Тема 18. Задачи с параметром

18.20 Графика. Базовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#570

При каких значениях параметра a  графики функций

y = |x2 + ax|     и    y = 2a

имеют три общие точки.

Показать ответ и решение

Графиком функции y1 = x2 + ax  является парабола, ветви которой направлены вверх, и которая имеет либо одну точку пересечения с осью абсцисс (если a = 0  ), либо две точки пересечения с осью абсцисс: (a;0)  и (0; 0)  (если a ⁄= 0  ).

 

При a = 0  функции принимают вид:       2     2
y =  |x | = x   и y =  0  . Для того, чтобы найти точки пересечения графиков функций, можно решить уравнение x2 = 0  . Это уравнение имеет один корень, следовательно, a = 0  не подходит.

 

Пусть a ⁄= 0  . Значит, графиком       2
y = |x  + ax| является:
 
PIC

 

Для того, чтобы графики функций имели три общие точки, необходимо, чтобы прямая y = 2a  выглядела, как показано на рисунке, то есть проходила через вершину (x0;y2(x0))  параболы y2 = − (x2 + ax)  . Значит:

        a                 a2         a2
x0 =  − --  ⇒    y2(x0) = ---  ⇒     ---= 2a   ⇒    a =  8
        2                  4         4
Ответ:

a ∈ {8}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#10858

При каких значениях параметра a  уравнение

     2  2
|− 2x + a|= 2

имеет ровно два решения?

Показать ответ и решение

Обозначим           2   2
f(x) =|− 2x + a |.  График f  — это сдвинутая на  2
a  вверх парабола        2
y = −2x  с ветвями вниз. При этом часть параболы, лежащая ниже оси Ox,  отражена в верхнюю полуплоскость.

PIC

Заметим, что вершина нашей параболы всегда имеет неотрицательную координату  2
a  по оси Oy,  а значит, не будет отражена.

При условии, что вершина лежит ниже прямой y = 2,  то есть a2 < 2,  график функции f(x)  будет иметь ровно две точки пересечения с прямой y = 2  — с ней пересечется каждая из отраженных ветвей. Если же a2 ≥ 2,  то точек пересечения будет три или четыре.

Тогда найдем подходящие значения параметра:

 2               √- √-
a < 2  ⇔   a ∈ (−  2; 2)
Ответ:

   (  √- √-)
a ∈ −  2; 2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Недостаточное обоснование построения

3

Выполнен обоснованный переход к неравенству, которое может отличаться от верного знаком неравенства

2

ИЛИ

Неравенство составлено верно, но допущена ошибка в его решении

Верно сведено к исследованию графически или аналитически

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16108

Постройте при помощи элементарных преобразований (сдвиг, сжатие/растяжение, отражение), где это возможно, графики следующих функций/уравнений:

1.1. y = (x− 3)2 + 1

1.2. y = − |2x− 4| = − 2|x − 2|

1.3. y = x2 + 2x + 4 = (x+ 1)2 + 3

1.4. y = − 2x2 − 6x = − 2(x2 + 3x) = − 2((x+ 1,5)2 − 2,25)

1.5.                                   ( (      )2    )
y = 4x2 + 4|x|− 1 = 4(x2 + |x|)− 1 = 4 |x |+ 1  − 1  − 1 = 4(|x|+ 0,5)2 − 2
                                          2     4

Показать ответ и решение

1.1. y = (x− 3)2 + 1

y = x2

PIC

y = (x 3)2 ( на 3)

PIC

y = (x 3)2 + 1 ( на 1)

PIC

1.2. y = − |2x− 4| = − 2|x − 2|

y = |x|

PIC

y = |x 2| ( на 2)

PIC

y = 2|x 2| (растяжение вдоль Oy)

PIC

y = 2|x 2| (симметрия относительно Ox)

PIC

1.3.      2                2
y = x + 2x + 4 = (x+ 1) + 3

y = x2

PIC

y = (x + 1)2 ( на 1)

PIC

y = (x + 1)2 + 3 ( на 3)

PIC

1.4. y = − 2x2 − 6x = − 2(x2 + 3x) = − 2((x+ 1,5)2 − 2,25)

y = x2

PIC

y = (x + 1,5)2 ( на 1,5)

PIC

y = (x + 1,5)2 2,25 ( на 2,25)

PIC

y = 2((x + 1,5)2 2,25) (растяжение вдоль оси Oy)

PIC

y = 2((x+1,5)22,25) (симметрия относительно оси Ox)

PIC

1.5. y = 4x2 + 4|x|− 1 = 4(x2 + |x|)− 1 = 4( (|x |+ 1)2 − 1) − 1 = 4(|x|+ 0,5)2 − 2
                                          2     4

y = x2

PIC

y = (x + 0,5)2 ( на 0,5)

