18.19 Функции. Метод оценки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Так как ,
, то
, причем по методу оценки равенство
возможно тогда и только
тогда, когда один из синуса и косинуса равен
, а второй равен
:
Решим каждую систему по отдельности:
- 1.
- Найдем
, который является пересечением множества решений первой и второй серии:
Чтобы
было целым числом, целым числом должна быть последняя дробь, следовательно, так как число
может давать остатки
при делении на
, нам подходит остаток
:
, откуда
Следовательно,
, откуда
,
- 2.
- Найдем
, который является пересечением множества решений первой и второй серии:
Чтобы
было целым числом, целым числом должна быть последняя дробь, следовательно, так как число
может давать остатки
при делении на
, нам не подходит ни один из этих остатков. Следовательно, ни при каком
число
не будет целым, следовательно,
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Верно: и
. Следовательно,
Значит, по методу оценки левая часть равна тогда и только тогда, когда
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Так как , то
;
. Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе
части равны
:
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство при всех
.
Так как , то неравенство равносильно
где
Так как и
, то
. Следовательно, из этого следует, что неравенство выполняется тогда и
только тогда, когда
, что верно при
то есть при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке .
Так как то уравнение можно переписать в виде
Пусть
тогда
следовательно, уравнение имеет вид
При всех верно неравенство треугольника:
При этом равенство
возможно тогда и только тогда, когда
и
либо одновременно неотрицательны, либо одновременно неположительны, а
равенство
возможно тогда и только тогда, когда
неотрицательно. Следовательно, исходное уравнение
равносильно
Система имеет решения в случае, если Тогда решением является отрезок
который
имеет хотя бы одну точку пересечения с отрезком
если
С учетом откуда
окончательно получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
выполнено для всех .
Сделаем замену . Тогда неравенство должно быть выполнено для всех
. Пусть также
,
. Перенесем все слагаемые в одну часть и тогда неравенство примет вид
Рассмотрим функцию . Воспользуемся методом главного модуля/слагаемого:
функция при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию вида
, где
. Следовательно, как бы ни раскрылись два модуля, коэффициент
, следовательно,
функция
возрастает при всех
, а значит, и на промежутке
.
Значит, неравенство будет выполнено для всех
, если точка
находится не левее точки пересечения графика
с осью абсцисс, то есть если
:
Так как по неравенству треугольника , то при всех
выполнено
. Следовательно,
неравенство равносильно
Равенство возможно тогда и только тогда, когда подмодульные выражения либо одновременно неотрицательны, либо неположительны, следовательно, их произведение неотрицательно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие пары чисел и
, при каждой из которых уравнение
имеет единственное решение.
Уравнение равносильно
Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов, следовательно, сумму двух неотрицательных величин, следовательно,
неотрицательную величину: . Правая часть неположительна:
. Следовательно,
по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
:
Получаем следующие пары для и
:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каждом значении решите уравнение
Так как , то
Заметим также, что
Следовательно, левая часть равенства
Таким образом, левая часть равна , если
Тогда при решением уравнения является
, а при
уравнение не имеет решений.
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
имеет единственное решение.
Рассмотрим левую часть как функцию и правую часть как функцию
. Так как эти функции зависят от разных аргументов, то
значения, которые могут принимать эти функции, не зависят друг от друга. Тогда неравенство
будет иметь единственно
решение, если мы придадим параметру
такое значение, что
, причем
— единственная пара. Исследуем эти
функции.
-
Пусть
, тогда
и
. Производная
Тогда
— точка максимума, следовательно,
.
-
Так как
, то
Тогда нименьшее значение
будет совпадать с наибольшим значением
, если
, следовательно, при
.
Наименьшее значение достигается при
, принадлежащем отрезку, заключенному между точками
и
, которые при
совпадают, следовательно, значение
единственно. Заметим, что значение
также единственно, так
как
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Преобразуем аргумент логарифма:
Следовательно, так как в основании логарифма находится число, большее , то он возрастает, следовательно,
В свою очередь , следовательно,
. Тогда при всех возможных
получаем, что левая часть больше
или равна правой части, а по неравенству должна быть меньше или равна ей. Значит, по методу оценки возможен только случай равенства
двух частей значению
:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Преобразуем неравенство
Правая часть представляет собой сумму квадратов, следовательно, величину неотрицательную. По неравенству правая
часть должна быть неположительна, следовательно, по методу оценки возможен только случай, когда правая часть равна
:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение при всех возможных значениях параметра :
Левая часть представляет собой функцию , равную сумме возрастающих функций, следовательно, является возрастающей функцией.
Ее область определения:
Так как для возрастающей функции верно при
, то
Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда
Значит, при уравнение имеет единственное решение
, а при
решений не имеет.
;
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра уравнение
имеет лишь положительные решения?
Заметим, что левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Т.к. сумма двух неотрицательных чисел – число неотрицательное, то она будет равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
Рассмотрим первое уравнение: . При
уравнение равносильно
, что не выполнено ни при каких
. Следовательно, и вся система при
не имеет
решений.
Рассмотрим случай, когда .
Для того, чтобы данная система, а значит и исходное уравнение, имела только положительные
решения (), достаточно потребовать:
Рассмотрим два случая: когда модуль раскрывается положительным () и когда
отрицательным (
). Следовательно, в первой системе модуль раскроется
положительным, а во второй – отрицательным:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет не менее одного решения.
Перепишем уравнение в виде:
Для того, чтобы выполнялось
Найдем значения
Значит, вся совокупность имеет не более одного корня. Нам нужно, чтобы она имела не менее одного корня, то есть подходящий случай – когда совокупность имеет один корень. Это выполняется при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение и укажите решения системы для каждого найденного .
Перепишем систему в виде:
Так как и
, то из первого равенства следует, что
. Так как
и
, то из второго равенства
следует, что
. Значит,
. Но правая часть третьего равенства
, следовательно, по методу оценки
третье равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
:
- 1.
- При
имеем
- 2.
- При
имеем
и
,
и
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один целочисленный корень.
Рассмотрим знаменатель аргумента логарифма:
Тогда левая часть равенства равна
Правая часть равенства , следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
- (1):
-
Следовательно,
.
- (2):
-
При
получаем
; при
получаем