буфер (второй теорвер, №5) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.00 буфер (второй теорвер, №5)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38826

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,83. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что масса буханки окажется больше 810 г, равна $1 − 0,98= 0,02.$ Нам нужно найти вероятность того, что масса буханки окажется в диапазоне от 790 г до 810 г. Она равна разности вероятностей того, что масса буханки больше 790 г, и того, что масса буханки больше 810 г:

0,83 − 0,02= 0,81

Ответ: 0,81

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47416

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Биолог» выиграет жребий ровно два раза.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что команда начнет игру, как и вероятность того, что команда не начнет игру, равна $12.$ Следовательно, вероятность того, что команда «Биолог» начнет первую и вторую игры, а третью — нет, равна $12 ⋅ 12 ⋅ 12.$ Заметим, что такая же вероятность у событий «начнет вторую и третью игры, а первую — нет» и «начнет первую и третью игры, а вторую — нет». Следовательно, ответ в задаче:

( ) 3 ⋅ 1 3 = 0,375 2

Ответ: 0,375

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57983

В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Показать ответ и решение

При разбиении учащихся на две равные группы в каждой из групп будет по 13 учеников. Пусть Оля оказалась в первой группе. Тогда Аня и Юля тоже должны быть в этой же группе.

Кроме занятого Олей места, в первой группе есть еще 12 мест. На них претендуют 25 учеников, значит, Аня попадет в первую группу с вероятностью $12 25.$

Теперь в первой группе есть еще 11 мест, не считая мест, занятых Олей и Аней. На них претендуют 24 ученика, значит, Юля попадет в первую группу с вероятностью $11. 24$

Вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе, равна произведению найденных вероятностей, то есть

12 11 12⋅11 p = 25-⋅24 = 25⋅24 = 0,22

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58464

Игральную кость бросили два раза. Известно, что 1 очко не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 7».

Показать ответ и решение

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы один раз выпало 1 очко. Так как в каждом из бросков могло выпасть одно из 5 чисел: 2, 3, 4, 5 или 6, то таких случаев $5⋅5 =25.$

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 7, причем ни в одном из бросков не выпало 1 очко. Таких случаев 4:

(2,5), (5,2), (3,4), (4,3)

Тогда искомая вероятность равна

-4 = 0,16 25

Ответ: 0,16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#58767

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Показать ответ и решение

Пусть событие $A :$ кофе закончился в первом автомате, событие $B :$ кофе закончился во втором автомате, событие $AB :$ кофе закончился в двух автоматах.

По условию мы знаем вероятности этих событий $P(A)= P (B )= 0,2, P (AB )= 0,16.$

Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:

P(A +B )= P(A)+ P (B )− P (AB)= 2P (A )− P (AB )= 2⋅0,2− 0,16= 0,24

Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:

1− P(A +B )= 1− 0,24 =0,76

Ответ: 0,76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#58769

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Показать ответ и решение

По условию мы знаем вероятности этих событий $P(A)= P (B )= 0,1, P (AB )= 0,03.$

Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:

P(A +B )= P(A)+ P (B )− P (AB)= 2P (A )− P (AB )= 2⋅0,1− 0,03= 0,17

Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:

1− P(A+ B )= 1− 0,17= 0,83.

Ответ: 0,83

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#58795

Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 7».

Показать ответ и решение

Так как по условию кость бросали дважды и ни в одном из бросков не выпало 5 очков, то исходов в каждом броске было 5. Тогда всего возможных исходов ровно $5 ⋅5 = 25.$

Если сумма очков в двух бросках равна 7, а результат каждого броска — число из множества ${1;2;3;4;6},$ то результатов с суммой 7 всего четыре: $(1;6), (6;1), (3;4), (4;3).$

Тогда вероятность того, что выпадет один из них, равна

4-= -16 = 0,16 25 100

Ответ: 0,16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72965

Задано распределение случайной величины $X$ :


значения	$− 3$	$− 2$	$− 1$	0	3

вероятности	0,1	0,2	0,2	0,3	0,2

Найдите её математическое ожидание.

Показать ответ и решение

По определению математического ожидания

∑n M (X ) = ai ⋅pi = (− 3)⋅0,1 + (− 2)⋅0,2 + (− 1)⋅0,2+ 0⋅0,3+ 3⋅0,2 = i=1

= − 0,3 − 0,4 − 0,2+ 0 +0,6 = − 0,3.

Ответ: -0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72966

Задано распределение случайной величины $X$ :


значения	$− 4$	0	2	4

вероятности	0,125	0,25	0,5	0,125

Найдите её математическое ожидание.

