x) =a(x− x0) + y0

Здесь (x0;y0)  — координаты вершины параболы. По графику видно, что x0 = −2,  y0 =1.

Найдём a,  подставив точку (− 1;0)  в уравнение параболы:

0 = a(− 1+ 2)2+ 1  ⇔   a =− 1

Получим уравнение параболы

f(x)= −(x +2)2+ 1

Найдём уравнение линейной функции

g(x)= kx+ d

Ее график проходит через точки (−1;0)  и (0;3).  Найдём значение углового коэффициента:

    Δg    3 − 0
k = Δx-= 0−-(−1) = 3

Значение коэффициента d  равно 3, поскольку прямая пересекает ось ординат в точке (0;3).

Получим уравнение функции

g(x)= 3x+ 3

Чтобы найти координаты точки B,  надо решить уравнение f(x)= g(x):

  −(x+ 2)2 +1 = 3x + 3
   2
− x − 4x − 4+ 1= 3x+ 3
    x2 +7x +6 = 0
       ⌊
       ⌈x =− 1
        x =− 6

Первое значение x  соответствует абсциссе точки A,  тогда второе — абсциссе точки B.  Найдём её ординату, подставив x = −6  в уравнение любой из функций. Подставим в g(x)= 3x + 3:

g(−6)= 3⋅(−6)+ 3= −15
Ответ: -15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32271

На рисунке изображены графики функций  f(x)= 2x2− 5x+ 4    и  g(x)= ax2+ bx + c,  которые пересекаются в точках A  и B.  Найдите ординату точки B.

xyA110

Показать ответ и решение

Определим какой из графиков, то есть «верхний» или «нижний», принадлежит функции f(x).  Заметим, что f(0)= 4,  значит, график функции f(x)  проходит через точку (0;4).  Тогда функции f(x)  соответствует «верхний» график.

Восстановим уравнение функции g(x).  Заметим, что «нижний» график проходит через точку (0;− 3),  следовательно, справедливо равенство

                  2
g(0)= −3  ⇔   a ⋅0 + b⋅0+ c= −3  ⇔   c= − 3

Также график функции g(x)  проходит через целые точки (−2;−5)  и (1;1).  Значит, можем составить систему уравнений:

({                  ({       2
  g(−2)= −5    ⇔     a⋅(−2) + b⋅(− 2)+ c= −5
( g(1) =1           ( a⋅12+ b⋅1+ c= 1
(                      (
{ 4a− 2b− 3= −5        { 2a− b= −1
(                  ⇔   (
  a+ b− 3= 1             a+ b= 4
({                 ({                    ({
  b= 2a+ 1    ⇔     2a+ 1= 4− a    ⇔     a= 1
( b= 4− a         ( b= 4− a            ( b= 3

Таким образом, мы полностью восстановили уравнение функции g(x):

g(x)= x2+ 3x− 3

Теперь найдем абциссы точек пересечения графиков функций f(x)  и g(x):

  2          2              2
2x − 5x+ 4= x + 3x− 3  ⇔   x − 8x+ 7= 0
                           ⌊
      (x− 1)(x − 7)= 0  ⇔   ⌈x= 1
                            x= 7

Значит, абсцисса точки B  равна 7. Тогда ордината точки B  равна

g(7)= 72+ 3⋅7− 3= 49+ 21− 3= 67
Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23739

На рисунке изображены графики функций        √ -
f(x) = a x    и  g(x)= kx+ b,  которые пересекаются в точках A(x0;y0)  и B (4;5).  Найдите y0.

