Тема 18. Задачи с параметром

18.18 Функции. Сумма взаимно обратных

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32963

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

||x2−-4ax+4a2+-1||  2
||     x− 2a     ||+x − 2x− 1= 0

имеет хотя одно решение.

Показать ответ и решение

Подмодульное выражение можно преобразовать следующим образом:

x2−-4ax+4a2+-1  (x−-2a)2+-1          --1--
     x− 2a     =    x− 2a   = (x− 2a)+ x− 2a

Следовательно, если x − 2a= t  , то подмодульное выражение представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел t  и 1
t  , следовательно, модуль от этой суммы ≥2  . Получаем

||   ||
||t+ 1t||= 2− (x− 1)2

Правая часть равенства ≤ 2  , следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2  , то есть

                                      ⌊ (
(                                       {x= 1
|{t+ 1 =±2           ({ x− 2a= ±1       ||| (a= 0
|   t            ⇒  (              ⇔  || (
(2 − (x− 1)2 = 2       x− 1= 0         |⌈ {x= 1
                                        (a= 2

Следовательно, ответ a= 0;2.

Ответ:

 a ∈{0;1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33026

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

   4   2        3
16x + ax  +1 = 32x  +8x

имеет ровно три различных корня.

Показать ответ и решение

Заметим, что x= 0  не является корнем данного уравнения. Тогда разделим обе части на  2
4x  :

 2   1    a    (     1)
4x  + 4x2-+ 4 =4  2x+ 2x

Пусть t= 2x + 12x-  — сумма взаимно обратных чисел, следовательно, |t|≥ 2  и t2 = 4x2+ 41x2-+ 2,  тогда уравнение примет вид

t2− 2+ a= 4t  ⇔   t2− 4t+ a− 2= 0
       4                  4

Исследуем замену.

Если |t|=2,  то таким значениям t  соответствует по одному x.

Если 0 ≤ |t|< 2,  то таким t  не соответствует ни один x.

Если |t|>2,  то каждому такому t  соответствует два x.

Так как уравнение с новой неизвестной имеет не более двух решений, то чтобы исходное уравнение имело три решения, новое уравнение должно иметь два решения t1  и t2,  причем |t1|>2,  |t2|=2.

1.
Пусть t2 = 2  . Тогда
      a
4− 8+ 4 − 2= 0  ⇔   a= 24

Следовательно, уравнение примет вид

t2 − 4t+ 4= 0 ⇔   t =2

Получили, что t1 = t2 = 2.  Этот случай нам не подходит.

2.
Пусть t2 = −2.  Тогда
       a
4 +8 + 4 − 2= 0 ⇔   a = −40

Следовательно, уравнение примет вид

2
t− 4t− 12= 0  ⇔   t1 = 6,t2 = − 2

Получили |t1|> 2,  что нам подходит.

Значит, ответ a= −40.

Ответ:

a ∈{− 40}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Необоснованы переходы по ходу исследования

3

Верно наложены условия существования трех решений уравнения, но либо есть ошибка, либо решение не завершено

2

Верно введена и исследована замена

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33034

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

 2 2   3    3   2     3
a (x + 1) +(x +1) = 12ax

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что x= 0  не является решением уравнения, поэтому разделим обе части равенства на x3 :

  (   1 )3         1
a2 x +x   + x3 +2+ x3 =12a

Сделаем замену t= x+ 1x  , тогда t3 = x3+ 1x3 + 3x+ 3x  , откуда x3+ x13 =t3− 3t  , следовательно,

a2t3+t3− 3t− 12a+2 =0  ⇔   (a2 +1)t3− 3t− 12a+ 2= 0

Так как t  представляет собой сумму взаимно обратных чисел, то |t|≥2  , причем |t|= 2  соответствует один x  , |t|>2  соответствует два x  . Следовательно, исходное уравнение имеет один корень в том случае, когда:

новое уравнение имеет один корень t1  , причем |t1|=2  (то есть t2,t3  не существуют);

новое уравнение имеет три одинаковых корня t1 = t2 =t3  , причем |t1|=2  ;

новое уравнение имеет корень t1  такой, что |t1|=2  , а другие корни t2  и t3  такие, что |t2|< 2  , |t3|<2.