Показать ответ и решение

По определению математического ожидания

n∑ M (X) = ai ⋅pi = (− 4)⋅0,125 + 0⋅0,25 + 2⋅0,5+ 4⋅0,125 = i=1

= − 0,5+ 0 + 1+ 0,5 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#74197

Сборная России выступает на чемпионате мира по бадминтону. Она играет со сборными Италии, Канады и Германии. Команды тянут жребий, чтобы узнать порядок игр. Если учитывать, что жребий честный, какова вероятность, что с Канадой наша сборная будет играть раньше, чем с Италией, но позже, чем с Германией? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Всего будет три игры. Она может сыграть первую игру с одной из трех команд, вторую — с одной из двух оставшихся, третью — с оставшейся. Таким образом у нас $3 ⋅2⋅1= 6$ вариантов жребия. Нам подходит вариант ГКИ (по первым буквам стран), а это один из шести вариантов, то есть вероятность равна $1 ≈ 0,17. 6$

Ответ: 0,17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74232

На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Показать ответ и решение

Нам подходит любое из трех событий:

$A =$ (взяли 2 синих блюдца с первой полки и 2 синих чашки со второй полки) или

$B =$ (взяли 2 красных блюдца с первой полки и 2 красных чашки со второй полки) или

$C = C1$ и $C2.$

Здесь $C = 1$ (взяли 1 красное блюдце и 1 синее блюдце с первой полки или взяли 1 синее блюдце и 1 красное блюдце с первой полки),

$C2 =$ (взяли 1 красную чашку и 1 синюю чашку со второй полки или взяли 1 синюю чашку и 1 красную чашку со второй полки).

Следовательно, вероятность события $X = {A или B или C }$ равна

P(X)= P (A )+ P(B)+ P(C)= P (A )+ P(B)+ P(C1)⋅P(C2)

Взять два синих блюдца с первой полки можно с вероятностью $14-⋅ 13, 36 35$ взять две синих чашки со второй полки можно с вероятностью $27 26 36 ⋅35.$ Следовательно,

P (A )= 14⋅ 13-⋅ 27⋅ 26. 36 35 36 35

Тогда, записав аналогично вероятности $P(B),$ $P (C1)$ и $P (C2),$ найдем

( ) ( ) P(X) = 14⋅ 13 ⋅ 27⋅ 26+ 22 ⋅ 21⋅-9 ⋅ 8-+ 22 ⋅ 14+ 14⋅ 22 ⋅-9 ⋅ 27+ 27 ⋅ 9 = ◟36-35◝◜36-35◞ 3◟6--35◝◜36--35◞ ◟36--35◝◜36--35-◞ ◟36--35◝◜36--35◞ P(A) P(B ) P(C1) P(C2) ( ) = 272⋅4⋅72 ⋅ 132+ 22⋅2+ 4⋅11⋅9 = 0,29 36 ⋅35

Ответ: 0,29

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#76262

Питер Маккалистер, отец семейства Маккалистеров, получает в банке кредитную карту, чтобы на широкую ногу отпраздновать Новый год. Четыре последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти последние четыре цифры идут подряд в порядке убывания, например 4321 или 6543?

Показать ответ и решение

Общее число комбинаций из 4 цифр равно 10000 (от 0000 до 9999).

Пусть первая из 4 цифр равна $k$ . Тогда существует единственный вариант, когда цифры идут подряд, причем первая из них равна $k :$ $k,$ $k− 1,$ $k − 2,$ $k − 3.$ В качестве $k$ могут быть использованы цифры от 3 до 9, так как при $k < 3$ число $k − 3$ не является цифрой. Значит имеем 7 (количество цифр от 3 до 9) «благоприятных» исходов:

3210, 4321, 5432, 6543, 7654, 8765, 9876

Из 10000 вариантов нам подходит только 7, значит, искомая вероятность равна

--7-- p = 10000 = 0,0007

Ответ: 0,0007

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83435

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 10».

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Посчитаем все случаи, кроме тех, в которых хотя бы единожды выпало 6 очков. Таких случаев $52 = 25,$ поскольку в каждом из двух бросков могло выпасть одно из пяти чисел

1, 2, 3, 4, 5

Посчитаем теперь случаи, когда сумма очков равна 10, причем ни в одном из бросков не выпало 6 очков. Такой случай ровно один:

(5;5)

Тогда искомая вероятноcть равна

-1 p= 25 = 0,04

Ответ: 0,04

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83748

Игральный кубик бросают трижды. Известно, что в сумме выпало 6 очков, а в первом броске выпало число очков, не равное 1. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 2 очка. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Составим все возможные комбинации и сразу выделим подходящие:

2+1+3, $2+2+2,$ 2+3+1 — 3 варианта;

3+1+2, $3+2+1$ — 2 варианта;

4+1+1 — 1 вариант.

Таким образом, искомая вероятность равна

---2--- = 1 3+ 2+ 1 3

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,33.

Ответ: 0,33

Предыдущий раздел

Следующий раздел