xy110AB

Показать ответ и решение

Найдём уравнение функции g(x).  По графику видно, что k = 1,  поскольку функция увеличивается на 1 при увеличении аргумента на 1. Также прямая пересекает ось ординат в точке (0;1),  откуда b = 1.  Тогда уравнение прямой имеет вид

g(x)= x +1

Найдём уравнение функции f(x).  Подставим точку (4;5)  на графике в уравнение функции:

f(4)= 5  ⇔   2a = 5  ⇔   a= 2,5

Тогда уравнение корня имеет вид

f(x)= 2,5√x

Найдём координаты точек пересечения графиков, приравняв функции:

x+ 1= 2,5√x

Сделаем замену t =√x-  и получим квадратное уравнение:

      t2− 2,5t+ 1= 0
        2
      2t − 5t+ 2= 0
D = 52− 4⋅2⋅2 =52− 42 = 32
         5± 3   1
      t= --4- = 2; 2

Сделаем обратную замену и получим совокупность

⌊            ⌊
 t= 0,5        x = 0,25
⌈t= 2    ⇔   ⌈x = 4

Точке A  соответствует координата x0 = 0,25.  Подставим её в уравнение g(x)  и получим

y0 = g(0,25)= 0,25+ 1= 1,25
Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20627

На рисунке изображены графики функций       √ ----
f(x) =a  x− b+ c  и g(x)= 0,75x+ 1,  которые пересекаются в точках A(0;1)  и B.  Найдите абсциссу точки B.

xy110A

Показать ответ и решение

Заметим, что область определения функции       √ ----
f(x)= a x− b+ c  совпадает с областью определения функции √----
 x − b  и равна [b;+∞ ).

Из графика видно, что f(x)  определена на [− 1;+ ∞),  откуда получаем b= − 1.

Тогда функция примет вид

f(x) =a√x-+-1+ c

По графику f(−1)= − 2,  то есть

a√−-1+-1+ c= −2  ⇔   c = −2  ⇒   f(x)= a√x-+1-− 2

По графику f(0)= 1,  то есть

a√0-+1 − 2 = 1 ⇔   a= 3  ⇒   f(x)= 3√x-+1-− 2

Найдем отличную от A  точку пересечения графиков функций f(x)  и g(x):

pict

Из последней системы получаем x= 8.  Тогда абсцисса точки B  пересечения графиков равна 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#11248

На рисунке изображены графики двух функций: одна из них линейная, другая — вида

     √-----
y = a x− x0+ y0

 

Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций. Если таких точек несколько, в ответе укажите наименьшую абсциссу.

xy110

Показать ответ и решение

Для решения найдём уравнения обеих функций, после чего решим уравнение, приравняв эти функции, что и будет означать пересечение графиков функций.

Найдём уравнение линейной функции. Заметим, что прямая проходит через точки (−4;0)  и (3;2).  Тогда угловой коэффициент можно найти по формуле

k = y1−-y0= --2−-0- = 2
    x1− x0  3 − (−4)  7

Получим уравнение прямой

    2
y = 7x+ b

Для нахождения свободного коэффициента b  подставим произвольную точку на прямой в это уравнение. Подставим точку (3;2) :

2 = 2⋅3+ b  ⇔   b=  8
    7               7

Получаем уравнение прямой

y = 2 x+ 8
   7    7

Найдём уравнение второй функции. Заметим, что график имеет вершину (2;3),  из чего можно сделать вывод, что x0 = 2,  y0 = 3.  Чтобы найти a,  подставим в полученную функцию y = a√x-− 2-+3  координаты точки (3;4),  которая находится на графике.

    √ ----
4= a  3− 2+ 3  ⇔   a= 1

Получаем уравнение второй функции

   √-----
y = x − 2+ 3

Приравняем полученные функции:

 √x-−-2+ 3= 2x + 8
            7    7
√x-−-2=  2x− 13 |⋅7
   √ ----7   7
  7  x− 2= 2x− 13

Возведём в квадрат обе части уравнения, отметив, что правая чать должна быть неотрицательной, то есть 2x − 13 ≥0 ⇔    x≥ 6,5 :

              2
   49(x− 2)= 4x + 169− 52x
     4x2− 101x+ 267= 0
      2                   2
D = 101 − 4 ⋅4⋅267 = 5929 = 77
         101±-77
   x1,2 =    8   = 3;22,25

Поскольку решение уравнения существует при x≥ 6,5  , получим единственное решение x= 22,25.

