Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны три различные точки, являющиеся серединами сторон какого-то треугольника.
.
Найдите уравнения направляющих векторов прямых, на которых лежат стороны этого треугольника.
Из условия понятно, что - средние линии этого треугольника. Тогда в силу того, что средние линии
параллельны соответствующим сторонам треугольника, вектора
будут попарно коллинеарны
соответствующим направляющим векторам прямых, на которых лежат стороны треугольника.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и
. Являются ли они скрещивающимися?
Если прямые не являются параллельными и не пересекаются, то они скрещиваются. Нужно проверить оба варианта расположения прямых.
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти
коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора не коллинеарны, следовательно, прямые, образованные
этими направляющими векторами, не будут параллельными.
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
|
Отсюда следует, что прямые не пересекаются.
Получаем, прямые не являются параллельными и не пересекаются они скрещиваются.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и
. Являются ли они пересекающимися?
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения прямых и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и
. Являются ли они параллельными?
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти
коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные
этими направляющими векторами, будут параллельными.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и
. Являются ли они параллельными?
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти
коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные
этими направляющими векторами, будут параллельными.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и
. Являются ли они пересекающимися?
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения прямых и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и
:
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и
, где
:
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и
, где
:
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и
, где
:
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и
, где
:
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости
Требуется
узнать положение прямой
относительно плоскости
. Если прямая пересекает плоскость, найти точку
пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости
Требуется
узнать положение прямой
относительно плоскости
. Если прямая пересекает плоскость, найти точку
пересечения.
Стоит заметить, что направляющий вектор прямой коллинеарен одному из направляющих векторов плоскости.
|
Тогда прямая либо параллельна, либо лежит в плоскости. Чтобы убедиться, что прямая параллельна плоскости,
нужно взять любую точку на прямой и доказать, что она не лежит в плоскости. Возьмем точку на прямой
, полученную из уравнения прямой при
. Приравняем координаты точки к координатам
плоскости:
|
Приведем следующее рассуждение: из равенства по координате следуюет, что при любых параметрах
,
равенство недостижимо, следовательно, точка не принадлежит плоскости.
Из всего вышеизложенного можем однозначно сделать вывод, что прямая параллельна плоскости.
Кроме того, эту задачу можно было решить вторым способом - просто в системе приравнять координаты и доказать, что у полученной системы нет решений.
|
Прямая параллельна плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости
Требуется
узнать положение прямой
относительно плоскости
. Если прямая пересекает плоскость, найти точку
пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости
Требуется
узнать положение прямой
относительно плоскости
. Если прямая пересекает плоскость, найти точку
пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости
Требуется
узнать положение прямой
относительно плоскости
. Если прямая пересекает плоскость, найти точку
пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что
координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки
принадлежат плоскости , а точки
принадлежат плоскости . Найдите взаимное расположение этих плоскостей (пересекаются/параллельны), если
существует пересечение, то напишите чему оно равно.
Найдём параметрическое уравнение плоскости
Где - начальная точка,
- направляющие вектора этой плоскости. Посчитаем координаты векторов
Тогда уравнение плоскости примет следующий вид
|
Аналогично находим уравнение плоскости
Тогда уравнение плоскости примет следующий вид
|
Когда уравнения плоскостей найдены, наша задача сводится к базисной задаче №3 из методички. Решив эту задачу,
найдем прямую пересечения плоскостей - .
|
Уравнение плоскости :
|
Уравнение плоскости :
|
Пересечение плоскостей - это прямая GJ. Уравнение этой прямой:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны 5 точек: . Составьте уравнение плоскости, проходящей
через точки
,
,
и уравнение прямой, проходящей через
и
. Найдите пересечение прямой с плоскостью.
Уравнение плоскости:
За начальную точку принята точка , за первый направляющий вектор взят вектор
, за второй - вектор
.
Уравнение прямой:
За начальную точку принята точка , за направляющий вектор взят вектор
делённый на
. Решаем базисную
задачу №2 из методички и получаем ответ.
Пересечением является точка
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известны координаты четырех точек:
.
Одна прямая проходит через точки и
, вторая через точки
и
. Составьте уравнения этих прямых и
определите их взаимное расположение (пересекаются/параллельны/скрещиваются).
Параметрические уравнения прямых:
Решим базисную задачу №1 из методички и получим, что и
пересекаются в точке
.