Тема МКТ. Термодинамика

04 Антикайфовый процесс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мкт. термодинамика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31695

Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изохоры 1–2, участка 2–3 линейной зависимости давления от объёма и изобары 3–1 (см. рисунок; координаты точек 1, 2 и 3 указаны). Рабочим веществом служит одноатомный идеальный газ. Вычислите КПД этого двигателя.

Показать ответ и решение

Работа газа за цикл равна площади треугольника

A = 2p0V0

Найдем количество теплоты, полученное газом, в каждом процессе

3- Q1 −2 = ΔU1 − 2 = 2(3p0V0 − p0V0) = 3p0V0

Найдем критическую точку, до которой еще подводится тепло, для этого введем уравнение прямой

p(V-) −-3p0 = V--−-V-−-0-⇒ p(V ) = − p0V + 4p p0 − 3p0 3V0 − V0 V0 0

Тогда $pV = − p0-V 2 + 4p V V0 0$ или в приращениях $Δ (pV ) = − 2p0V ΔV + 4p ΔV V0 0$ Тогда количество теплоты

3 3p p ΔQ = -Δ (pV ) + p(V)ΔV = − --0V ΔV + 6p0ΔV − --0V ΔV + 4p0ΔV 2 V0 V0

Чтобы $ΔQ$ было положительным, должно быть выполнено условие $10 Vk < --V0 < 2,5V0 4$ . Тогда давление равно $pk = 1,5p0$ Тогда количество теплоты полученно на участке 2–k

3 3p + 1,5p 9 Q2− k = ΔU2 −k + A2− k = -(3,75p0V0 − 3p0V0 ) + --0-------0(2,5V0 − V0) = -p0V0 2 2 2

Q = ΔU + A = 3(p V − 3p V ) − 2p V < 0 3− 1 3−1 3−1 2 0 0 0 0 0 0

Откуда КПД

η = -----A-------= 4-- Q1 −2 + Q2−k 15

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31696

Рабочим телом теплового двигателя является $ν = 1 м оль$ гелия. Цикл работы тепловой машины состоит из линейного в $pV$ -координатах участка 1–2 и изотермы 2–1. Максимальный объём гелия в цикле в $7$ раз больше минимального. Минимальная температура гелия в цикле составляет $T = 280 К 0$ . Какое количество теплоты было получено гелием в данном цикле от нагревателя? Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 Дж/ (м оль ⋅ К )$ .
(МОШ, 2012, 11 )

Источники: МОШ, 2012, 11

Показать ответ и решение

Температура в точках 1 и 2 одинаковая, но в самом процессе 1-2 она будет сначала увеличиваться до какого-то значения $Tm$ , а потом опять уменьшаться. 1) Сначала найдём зависимость $P(V )$ и $T (V)$ на этом участке: Из уравнения прямой:

p − 7p0 V − V0 -------- = --------- p0 − 7p0 7V0 − V0

( ) ⇒ p (V ) = p 8 − -V- 0 V0

2) Зависимость $T (V)$ :

pV p0 ( V 2) T = --- = --- 8V − --- R ν νR V0

Возьмём производную по объёму и определим, что максимальная температура будет при объёме $4V0$ следовательно и давлении $4p0$ .
3)Для бесконечно малого процесса:

dQ = ΔU + pΔV

3 3 3 U = -νRT = -pV ⇒ ΔU = --Δ (pV ) 2 2 2

⇒ dQ = 3Δ (pV ) + p ΔV 2

Δ (pV ) = (p + Δp )(V + ΔV ) − pV = pV + VΔp + pΔV + Δp ΔV − pV

Δp ΔV → 0

⇒ Δ(pV ) = pΔV + VΔp

⇒ dQ = 3(pΔV + V Δp ) + pΔV 2

5- 3- dQ = 2 pΔV + 2V Δp

5) Найдём $Δp$ :

( ( ) || V--+-ΔV-- { p + Δp = V + ΔV = p0 8 − V0 | ( V ) |( p(V ) = p0 8 − --- V0