Ответ: 22,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32272

На рисунке изображены графики функций  f(x) = k
      x    и  g(x)= ax+ b,  которые пересекаются в точках A (− 2;− 3)  и B(x0;y0).  Найдите x0.

xy110A

Показать ответ и решение

Восстановим уравнение функции f(x).  Ее график проходит через точку (−3;−2).  Значит, можем составить уравнение:

                k
f(−3)= −2  ⇔    −3-=− 2  ⇔   k = 6

Тогда функция f(x)  имеет вид

f(x)= 6
      x

Восстановим уравнение функции g(x).  Ее график проходит через точку (0;5),  следовательно,

g(0)= 5  ⇔   a⋅0 +b =5   ⇔   b= 5

Также график g(x)  проходит через точку (−2;−3),  следовательно,

g(− 2)= −3  ⇔   a ⋅(− 2)+ 5 =− 3  ⇔   a= 4

Значит, функция g(x)  имеет вид

g(x)= 4x+ 5

Найдем абсциссу точки B :

6= 4x +5   ⇔   4x2 +5x − 6 = 0
x
⌊
⌈x= − 2   ⇒   x0 =0,75
 x= 0,75
Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#23738

На рисунке изображены графики функций       k
f(x) = x  и g(x)= ax+ b,  которые пересекаются в точках A  и B(x0;y0).  Найдите ординату точки B.

xy110A

Показать ответ и решение

Способ 1.

Подставим точку (− 2;2),  расположенную на графике гиперболы, в функцию f (x):

        k
f(−2)= −-2 = 2 ⇔   k = −4

Найдём коэффициент по точкам на графике линейной функции

a = Δy-= −2-− (−5)-= 3
    Δx    4− (− 4)   8

Найдём b,  подставив точку (4;−2):

    3
−2= 8 ⋅4+ b  ⇔   b= −3,5

Найдём точки пересечения, приравняв f(x)  и g(x):

   f(x)= g(x)
  −4   3
  x--= 8x− 3,5
        2
 −32 =3x  − 28x
3x2− 28x+ 32= 0

Решим данное уравнение методом переброски коэффициента. Решим уравнение

x2− 28x +32 ⋅3 = 0

По теореме Виета легко находятся корни x′1 = 4  и x′2 = 24.  Тогда у исходного уравнения корни равны

     ′               ′
x1 = x1 = 4 и   x2 = x2= 8
     3   3          3

Видно, что точке A  соответствует координата x1,  тогда точке B  — координата x2.  Найдём ординату, подставив x2  в g(x):

      3
g(8)=  8 ⋅8− 3,5 = −0,5

 

Способ 2.

По картинке видим, что целая точка (− 2;2)  принадлежит графику гиперболы f(x)= kx,  и целые точки (−4;−5)  и (4;−2)  принадлежат графику прямой g(x) = ax + b.  Можем полностью восстановить вид обеих функций:

pict

Получили, что f(x)= − 4,
        x  g(x)= 3x − 3,5.
      8  Найдем теперь абсциссы точек пересечения f  и g

                  (                      (
 4   3            {− 32= 3x2− 28x        {x = 4;8            4
−x = 8x − 3,5 ⇔   (                  ⇔   (    3      ⇔   x=  3;8
                   x ⁄= 0                  x ⁄= 0

Точка B  находится правее точки A,  следовательно, ей соответствует большая координата по оси абсцисс x = 8.  Осталось найти ординату точки B

f(8)= − 4= −0,5
        8
Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#18130

На рисунке изображены графики функций f(x)= k
      x  и g(x)= ax+ b,  которые пересекаются в точках A (− 4;− 2)  и B(x0;y0).  Найдите абсциссу точки B.

