17.08 Дополнительные построения в трапеции и параллелограмме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции
,
,
. Докажите, что
.
Продлим боковые стороны и
трапеции до пересечения в точке
. Тогда
Следовательно,
— равнобедренный и
.
Так как соответственные углы (при
и секущей
), то
. Следовательно,
—
равнобедренный и
.
Тогда Ч.т.д.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы при одном из оснований трапеции равны и
, а длины оснований равны 2 и 3. Найдите боковую сторону, прилегающую к углу
.
Пусть — трапеция с основаниями
и
. Проведём через точку
прямую
, параллельную прямой
. Получим
параллелограмм
, а значит
Заметим, что в треугольнике угол
равен
Отсюда — равнобедренный и
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого основания. Докажите, что другая боковая сторона трапеции перпендикулярна одной из диагоналей.
Пусть — трапеция с основаниями
и
. Тогда по условию
. Если точка
— середина
, то
и
— параллелограмм, так как отрезок
равен и параллелен отрезку
. По свойству параллелограмма получаем
.
Тогда с учетом условия получаем
. Таким образом,
— прямоугольный, так как его медиана
равна половине стороны, к которой она проведена. Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трапеция с основаниями
и
такова, что угол
— прямой и
. Найдите отношение
оснований
Отметим на такую точку
что
тогда
— параллелограмм и
По условию
По
свойству параллелограмма
а значит
откуда с учетом равнобедренности
отрезок
—
серединный перпендикуляр к
Из этого следует, что
— равнобедренный, тогда
Далее
имеем:
Тогда — равнобедренный и
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вершина и середины сторон
и
параллелограмма
являются вершинами равностороннего треугольника. Найдите углы
параллелограмма.
Пусть и
— середины
и
соответственно. Пересечём прямые
и
в точке
. Так как
,
,
, то
, откуда
. Тогда
— равнобедренный, причём
, из чего следует, что
. Аналогично находим
, значит, тупой угол параллелограмма
равен
, а острый —
.
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
известно, что
и
Найдите основание
Из условия следует, что равнобедренный, следовательно,
Также
как
накрест лежащие при
и секущей
Проведем
Тогда
Следовательно, в
отрезок
— высота и биссектриса,
значит, этот треугольник равнобедренный и
Также по определению четырехугольник — параллелограмм, следовательно,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вершину тупого угла параллелограмма
соединили с серединой
его стороны
. Высота
параллелограмма
пересекает отрезок
в точке
. Найдите
, если
.
Продлим до пересечения с лучом
в точке
. Тогда
(
,
как накрест лежащие при
и секущей
,
как вертикальные). Отсюда
,
. Заметим, что тогда
. Так как
, то в
отрезок
— медиана и высота, следовательно, этот треугольник
равнобедренный. Тогда
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Середины боковых сторон трапеции соединили с ее вершинами так, как показано на рисунке. Могут ли полученные два отрезка лежать на параллельных прямых?
Предположим, что . Тогда
как соответственные при этих параллельных прямых и секущей
. Также
как соотвественные при этих параллельных прямых и секущей
, а
как накрест лежащие при
и секущей
.
Тогда получаем, что , откуда
. С другой стороны,
— средняя линия в
, откуда
.
Следовательно, , то есть параллельные стороны четырехугольника
равны. Значит,
— параллелограмм,
а не трапеция. Получили противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.
Достроим трапецию до параллелограмма: провередем через прямую, параллельную
,
— точка ее пересечения с
прямой
.
— параллелограмм, следовательно,
,
.
Найдем косинус угла по теореме косинусов для треугольника
:
Учитывая, что синус угла, меньшего 180, всегда неотрицателен, получаем
Тогда площадь трапеции можно записать следующим образом
450
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь трапеции с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12.
Сделаем дополнительное постороение. Проведем через прямую, параллельную
,
— точка ее пересечения с
прямой
. Получаем
и
, следовательно,
— параллелограмм. Тогда
,
.
Рассмотрим теперь треугольник , длины его сторон образует пифагорову тройку
,
следовательно, он прямоугольный с прямым углом
. Пусть
высота из
на
. Тогда можем записать
площадь прямоугольного треугольника
двумя способами
SBED = |
Тогда площадь трапеции
SABCD = |
54
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол с одним из
оснований. Найдите это основание, если на нем лежит точка пересечения биссектрис углов при другом
основании.
Пусть — точка пересечения биссектрис на основании
трапеции. Точка
лежит на двух биссектрисах,
следовательно, она равноудалена от прямых
,
и
. Опустим из
перпендикуляры
на
и
на
. Тогда
, причем
(т.к.
— биссектриса прямого угла, следовательно
—
прямоугольный равнобедренный.
Получили . Из прямоугольного треугольника
с углом
, равным
,
получаем
Тогда искомое основание
9
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции известны длины диагоналей — и
, а также длина средней линии —
. Найдите высоту
трапеции.
Пусть — высота трапеции
с диагоналями
и
.
Проведем через вершину прямую, параллельную
. Пусть она пересекает прямую
в точке
. Заметим,
что
— параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны (
,
). Тогда
и
. Теперь рассмотрим треугольник
. Его сторона
равна сумме отрезков
и
, то есть
, где
— длина средней линии трапеции, которая равна
полусумме оснований. По условию
.
Заметим, что в треугольнике
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным.
Проведем в треугольнике высоту
. Заметим, что
также будет являтся высотой трапеции
,
то есть
. Но так как
— высота прямоугольного треугольника
, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина стороны
параллелограмма
. Точка
на стороне
такова, что
. Найдите
, если
и
.
Продлим луч до пересечения с прямой
в точке
.