PIC

y = 4(x + 0,5)2 (растяжение вдоль оси Oy)

PIC

y = 4(x + 0,5)2 2 ( на 2)

PIC

y = 4(|x|+0,5)22 (стираем все, что левее оси Oy, и отражаем туда все, что правее нее)

PIC

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16109

Представьте функции в кусочно-заданном виде. Найдите “вершину” графика каждой функции и определите траекторию движения этой точки:

2.1. y = 2|x + 3|− a

2.2. y = |2a − x+ 3|− a2

2.3. y = |3x − 1|+ |x|

2.4. y = 4− 3|2a+ ax − 1|+ a

Показать ответ и решение

2.1. y = 2|x+ 3|− a

                       (
                       {
y = 2|x+ 3|− a ⇔    y =  2(x+ 3)− a,   x ≥ − 3
                       ( − 2(x + 3)− a, x < − 3

Это график уголка модуля, с вершиной в точке (− 3;− a)  , растянутый вдвое вдоль оси ординат. В зависимости от a  вершина может находиться в произвольной точке прямой x = − 3  , это и будет траекторией вершины.

PIC

2.2. y = |2a − x+ 3|− a2

                           ({             2
y = |2a− x +3|− a2  ⇔   y =  2a− x + 3− a , x ≤ 2a+ 3
                           ( x − 2a − 3− a2, x > 2a+ 3

Представим функцию в следующем виде y = |− x+ (2a+ 3)|− a2 = |x− (2a+ 3)|− a2  . Ее график — уголок модуля с вершиной в точке          2
(2a+ 3;− a )  . Найдем траекторию вершины

({                  ({     x−3             ({     x− 3
  x = 2a +3    ⇔     a = -2-         ⇔     a = -2-
( y = − a2         ( y = − (x−-3)2        ( y = − (x−3)2
                             2                    4

Получили, что вершина уголка может лежать в произвольной точке параболы      (x-−-3)2
y = −   4  .

PIC

2.3. y = |3x − 1|+ |x|

                         (
                         |||{(1− 3x)− x = 1− 4x,  x < 0
y = |3x− 1|+ |x| ⇔   y =  (1− 3x)+ x = 1− 2x,  0 ≤ x ≤ 1
                         |||                            3
                         ((3x− 1)+ x = 4x− 1,  13 < x

Это корыто с наклонным дном, углы которого находятся в точках x = 0  и x = 1
   3  .

PIC

2.4. y = 4− 3|2a+ ax − 1|+ a

pict

При a = 0  функция обращается в y = 1  . Для a ⁄= 0  представим функцию в виде           ||      1||
y = − 3|a|⋅||x + 2−-||+ a + 4
                 a  . Ее график — уголок модуля с вершиной в точке  1
(a − 2;a+ 4)  с ветвями вниз, растянутый вдоль оси ординат в 3|a| раз. Найдем траекторию вершины (помним, что a ⁄= 0  )

(                  (
{ x = 1− 2         { a =-1-
      a        ⇔        x+2
( y = a + 4        ( y = x1+2 + 4

Получили, что вершина уголка может лежать в произвольной точке гиперболы y = -1---+ 4
    x+ 2  .

PIC

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31959

Найдите все значения a  , при которых уравнение

      2
|(2x− a) − |x|− 28|+ 2|x|=16

имеет три различных решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

                             (|
      2                      ||{ 16⌊ − 2|x|≥ 0
|(2x− a)− |x|− 28|= 16− 2|x| ⇔   || ⌈(2x − a)2− |x|− 28= 16− 2|x|  ⇔
                             |(  (2x − a)2− |x|− 28= −16+ 2|x|
(|
||{ |x⌊|≤ 8
|| ⌈(2x− a)2 = 44− |x|
|(  (2x− a)2 = 3|x|+12

Рассмотрим функции f1 = 44− |x| , f2 = 3|x|+ 12  , g =(2x− a)2  на области |x|≤ 8  . На этой области объединение графиков f1  и    f2  представляет собой четырехугольник, диагональ AB  которого равна 16  и лежит на прямой y =36  .

Заметим, что g = 4(x− a2)2  . Значит, из 4(x)2 = 36  следует, что x±3  , следовательно, расстояние между двумя точками на параболе, ординаты которых равны 36  , равно 6 <16  . Значит, когда левая ветка параболы проходит через точку A  , то правая еще не доходит то точки B  . И аналогично наоборот. Следовательно, три решения будет, когда либо левая ветка проходит через A  , либо правая проходит через B  :

PIC

A (− 8;36): (−16− a)36  ⇔   a= −22;−10;
               2
B (8;36) : (16− a) = 36 ⇔  a= 10;22

Так как вершина параболы находится в точке x0 = a
    2  , то при изменении a  от − ∞ до +∞ парабола движется слева направо, следовательно, a= −22  соответствует положению параболы, когда правая ветвь проходит через A  , а не левая, а a= 22  — когда левая ветвь, а не правая, проходит через B  . Поэтому нам подходят a= ±10.