xy110A

Показать ответ и решение

По условию график функции f(x)  проходит через точку A(−4;−2),  значит, координаты точки A  обращают уравнение       k
f(x)= x  в верное равенство, то есть

       k
  −2 = −4-

k = (−2)⋅(− 4)
   k = 8

Тогда уравнение f(x)  можно записать в виде

      8
f(x)= x

По условию график функции g(x)  проходит через точки A(−4;−2)  и (8;0).  Значит, координаты точек A  и (8;0)  обращают уравнение g(x)= ax +b  в верное равенство, то есть

pict

Тогда уравнение g(x)  можно записать в виде

      x   4
g(x)= 6 − 3

Так как B(x0;y0)  — вторая точка пересечения графиков функций f(x)  и g(x),  то

 f(x0)= g(x0)
  8   x    4
  x-= -06 − 3
   0
48 = x0(x0− 8)
  ⌊
  ⌈x0 = 12
   x = −4
    0

Поскольку x = −4  — абcцисса точки A,  то абсцисса точки B  равна x0 = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80087

Даны функции f(x) = (x − 6)2 − 2,  g(x) = x− 2  и p(x) = x− 6.  Графики f(x)  и g(x)  пересекаются в точках A  и D.  Графики f (x)  и p(x )  пересекаются в точках B  и C.  Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Показать ответ и решение

Найдём координаты точек пересечения f(x)  и g(x) :

(x− 6)2 − 2 = x − 2,

x2 − 13x +36 = 0.

      2                 2
D = 13 − 4 ⋅1⋅36 = 25 = 5 ,

     13+-5-         13−-5-
x1 =   2   = 9, x2 =  2   = 4.

y1(x1) = 9 − 2 = 7,

y(x ) = 4 − 2 = 2.
 2 2

Таким образом, A(4,2)  и D(9,7).

Найдём координаты точек пересечения f(x)  и p(x) :

(x− 6)2 − 2 = x − 6,

 2
x − 13x +40 = 0.

D = 132 − 4⋅1 ⋅40 = 9 = 32,

x =  13+-3-= 8, x = 13−-3-= 5.
 3     2        4     2

y3(x3) = 8 − 6 = 2.

y4(x4) = 5− 6 = − 1.

Таким образом, B(5,− 1)  и C (8,2).

Рассмотрим рисунок на координатной плоскости:

PIC

Найдём площадь фигуры ABCD  по формуле Пика (B  — количество точек с целочисленными координатами внутри фигуры, а Γ  — количество точек с целочисленными координатами на контуре фигуры):

        Γ-
S = B + 2 − 1,

         10
S = 12+  2-− 1 = 16.
Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75429

Даны функции f(x) = − 2x3 − x2 + x − 2  и g(x) = 0,5(x − 2)2 + b.  Определите, при каком значении b  графики f (x)  и g(x)  пересекаются ровно в одной точке, причём с положительной абсциссой.

Показать ответ и решение

Пусть графики функций пересекаются в точке A.  Тогда для выполнения касания в ней нам требуется записать систему из трёх условий — о равенстве значений функций в точке A  и равенстве значений производной в этой же точке (ну и помним про положительность абсциссы):

(
|{ x > 0,
  f(x) = g(x),
|(  ′     ′
  f(x) = g(x).

(|
{x > 03,  2                 2
|(− 2x − x + x − 2 = 0,5(x − 2) + b,
 − 2⋅3⋅x3−1 − 2⋅x2−1 + 1 ⋅x1− 1 − 0 = 0,5⋅2⋅(x − 2)2−1.

Рассмотрим последнее уравнение системы отдельно:

− 2⋅3 ⋅x3− 1 − 2⋅x2−1 +1 ⋅x1−1 − 0 = 0,5⋅2 ⋅(x − 2)2−1,

− 2x2 − x+ 1 = 0,

− (x− 0,5)(x+ 1) = 0.

Помня об условии x > 0,  оставляем корень x = 0,5.  Подставим его во второе уравнение системы и получим ответ:

       3       2                     2
− 2 ⋅(0,5) − (0,5) + 0,5 − 2 = 0,5 ⋅(0,5− 2) + b,

b = − 3,125.

PIC

Ответ: -3,125
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!