Рассмотрим треугольники и
. В них
как вертикальные,
как накрест лежашие,
образованные параллельными прямыми
и
и секущей
,
по условию. Значит,
по второму
признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит,
и
.
Рассмотрим треугольник . В нем отрезок
является высотой и медианой, значит, треугольник
— равнобедренный.
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под углом
и
Найдите основание
В трапеции имеем
так как
сторона
— общая. Тогда
имеем:
Для прямых и секущей
получаем
Так как по условию равнобедренный, то
Следовательно, в равнобедренной трапеции угол при основании равен
Заметим, что рисунок именно такой, поскольку если то в
сумма углов превысит
Проведем тогда четырехугольник
— параллелограмм и
Углы
как
соответственные при
и секущей
Тогда в две стороны
и
равны и один из углов равен
Следовательно, этот треугольник правильный,
то есть
Тогда искомое оcнование трапеции равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка на одном из оснований трапеции находится на одинаковом расстоянии от концов диагонали. Найдите это расстояние, если
диагонали трапеции перпендикулярны, а её основания равны и
Пусть диагонали трапеции
пересекаются в точке
Проведем тогда
Значит,
Следовательно, Отсюда имеем:
Так как — параллелограмм, то
Тогда
Замечание. В качестве самостоятельного упражнения предлагаем читателю
подумать, почему точка не может принадлежать меньшему основанию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длина одной из боковых сторон трапеции равна Параллельно этой стороне через середину другой боковой стороны провели
прямую. Какой длины отрезок этой прямой заключен внутри трапеции?
Пусть в трапеции боковая сторона
точка
— середина стороны
и
Проведем Кроме того,
так как
— трапеция. Тогда
— параллелограмм по
определению. Отсюда по свойству параллелограмма имеем:
Далее, прямая и проходит через середину
отрезка
Тогда по теореме Фалеса точка
— середина отрезка
и
— средняя линия в треугольнике
Следовательно, искомый отрезок
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса угла между основанием и одной из диагоналей трапеции делит вторую ее диагональ пополам. Найдите первую
диагональ трапеции, если ее основания равны и
.
Пусть в трапеции
— биссектриса
пересекающая
в ее середине — точке
а
продолжение стороны
— в точке
Тогда
как накрест лежащие при
и секущей
Следовательно,
— равнобедренный и
Далее имеем так как
Следовательно,
и
Заметим, что если и
то
Следовательно, ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
угол
равен
а отношение высоты трапеции к ее боковой стороне
равно
Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего
середины ее диагоналей, равна 10.
Опустим из точки высоту
на основание
. Рассмотрим случаи, где может лежать точка
.
Случай 1. Точка лежит на продолжении прямой
за точку
.
Заметим, что так как , то основание перпендикуляра, опущенного из точки
на прямую
, лежит на луче
.
Тогда точка
не может лежать на продолжении прямой
за точку
.
Случай 2. Точка лежит на отрезке
.
Тогда треугольник прямоугольный, так как
. По условию
, так как
— высота трапеции.
Тогда в прямоугольном треугольнике
катет
равен половине гипотенузы
, то есть катет
лежит напротив угла
.
Продим боковые стороны трапеции и
до пересечения. Пусть они пересекаются в точке
. Тогда в треугольнике
имеем
равенства
Значит, по сумме углов треугольника
Пусть — середина
,
— середина
. Тогда точки
,
и
лежат на одной прямой, то есть
.
Заметим, что
— медиана прямоугольного треугольника
из вершины прямого угла, значит,
. Аналогично
—
медиана прямоугольного треугольника
, значит,
. Следовательно,
Впомним, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то есть в трапеции
длина этого отрезка равна
по условию. Значит,
Случай 3. Точка лежит на продолжении прямой
за точку
.
Таким образом, треугольник является прямоугольным, так как
. По условию
, так как
—
высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике
катет
равен половине гипотенузы
, то есть катет
лежит
напротив угла
. Тогда угол
трапеции
равен
Продим боковые стороны трапеции и
до пересечения. Пусть они пересекаются в точке
. Тогда в треугольнике
имеем
равенства
Значит, по сумме углов треугольника
Таким образом, треугольник — равнобедренный, то есть
.
Пусть — середина
,
— середина
. Тогда точки
,
и
лежат на одной прямой, то есть
.
Заметим, что
— медиана треугольника
, значит,
.
Рассмотрим треугольник и запишем для него теорему косинусов:
Аналогично — медиана треугольника
, значит,
. Следовательно,
или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция . На боковой стороне
взята такая точка
, что
. На боковой
стороне
взята такая точка
, что
.
а) Докажите, что .
б) Докажите, что .
а) Продлим прямую до пересечения с
в точке
. Рассмотрим треугольники
и
. Они подобны
по двум углам, так как
как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми
и
и секущей
,
как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми
и
и секущей
.
Тогда
Рассмотрим угол . Прямые
и
высекают на нем отрезки
,
,
и
такие,
что
Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые и
параллельны.
б) Продлим прямую до пересечения с
в точке
. Рассмотрим треугольники
и
. Они
подобны по двум углам, так как
как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми
и
и секущей
,
как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми
и
и секущей
.
Тогда
Рассмотрим угол . Прямые
и
высекают на нем отрезки
,
,
и
такие,
что
Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые и
параллельны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 1, а большая боковая сторона образует угол с одним из оснований. Найдите
это основание, если на нём лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании.
Пусть — трапеция с основаниями
и
и
, а биссектрисы углов
и
пересекаются в точке
. Так как
биссектриса
отсекает от трапеции равнобедренный треугольник
с прямым углом
, то
и
.
Далее посчитаем углы:
Проведём высоту из вершины , она равна
, а значит
Так как биссектриса отсекает от трапеции равнобедренный треугольник
, то имеем: