1.12 Трапеция и ее свойства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Источники:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Один из углов прямоугольной трапеции равен Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Источники:
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна Тогда если
один из таких углов равен
то другой равен
Оставшиеся два угла равны так как трапеция прямоугольная. Тогда
меньший угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Источники:
Пусть
Так как — средняя линия трапеции, то
и
— средние линии
треугольников
и
соответственно. Тогда имеем:
Больший из этих отрезков равен 5,5.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
проведена высота
Найдите отношение площади трапеции к длине
этой высоты.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований трапеции
равна
Площадь трапеции равна
тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
проведены высоты
и
пересекает среднюю линию
в
точке
Известно, что
Найдите площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Так как то в
все углы прямые,
следовательно,
— прямоугольник и
Средняя линия в трапеции параллельна её основаниям, тогда При этом,
— середина
значит,
—
средняя линия в треугольнике
Средняя линия треугольника равна половине его основания, тогда
Найдём
Треугольник прямоугольный.
откуда по теореме Пифагора:
Площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
угол
— прямой. Известно, что
Найдите
среднюю линию трапеции
Из точки опустим высоту
В прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катет,
лежащий против угла в
равен половине гипотенузы, тогда
При этом — прямоугольник,
тогда
В трапеции средняя линия равна полусумме оснований.
Значит, длина средней линии равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции средняя линия составляет
одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине
средней линии.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции составляет
одного из
оснований, тогда сумма оснований трапеции
составляет
этого основания, обозначим его за
Тогда
Средняя линия равна тогда отношение длины основания
к длине средней линии равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
отрезки
и
параллельны основаниям, причем
и
Найдите основание
если
а
Т.к. и
параллельны основаниям, то четырехугольник
также будет трапецией, причем среднии линии
и
совпадают. Средняя линия равна
Тогда можно выразить верхнее основание через среднюю линию и нижнее основание следующим образом:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали трапеции пересекаются в точке
— большее основание трапеции. Площадь треугольника
равна
12,
Найдите площадь трапеции.
По формуле площади треугольника:
Т.к. треугольники
и
подобны и коэффициент подобия:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями
и
проведены биссектрисы углов
и
пересекающие основания соответственно в
точках
и
Найдите периметр четырехугольника
если
(Задача от подписчиков)
как накрест лежащие при
и
секущей. Следовательно,
следовательно,
равнобедренный. Отсюда
Аналогично, следовательно,
— равнобедренный. Отсюда
Заметим, что и
следовательно, по признаку
— параллелограмм. Следовательно,
Тогда периметр
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований угол Найдите площадь
трапеции.
Пусть тогда
По свойству трапеции имеем:
Проведем
Рассмотрим Катет, лежащий напротив угла
равен половине
гипотенузы, следовательно,
Тогда площадь трапеции равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, а большая боковая сторона составляет с основанием
угол
Проведем высоту Так как
то
Следовательно,
равнобедренный и
Так как — прямоугольник, то
Тогда получаем
Тогда площадь трапеции равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания и
трапеции
равны соответственно
и
одна из боковых сторон равна
площадь трапеции
равна
Найдите острый угол трапеции
который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ
дайте в градусах.
Пусть
— перпендикуляр к
точка
лежит на
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда
Треугольник
— прямоугольный, причём
тогда угол, лежащий против катета
равен
— единственный острый угол трапеции
который образует
с одним из оснований.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции диагонали пересекаются в точке
Площадь
относится к площади
как
В каком
отношении состоит меньшее основание
трапеции
к большему основанию
Высота, опущенная из вершины на сторону
в
и на сторону
в
будет одной и той же.
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции
Найдите модуль разности острых углов трапеции.
— равнобедренный, следовательно,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции боковые стороны равны и
угол при меньшей боковой стороне равен
Найдите отношение меньшего
основания к большему, если площадь трапеции равна
Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.
Рассмотрим трапецию где
и проведем в ней высоты
и
При этом
трапеция может выглядеть двумя разными способами.
1 способ.
Заметим, что — прямоугольный и равнобедренный, тогда
Значит, из прямоугольного можно найти
Пусть тогда
Т.к. площадь трапеции равна , то имеем следующее уравнение:
Тогда
2 способ.
В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим
Из уравнения находим
Значит,
Т.к. то в ответ пойдет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Одно из оснований трапеции в 5 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз это основание меньше другого основания трапеции?
Обозначим меньшее основание трапеции за большее — за
Тогда
— длина средней линии трапеции.
Так как средняя линия равна полусумме оснований, то
Следовательно, меньшее основание трапеции в 9 раз меньше ее большего основания.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Проведем высоту Тогда
— прямоугольник, следовательно,
Площадь трапеции равна
Отсюда получаем
Заметим, что мы получили, что
Тогда равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть
Так как сумма острых углов в
прямоугольном треугольнике равна
то искомый угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Пусть точки и
— середины боковых сторон трапеции
Пусть основания
и
Отрезок
пересекает диагонали в их серединах — точках
и
Действительно, так как — средняя линия, то
Следовательно, если рассмотреть
то
Так как к тому же точка — середина
то по теореме Фалеса точка
— середина
Аналогично доказывается, что
точка
— середина
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то
Так как и
— параллельные
средние линии в треугольниках
и
соответственно,
то
Следовательно, искомый отрезок равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.
Пусть — трапеция с основаниями
и
при этом боковая сторона
Проведем
Тогда для
площади трапеции имеем:
Отсюда получаем
Рассмотрим прямоугольный Так как катет
равен половине гипотенузы
то угол
равен