18.18 Функции. Сумма взаимно обратных
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя одно решение.
Подмодульное выражение можно преобразовать следующим образом:
Следовательно, если , то подмодульное выражение представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел
и
,
следовательно, модуль от этой суммы
. Получаем
Правая часть равенства , следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны
, то
есть
Следовательно, ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Заметим, что не является корнем данного уравнения. Тогда разделим обе части на
Пусть — сумма взаимно обратных чисел, следовательно,
и
тогда уравнение примет
вид
Исследуем замену.
Если то таким значениям
соответствует по одному
Если то таким
не соответствует ни один
Если то каждому такому
соответствует два
Так как уравнение с новой неизвестной имеет не более двух решений, то чтобы исходное уравнение имело три решения, новое
уравнение должно иметь два решения и
причем
- 1.
- Пусть
. Тогда
Следовательно, уравнение примет вид
Получили, что
Этот случай нам не подходит.
- 2.
- Пусть
Тогда
Следовательно, уравнение примет вид
Получили
что нам подходит.
Значит, ответ
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Необоснованы переходы по ходу исследования | 3 |
Верно наложены условия существования трех решений уравнения, но либо есть ошибка, либо решение не завершено | 2 |
Верно введена и исследована замена | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Заметим, что не является решением уравнения, поэтому разделим обе части равенства на
Сделаем замену , тогда
, откуда
, следовательно,
Так как представляет собой сумму взаимно обратных чисел, то
, причем
соответствует один
,
соответствует
два
. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень в том случае, когда:
новое уравнение имеет один корень , причем
(то есть
не существуют);
новое уравнение имеет три одинаковых корня , причем
;
новое уравнение имеет корень такой, что
, а другие корни
и
такие, что
,
- 1.
- Пусть
. Тогда
- 1.1.
- При
получаем уравнение
Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно,
нам подходит.
- 1.2.
- При
получаем уравнение
Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно,
нам подходит.
- 2.
- Пусть
. Тогда
- 2.1.
- При
получаем уравнение
Убеждаемся, что вторая скобка корней не имеет, следовательно,
нам подходит.
- 2.2.
- При
получаем уравнение
Вторая скобка имеет корень, но он по модулю меньше
, следовательно,
нам подходит.
Итого
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых при любом
уравнение
имеет хотя бы одно решение, меньшее .
Пусть . Тогда имеем:
На решение , удовлетворяющее условию задачи, наложены следующие ограничения:
При таких имеем
. Так как
– возрастающая функция, то наименьшее значение она достигает при наименьшем
значении аргумента, следовательно, при найденных
имеем
.
Условие “У данного уравнения при любом положительном должно быть хотя бы одно решение
” можно переформулировать
следующим образом: “Область
значений функции
при
должна содержать в себе луч
либо совпадать
с ним.”
Если
, то
и
имеем
. Все хорошо.
Если
, то
и получим
Так как – сумма двух взаимно обратных положительных чисел, то
, следовательно,
. Все
плохо.
Если
, то функция
при
не имеет точек разрыва, то есть является непрерывной. При
имеем
,
следовательно,
. Если
, то
. Следовательно,
. Все хорошо.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет решения.
Уравнение равносильно
Пусть Тогда каждому значению
соответствует ровно одно значение
Если то
как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Таким образом, каждому
соответствует ровно как минимум одно значение
каждому из которых соответствует ровно одно
Тогда получаем и уравнение примет вид
Если полученное уравнение имеет хотя бы одно решение то исходное уравнение имеет хотя бы одно решение
При имеем
причем
Следовательно, нужно:
Это удовлетворяет условию
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Решение верно, получен верный ответ, но переходы по ходу исследования недостаточно обоснованы | 3 |
Верно решено уравнение относительно новой переменной, но допущена ошибка в ходе его решения | 2 |
ИЛИ | |
неверно составлено неравенство для выполнения условия задачи | |
Введена и исследована новая переменная | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно целое решение.
Уравнение равносильно
Заметим, что не является решением уравнения, следовательно, уравнение можно переписать в виде
Выражение представляет собой сумму двух положительных взаимно обратных чисел, следовательно,
при всех
. Рассмотрим функцию
в системе координат
:
Ее производная
Следовательно, — убывающая функция при всех
.
имеем
;
имеем
;
имеем
;
имеем
имеем
;
имеем
Изобразим график функции в системе координат
и отметим область
, где
. Видим, что прямая
пересекает график в двух точках
и
. Тогда всем
удовлетворяют
Так как
, то
не
является целыми решением. Следовательно, целой должна быть точка
Так как , а точка на графике
и ординатой
— это точка
(ищется из уравнения
,
), то
. Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
имеет хотя бы одно решение .
Заметим, что , следовательно,
, следовательно, если
,
, то уравнение
равносильно
Полученное неравенство должно иметь хотя бы одно решение , где
Относительно переменной
неравенство квадратное.
Заметим, что если уравнение
имеет решения, то они одного знака, так как произведение корней положительно и равно
.
Следовательно, по свойству квадратичной функции неравенство имеет решения, если
Заметим, что , то неравенство
нам не подходит, следовательно, система равносильна
из следует, что
, следовательно, первое неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда
,
следовательно,
, откуда
. Тогда решением неравенства будут
. Следовательно,
соответствует
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение параметра , при котором неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Если сделать замену , то неравенство (определенное при
) равносильно
Скобка представляет собой сумму взаимно обратных положительных чисел, следовательно, . Тогда вся левая часть
.
Правая часть принимает значения из отрезка
. Следовательно, неравенств имеет решения как минимум в том случае,
если
Покажем, что при неравенство имеет решения. При этом
обе части неравенства равны
, следовательно, неравенство
равносильно равенству
Следовательно, подходит.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Сделаем замену , тогда
как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Тогда
и
неравенство примет вид
Заметим, что при всех
.
Рассмотрим две функции и
.
Рассмотрим случаи:
- 1.
. Следовательно,
должна располагаться ниже прямой
, чтобы неравенство имело решения. Значит, ее ордината должна быть меньше числа
:
- 2.
. Следовательно,
должна располагаться ниже прямой
, чтобы неравенство имело решения, то есть
, значит,
Следовательно, и