Ответ:

 a ∈{±10}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31965

При каких значениях параметра a  уравнение

          2
2|x − 2a|− a + 15+ x= 0

не имеет решений? При каких a  уравнение имеет решения и все решения принадлежат отрезку [−9;10]?

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

                2
f(x)= 2|x − 2a|− a , g(x)= −x− 15

График f  представляет собой уголок, вершина которого имеет координаты        2
O(2a;−a ),  следовательно, движется по параболе y = − 14x2.  Найдем точки пересечения прямой g  с траекторией y = − 14x2 :

(                  ⌊
{y = − 14x2     ⇔   ⌈ A(−6;−9)
(y = −x− 15          B(10;− 25)

Точка на прямой g,  абсцисса которой равна x = −9,  имеет ординату y = −6,  то есть C(−9;−6).

PIC

 

Если вершина O  уголка перемещается по параболе от точки A  до точки B,  не включая эти положения, то уравнение не имеет решений, так как уголок находится выше прямой и не имеет с ней точек пересечения. Следовательно, нет решений при − 6 < 2a< 10,  то есть при − 3< a< 5.

Если D  — такая позиция вершины O,  что левая ветвь уголка проходит через точку C,  то это граничное положение, при котором есть решения и эти решения из отрезка [−9;10].  Все положения от D  до A  нам также подходят плюс подходит положение, когда вершина O  находится в точке B.

Левая ветвь уголка задается уравнением fleft = −2x+ 4a− a2,  следовательно, она проходит через C,  если

                           √ -
−6= 12+ 4a− a2  ⇔   a= 2 ±2  7

В нашем случае речь идет о значениях параметра        √ -
a =2 − 2 7,  так как        √-
a= 2+ 2 7  соответствует положению, когда вершина O  находится ниже точки B  на параболе.

Следовательно, при 2− 2√7-≤ a ≤− 3  и a= 5  уравнение имеет решения и все они из отрезка [−9;10].

Ответ:

a ∈(−3;5)  — нет решений

      √-
a∈ [− 2 7+ 2;−3]∪ {5} — все решения из отрезка [−9;10]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31966

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система уравнений

(| xy2− 3xy− 3y+ 9
|{ ----√x-+-3----= 0
||(
  y = ax

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Система равносильна

(                          (| ⌊
|||y(xy− 3)− 3(xy − 3)= 0     ||||| ⌈y = 3
{x +3 >0                ⇔  {  xy = 3
|||(                          |||| x> −3
 y =ax                     ||( y = ax

Будем искать точки пересечения прямой y = ax  (это равенство задает пучок прямых, проходящих через начало координат) со множеством

(||⌊ y = 3
|{⌈    3
|||  y = x
(x >− 3

PIC

A(−3;−1)  , B (1;3)  .

Когда прямая находится между положениями j  и p  (включая p  ), а также в положении r  , то графики имеют две точки пересечения.

aj =0  ;

ap :  − 1= −3a  ⇔  a =ap = 1
                    3  ;

ar :  3= a  ⇔  a =ar = 3  .

Следовательно, 0< a≤ 1
      3  и a= 3.

Ответ:

 a ∈(0;1]∪{3}
      3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33312

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

({ x           x    3
 2 (y+1)(1 − y⋅2 )= a
((1+ 2x)(1− y ⋅2x)= a

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замену t=2x  , p= yt  , t>0  , p ∈ℝ  , тогда система примет вид

({             3
  (p+ t)(1− p) =a
( (1+ t)(1− p) =a
1.
Пусть a =0  . Тогда система имеет вид
(⌊
|||||⌈ p= −t       ⌊ p= 1
|{⌊ p= 1        || ({
|||  t=− 1    ⇔  |⌈  p= −t
|||(⌈               (t= −1
   p= 1

Такая система имеет решения, как минимум (t0;1)  , t0 > 0  , следовательно, a = 0  нам подходит.

2.
Пусть a ⁄=0  . Тогда можно разделить первое уравнение на второе и получить новую систему
(                    (
|{p1-++tt =a2            |{ p= p1(t)=t(a2 − 1)+ a2
|(                 ⇔  |( p= p2(t)=1 −--a- ⋆
 (1+ t)(1− p)= a                   t+ 1

⋆  Так как t+ 1= 0  не является решением этого уравнения.

p =p1  представляет собой пучок прямых, проходящих через точку O(−1;1)  , а p= p2  представляет собой гиперболу. Найдем те a  , при которых прямая p= p1  имеет хотя бы одну точку пересечения с гиперболой p= p2  , причем абсцисса этой точки t> 0.