1.
Пусть t = 2
 1  . Тогда
                           1
8a2+ 8− 6− 12a+ 2= 0  ⇔   a= 2;1
1.1.
При     1
a = 2  получаем уравнение
5t3− 12t− 16 =0 ⇔  (t− 2)(5t2 +10t+8)= 0

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, a= 12  нам подходит.

1.2.
При a =1  получаем уравнение
2t3− 3t− 10 =0 ⇔   (t− 2)(2t2 +4t+ 5) =0

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, a= 1  нам подходит.

2.
Пусть t1 = −2  . Тогда
− 8a2− 8+ 6− 12a+ 2= 0  ⇔   a= − 3;0
                              2
2.1.
При a =− 3
     2  получаем уравнение
  3                        2
13t− 12t+ 80= 0  ⇔  (t+ 2)(13t − 26t+ 40) =0

Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно, a= − 3
    2  нам подходит.

2.2.
При a =0  получаем уравнение
t3 − 3t+ 2= 0 ⇔  (t+2)(t− 1)2 =0

Вторая скобка имеет корень, но он по модулю меньше 2  , следовательно, a= 0  нам подходит.

Итого a =− 32;0;12;1.

Ответ:

 a ∈{− 3;0;1;1}
      2  2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31813

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых при любом b >0  уравнение

              (1   )
a⋅log1x−2 4= log2 x − 2 − b

имеет хотя бы одно решение, меньшее 1
3  .

Показать ответ и решение

Пусть log (1− 2) =y
  2 x  . Тогда имеем:

      2a-
b= y− y  (∗)

На решение x  , удовлетворяющее условию задачи, наложены следующие ограничения:

( 1
|||| x − 2> 0
|{ 1                (  1)
||| x − 2⁄= 1   ⇔   x∈  0;3
||( x< 1
     3

При таких x  имеем 1− 2> 1
x  . Так как y = log t
     2  – возрастающая функция, то наименьшее значение она достигает при наименьшем значении аргумента, следовательно, при найденных x  имеем y > log 1 =0
     2  .

Условие “У данного уравнения при любом положительном b  должно быть хотя бы одно решение y >0  ” можно переформулировать следующим образом: “Область E(f)  значений функции f(y) =y− 2a
         y  при ∀y > 0  должна содержать в себе луч (0;+∞ )  либо совпадать с ним.”

∙ Если a= 0  , то f(y)=y  и ∀y >0  имеем (0;+∞ )⊆ E(f)  . Все хорошо.

∙ Если a< 0  , то c= −2a> 0  и получим

         2a   √-- (   1)
f(y)= y+ y-=  2a⋅ h+ h  |h=√y->0
                           2a

Так как h+ 1
   h  – сумма двух взаимно обратных положительных чисел, то h+ 1 ≥2
   h  , следовательно, E(f)=[2√2a;+ ∞)  . Все плохо.

∙ Если a> 0  , то функция f(y)  при y > 0  не имеет точек разрыва, то есть является непрерывной. При y → 0+  имеем 1 → +∞
y , следовательно, f → − ∞ . Если y → +∞ , то f → + ∞ . Следовательно, E (f)= ℝ  . Все хорошо. PIC

Ответ:

 a ∈[0;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31913

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

 x   x+2         −x     1−x
4 + 2   + 7= a− 4  − 2⋅2

имеет решения.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

 x   −x   ( x   −x)
4 + 4  + 4 2 + 2   + 7= a

Пусть  x
2  =y.  Тогда каждому значению y ∈(0;+∞ )  соответствует ровно одно значение x ∈(−∞; +∞ ).

Если y + 1y = t,  то t∈ [2;+ ∞)  как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Таким образом, каждому t≥2  соответствует ровно как минимум одно значение y ∈ (0;+ ∞),  каждому из которых соответствует ровно одно x ∈(−∞; +∞ ).

Тогда получаем t2 = y2+-1+ 2 =4x +4−x +2
        y2  и уравнение примет вид

 2                        2
t − 2+ 4t+7 = a  ⇔   (t +2) = a− 1

Если полученное уравнение имеет хотя бы одно решение t≥ 2,  то исходное уравнение имеет хотя бы одно решение x.

При a≥ 1  имеем         √----
t= − 2±  a− 1,  причем        √ ----
t= −2−   a− 1≤ −2.  Следовательно, нужно:

    √ ----         √ ----
−2 +  a− 1≥ 2  ⇔     a− 1≥ 4  ⇔   a ≥17

Это удовлетворяет условию a ≥1.

Ответ:

a ∈[17;+ ∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Решение верно, получен верный ответ, но переходы по ходу исследования недостаточно обоснованы

3

Верно решено уравнение относительно новой переменной, но допущена ошибка в ходе его решения

2

ИЛИ

неверно составлено неравенство для выполнения условия задачи

Введена и исследована новая переменная

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32925

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

 2  a   a         −a   2−a  2
x  ⋅3 − 3 − 16x =9 ⋅3  − 3   ⋅x

имеет хотя бы одно целое решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2 (a     −a) ( a     −a)             (a     −a)(2   )
x 3 + 9⋅3   − 3 + 9⋅3   − 16x= 0 ⇔   3 + 9⋅3   x  − 1 = 16x

Заметим, что x= ±1  не является решением уравнения, следовательно, уравнение можно переписать в виде

3-(a−1   1−a)  -x---
16 3  + 3    = x2− 1

Выражение  a−1   1−a
3   +3  представляет собой сумму двух положительных взаимно обратных чисел, следовательно,     3(         )  3     3
b= 16 3a−1+31−a ≥ 16 ⋅2= 8  при всех a  . Рассмотрим функцию b= b(x)  в системе координат xOb  :

    x
b= x2− 1

Ее производная

       2               2
b′ = 1⋅(x-−21)− x2-⋅2x-= −-x2+-12 < 0
       (x − 1)        (x − 1)

Следовательно, b=b(x)  — убывающая функция при всех x∈ ℝ∖{±1} .

x→ −1− 0  имеем b → −∞ ;

x→ −1+ 0  имеем b → +∞ ;

x→ 1− 0  имеем b→ − ∞ ;

x→ 1+ 0  имеем b→ + ∞;

x→ −∞ имеем b → 0− 0  ;

x→ +∞ имеем b → 0+0.

PIC

Изобразим график функции b= b(x)  в системе координат xOb  и отметим область b≥ b0  , где b0 ≥ 38  . Видим, что прямая b= b0  пересекает график в двух точках A  и B  . Тогда всем b0 = b(x)  удовлетворяют x∈ {xA;xB}.  Так как xA ∈ (−1;0)  , то x= xA  не является целыми решением. Следовательно, целой должна быть точка x= xB.

Так как b0 ≥ 38  , а точка на графике b= b(x)  и ординатой 38  — это точка D (3;38) (ищется из уравнения x2x−1-= 38  , x> 0  ), то xB = 2;3  . Следовательно,

                        (⌊
⌊   (         )  2      ||| 9t2− 32t+ 9= 0       ⌊          (16± 5√7)
| 316 3a−1+ 31−a = 3      |{|⌈                    || a= 1+ log3 ---9---
⌈ 3-(3a−1+ 31−a)= 3  ⇒   ||| t =1             ⇒  ⌈
  16             8      |(t= 3a− 1                a= 0
Ответ:

 a ∈{0;log(16± 5√7-)− 1}
        3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32962

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

(    √-)x    4      2(    √-)x   2y    y+1   2 √ -
 3 +2 2  + (a +6− 4a )3 − 2 2 + 2  − a ⋅2  + a −  8≤ 0

имеет хотя бы одно решение (x;y)  .

Показать ответ и решение

Заметим, что (3+ 2√2)(3− 2√2)= 1  , следовательно, 3− 2√2 =--1√-
        3+2 2  , следовательно, если t= (3+ 2√2-)x  , z = 2y  , то уравнение равносильно

    4   2     1   2       2  √ -
t+(a − 4a + 6)⋅t + z − 2az+ a − 2 2 |⋅t>0 ≤0 ⇔
p(t)=t2+ ((z− a)2 − 2√2)t+((a2 − 2)2+2)≤ 0

Полученное неравенство должно иметь хотя бы одно решение (t;z)  , где t,z > 0.  Относительно переменной t  неравенство квадратное. Заметим, что если уравнение p(t)=0  имеет решения, то они одного знака, так как произведение корней положительно и равно ((a2 − 2)2+2  .