( ) ( ) ⇒ p 8 − -V- + Δp = V + ΔV = p 8 − V-+-ΔV--- 0 V0 0 V0

ΔV ⇒ Δp = − p0---- ⇒ Δp = p′(V )ΔV V0

( ) ( ) ⇒ dQ = 5-p 8 − V-- ΔV + 3-V − -p0 ΔV 2 0 V0 2 V0

( 5V 3V ) dQ = p0ΔV 20 − ----− ---- 2V0 2V0

( ) 2V- dQ = 2p0 10 − V ΔV 0

6) Найдём все $V$ при которых гелий получал тепло от нагревателя:

10 − 2V- > 0 ⇒ V < 5V0 V0

7) Найдём $Q+$ :

∫5V0( ) Q = 2p 10 − 2V- dV = 32p V + 0 V0 0 0 V0

8) Выразим через температуру:

νRT 32 p0V0 = ----0-⇒ Q+ = ---νRT0 ≈ 10,6 кД ж 7 7

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдены необходимые зависимости и получены следствия из уравнения прямых	2

Уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Первый закон термоиднамики	2

Формула изменения внутренней энергии	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31697

С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс. Расширение газа (см. рис.) можно описать графиком в виде дуги окружности 1 – 2 с центром в начале координат на $pV$ - диаграмме ( $p 0$ и $V 0$ – некоторые фиксированные давление и объём). Неравновесное сжатие газа 2 – 1 характеризуется пренебрежимо малым теплообменом с окружающей средой. Радиусы, проведённые в точки 1 и 2, составляют углы $∘ 30$ и $∘ 15$ с осями $p ∕p0$ и $V ∕V0$ соответственно.
1. Найти отношение температур в состояниях 1 и 2.
2. Найти угол с горизонтальной осью, который составляет радиус, проведённый в точку с теплоёмкостью равной нулю в процессе расширения 1 – 2, если такая существует. Дать значение любой тригонометрической функции угла.
3. Найти отношение работы газа за цикл к работе газа при расширении.
(«Физтех», 2021, 11 )

Источники: Физтех, 2021, 11

Показать ответ и решение

1) Для точки 1 $p1V1 = νRT1$ , а для точки 2 $p2V2 = νRT2$ . Для любой точки на окружности $p = p0R sin φ$ $V = V0R cos φ$ (см. рис.)

Тогда

√ -- T1-= p1V1-= p-)R-sinα-⋅-V0R-cosα- = cos-αsin-α = 3 T2 p2V2 p0R sin β ⋅ V0R cosβ sinβ cos β

2) Запишем первое начало термодинамики

3 5 3 δQ = dU + δA δQ = 2-(pdV + V dp) + pdV = 2-pdV + 2V dp

найдем, чему равно $dp$ и $dV$

dp = p0R cos φdφ dV = − V0R sin φd φ

Подставляем

5 3 δQ = − -p0R sin φ ⋅ V0R sin φd φ +--V0R cosφ ⋅ p0R cos φdφ 2 2

δQ = − 5p V R2 sin2φd φ + 3-p V R2 cos2φd φ 2 0 0 2 0 0

Заменим $cos2φ$ на $1 − sin2 φ$ .

8- 2 2 3- 2 δQ (φ) = − 2 p0V0R sin φd φ + 2p0V0R dφ

В процессе 1-2 угол $φ$ уменьшается, $dφ < 0$ . Найдем, когда $δQ = 0$

∘ -- 2 2 3- 2 3- − 4p0V0R sin φdφ + 2p0V0R dφ = 0 ⇔ sinφ = 8

3) Чтобы найти искомое отношение, нужно найти работу при расширении. Для этого найдем площадь сектора обозначенный синим ( $ABC$ ), прибавим площадь зеленого треугольника ( $ACD$ ) и вычтем площадь синего треугольника $A ℰB$ (см. рис.)