2.1.
a< 0  , тогда графически все выглядит следующим образом:

PIC

Нам подходят все прямые, у которых угловой коэффициент  2
a − 1> 0  и меньше, чем у прямой, проходящей через точку A  . Координаты точки A  равны (0;1− a)  , следовательно, прямая проходит через A  при

(
|||{ 1− a= a2               √ -
| a2− 1 >0   ⇔   a= −1-−--5
||( a< 0                 2

Следовательно, условию a2− 1 <(−-1−√5)2 − 1
         2  в этом случае соответствуют a∈( −1−-√5;− 1) .
      2

2.2.
a> 0  , тогда графически все выглядит следующим образом:

PIC

Нам подходят все прямые, у которых угловой коэффициент  2
a − 1< 0  и больше, чем у прямой, проходящей через точку B(0;1− a)  . Следовательно, прямая проходит через B  при

(
|||{ 1− a= a2               √ -
| a2− 1 <0   ⇔   a= −1-+--5
||( a> 0                 2

Следовательно, условию a2− 1 <(−-1+√5)2 − 1
         2  в этом случае соответствуют a∈( −1+√5-;1).
      2

Тогда ответ    (−1−√5   )      (−1+√5 )
a∈    2  ;−1 ∪ {0}∪    2  ;1 .

Ответ:

 a ∈(−1−√5;−1)∪ {0} ∪(−1+√5;1)
      2               2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#14243

Найдите все значения параметра a,  при которых система

({         2
 log2(2a− x )= log2(2a− y)
(x2 +y +4x = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходную систему:

(                               (|     2                (|     2
{ log (2a − x2)= log(2a− y)        ||{ 2a − x = 2a − y        ||{y = x
(  22            2          ⇔   | 2a − y > 0        ⇔   |y < 2a
  x + y+ 4x= 0                  ||(      2               ||(      2
                                  y = −x − 4x           y = −x − 4x

Первое и третье уравнения системы задают параболы на плоскости. Второе неравенство системы задает часть плоскости, лежащую строго ниже горизонтальной прямой y =2a.  Построим графики (первый при a =2,  второй при a = 0  ).

PIC

PIC

Параболы имеют две точки пересечения A(−2;4)  и B(0;0).  Чтобы система имела единственное решение, a  должно быть таковым, чтобы ровно одна из точек A  и B  лежала ниже прямой y = 2a.

  • При 2a> 4⇔ a > 2  точки A  и B  лежат ниже прямой y = 2a,  то есть система имеет два решения, такие a  нам не подходят.
  • При 0< 2a≤ 4⇔  0< a≤ 2  точка A  лежит выше «разрешенной» области (другими словами, не удовлетворяет условию y < 2a  ), а точка B  принадлежит «разрешенной» области, то есть система имеет ровно одно решение, такие a  нам подходят.
  • При 2a ≤ 0⇔ a ≤ 0  ни одна из точек не лежит в «разрешенной» области (другими словами, ни одна из точек не удовлетворяют условию y < 2a  ) и система не имеет ни одного решения, такие a  нам не подходят.

Таким образом, нам подходят a∈ (0;2].

Ответ:

a ∈(0;2]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

 Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество значений a,  отличающееся от искомого конечным числом точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#48587

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система уравнений

(
||{log2(− y2 +y(2a+ 3)− a2− 3a) =log2(x − y2+ 2ay− a2− 3a)
     ∘--
||(y =   x
       3

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

(                                                 (
|||− y2+ y(2a+ 3)− a2− 3a= x− y2+ 2ay− a2− 3a        |||y = x
|||{    ∘--                                          |||{    3∘--
 y =   x                                      ⇔    y =   x
|||||      3                                          |||||      3
|(− y2+ y(2a+ 3)− a2− 3a> 0                         |(a < y < a+ 3

Решим систему графически. Найдем точки пересечения графиков функций y = x3  и    ∘ --
y =  x3 :

x  ∘ x-
3 =  3   ⇔   x= 0;3

Следовательно, имеем две точки пересечения: A(0;0)  и B (3;1).  Тогда нам подойдут те значения параметра a,  при которых точки A  и B  будут находиться в горизонтальной полосе шириной 3, задаваемой неравенством a < y < a+ 3.

PIC

Так как полоса без границы, то необходимо, чтобы прямая y = a  находилась ниже прямой, проходящей через точку A,  а прямая y = a +3  находилась выше прямой, проходящей через точку B.  Следовательно,

({
  a< 0       ⇔   −2 < a< 0.
( a+ 3> 1
Ответ:

a ∈(−2;0)

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!