Следовательно, по свойству квадратичной функции неравенство p(t)≤ 0  имеет решения, если

(||                (||      2  √ -2     2   2
|{D ≥ 0           |{((z − a) − 2 2) ≥ 4((a − 2) + 2)
|||p(0) >0      ⇒   |||(a2− 2)2+ 2√> 0                ⇔
(t(верш ) >0       ((z− a)2− 2 2< 0
(|⌊     2   √-  √ -
|||||⌈ (z− a) − 2√2 ≥ b√-
{  (z− a)2 − 2√-2 ≤− b
||||(z− a)2− 2 2< 0
||(b= 4((a2− 2)2+ 2)

Заметим, что √b≥ 2√2  , то неравенство (z − a)2− 2√2-≥√b  нам не подходит, следовательно, система равносильна

(
{(z− a)2 ≤ −√b-+2√2
(b= 4((a2− 2)2+ 2)

из √b≥ 2√2  следует, что − √b+ 2√2≤ 0  , следовательно, первое неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда √b= 2√2  , следовательно, 4((a2− 2)2+ 2)=8  , откуда a= ±√2  . Тогда решением неравенства будут z = a  . Следовательно, z > 0  соответствует a =√2-  .

Ответ:

 a ∈{√2}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32964

Найдите наибольшее значение параметра a  , при котором неравенство

 √- 2          ---√a---- √4-3||  (πx )||
a a(x − 2x+ 1)+ x2− 2x+ 1 ≤ a ⋅|sin 2  |

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Если сделать замену t= √a(x− 1)2 > 0  , то неравенство (определенное при a≥ 0  ) равносильно

√4-(   1)  ||  (πx)||
  a t+ t  ≤|sin  2 |

Скобка представляет собой сумму взаимно обратных положительных чисел, следовательно, ≥ 2  . Тогда вся левая часть    √-
≥ 24a  . Правая часть принимает значения из отрезка [0;1]  . Следовательно, неравенств имеет решения как минимум в том случае, если

24√a ≤1  ⇔   a≤ 1-
               16

Покажем, что при a= 116  неравенство имеет решения. При этом a  обе части неравенства равны 1  , следовательно, неравенство равносильно равенству

                           (||a = 116-
4√-(   1)      || ( πx)||     ||{   √ -
 a  t+ t  = 1= |sin  2- | ⇔   ||t =  a(x− 1)2 =1    ⇔
                           ||(sin(πx)= ±1
(                               2
||||a = 116-                (|    1
{x =− 1;3            ⇔  { a= 16
||||                      |( x= −1;3
( πx2-= π2 + πn,n∈ ℤ

Следовательно, a= 116  подходит.

Ответ:

 a ∈{-1}
    16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32970

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

 x   −x   |x   −x   |            (x   −x)
4  +4  + 8|2 +2  − a|+11a< 26+ 2a 2 + 2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замену t=2x +2−x  , тогда t≥2  как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Тогда t2 = 4x+ 4− x+2  и неравенство примет вид

2                                 2                  2                 2  2
t− 2+ 8|t− a|+ 11a< 26 +2at  ⇔  (t− a) + 8|t− a|− 28+11a− a < 0 ⇔ (|t− a|+4) < a − 11a+ 44

Заметим, что a2− 11a+ 44> 0  при всех a∈ ℝ  .

Рассмотрим две функции y = y = (|t− a|+ 4)2
    1  и y = y = a2− 11a+ 44
    2  .

PIC

Рассмотрим случаи:

1.
a ≥2  . Следовательно, A
 1  должна располагаться ниже прямой y =y
    2  , чтобы неравенство имело решения. Значит, ее ордината должна быть меньше числа  2
a − 11a+ 44  :
                                      ⌊
16 <a2− 11a+44  ⇔   a2− 11a+ 28> 0 ⇒  ⌈ a> 7
                                        2≤a <4
2.
a <2  . Следовательно, A1  должна располагаться ниже прямой y = y2  , чтобы неравенство имело решения, то есть y1(2)< y1  , значит,
(|a − 2|+4)2 < a2− 11a+ 44 ⇔ 8|a − 2|< 24− 7a ⇔
                           (|{   8
7a− 24< 8(a− 2)< 24 − 7a ⇔    a< 3     ⇒   −8< a< 2
                           |(a> −8

Следовательно, − 8< a< 4  и a >7.

Ответ:

 a ∈(−8;4)∪ (7;+∞ )

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!