Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.12 Трапеция и ее свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#23889

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12 2(3 +9)= 2-= 6

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23894

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 113 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $113∘,$ то другой равен

180∘− 113∘ = 67∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $67∘.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23880

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 11,$ $DC = 10.$

$PIC$

Так как $EF$ — средняя линия трапеции, то $EO$ и $OF$ — средние линии треугольников $ADC$ и $ACB$ соответственно. Тогда имеем:

EO = 1DC = 1 ⋅10= 5 2 2 1 1 OF = 2AB = 2 ⋅11= 5,5

Больший из этих отрезков равен 5,5.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 5$ и $AD = 2BC$ проведена высота $BE.$ Найдите отношение площади трапеции к длине этой высоты.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований трапеции $ABCD$ равна

0,5(5+ 2⋅5)= 7,5

Площадь трапеции $ABCD$ равна $7,5BE,$ тогда

SABCD-= 7,5 BE

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 3$ и $AD > BC$ проведены высоты $BE$ и $CF.$ $BE$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K.$ Известно, что $MK = 1,$ $DF = 2,4,$ $BF = 5.$ Найдите площадь трапеции $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Так как $BC ||AD,$ то в $BCF E$ все углы прямые, следовательно, $BCF E$ — прямоугольник и

EF =BC = 3

Средняя линия в трапеции параллельна её основаниям, тогда $MK ||AE.$ При этом, $M$ — середина $AB,$ значит, $MK$ — средняя линия в треугольнике $ABE.$ Средняя линия треугольника равна половине его основания, тогда

AE = 2⋅MK = 2

Найдём $AD :$

AD = AE + EF + FD = 2+ 3 +2,4= 7,4

Треугольник $BCF$ прямоугольный. $BC = 3,$ $BF = 5,$ откуда по теореме Пифагора:

CF2 =BF 2− BC2 = 25− 9= 16 ⇒ CF = 4

Площадь $ABCD$ равна

0,5(3 +7,4)⋅4= 20,8

Ответ: 20,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 4$ и $AD > BC$ угол $A$ — прямой. Известно, что $CD = 6,$ $∠D = 60∘.$ Найдите среднюю линию трапеции $ABCD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Из точки $C$ опустим высоту $CE.$ В прямоугольном треугольнике $CDE :$ $∠ECD = 30∘.$ В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30∘$ равен половине гипотенузы, тогда

DE = 0,5⋅CD = 3

При этом $ABCE$ — прямоугольник, $AE = BC = 4,$ тогда

AD = AE + ED = 4+ 3= 7

В трапеции средняя линия равна полусумме оснований.

0,5(BC + AD) = 0,5(4+ 7)= 5,5

Значит, длина средней линии равна $5,5.$

Ответ: 5,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72

В трапеции $ABCD$ средняя линия составляет $4 5$ одного из оснований. Найдите отношение длины другого основания к длине средней линии.

$PIC$

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Полусумма оснований трапеции $ABCD$ составляет $0,8$ одного из оснований, тогда сумма оснований трапеции $ABCD$ составляет $2⋅0,8 = 1,6$ этого основания, обозначим его за $AD.$ Тогда

BC + AD = 1,6AD ⇒ BC = 0,6AD

Средняя линия равна $0,8AD,$ тогда отношение длины основания $BC$ к длине средней линии равно

0,6 :0,8 = 0,75

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#537

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC :$ отрезки $QR$ и $PS$ параллельны основаниям, причем $AP =QB$ и $CR = SD.$ Найдите основание $BC,$ если $QR =6,75,$ $PS = 8,25,$ а $AD = 12.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Т.к. $QR$ и $PS$ параллельны основаниям, то четырехугольник $PQRS$ также будет трапецией, причем среднии линии $ABCD$ и $P QRS$ совпадают. Средняя линия равна

1 1 2 ⋅(QR + P S)= 2 ⋅(6,75+ 8,25)= 7,5

Тогда можно выразить верхнее основание через среднюю линию и нижнее основание следующим образом:

BC = 2⋅7,5 − 12 =3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#894

Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ $DC$ — большее основание трапеции. Площадь треугольника $ADO$ равна 12, $DO = 2BO.$ Найдите площадь трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По формуле площади треугольника:

SADO =0,5⋅2BO ⋅OH ⇒ SAOB = 0,5 ⋅BO ⋅OH = 12:2= 6

Т.к. $AB ∥DC ⇒$ треугольники $AOB$ и $DOC$ подобны и коэффициент подобия:

DO SDOC k = BO- =2 ⇒ SAOB- =k2 =4

SDOC = 6⋅4= 24,SBOC =SAOD = 12

SABCD = SAOD + SAOB + SDOC + SBOC =54

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#999

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B,$ пересекающие основания соответственно в точках $N$ и $K.$ Найдите периметр четырехугольника $ABNK,$ если $AB =5.$

$PIC$

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠AKB = ∠KBN$ как накрест лежащие при $AD ∥BC$ и $BK$ секущей. Следовательно, $∠AKB = ∠ABK,$ следовательно, $△BAK$ равнобедренный. Отсюда

AB = AK = 5

Аналогично, $∠BNA = ∠NAK = ∠NAB,$ следовательно, $△ABN$ — равнобедренный. Отсюда

AB = BN = 5

Заметим, что $AK = BN = 5$ и $AK ∥BN,$ следовательно, по признаку $ABNK$ — параллелограмм. Следовательно, $NK = AB = 5.$ Тогда периметр $ABNK$ равен

5+ 5+ 5+ 5= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1167

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований угол $150∘.$ Найдите площадь трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AD = 7,$ тогда $∠ADC = 150∘.$ По свойству трапеции имеем:

∘ ∘ ∘ ∠DAB = 180 − 150 = 30

Проведем $DH ⊥ AB.$

$PIC$

Рассмотрим $△ADH.$ Катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, следовательно,

DH = AD :2 = 3,5

Тогда площадь трапеции равна

S = AB-+-DC- ⋅DH = 18+-6 ⋅3,5= 42 2 2

Ответ: 42

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1168

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, а большая боковая сторона составляет с основанием угол $45∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $CH.$ Так как $∠HBC = 45∘,$ то $∠HCB = 45∘.$ Следовательно, $△HBC$ равнобедренный и $HB = HC.$

$PIC$

Так как $ADCH$ — прямоугольник, то $AH = DC = 2.$ Тогда получаем

CH = HB = AB − AH = 6− 2= 4

Тогда площадь трапеции равна

AB + DC 2+ 6 S = ----2--- ⋅CH = -2--⋅4 = 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1419

Основания $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $20$ и $12,$ одна из боковых сторон равна $10,$ площадь трапеции $ABCD$ равна $80.$ Найдите острый угол трапеции $ABCD,$ который образует эта боковая сторона с одним из оснований. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AB = 10,$ $BE$ — перпендикуляр к $AD,$ точка $E$ лежит на $AD.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, тогда

80= 0,5(20+ 12)⋅BE

$BE = 5= 0,5⋅AB.$ Треугольник $ABE$ — прямоугольный, причём $BE = 0,5⋅AB,$ тогда угол, лежащий против катета $BE,$ равен $30∘.$

$∠BAE = 30∘$ — единственный острый угол трапеции $ABCD,$ который образует $AB$ с одним из оснований.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1836

В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Площадь $△AOD$ относится к площади $△ODC,$ как $8:3.$ В каком отношении состоит меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ к большему основанию $AD?$

$PIC$

Показать ответ и решение

Высота, опущенная из вершины $D$ на сторону $AO$ в $△AOD$ и на сторону $OC$ в $△ODC$ будет одной и той же. Значит,

S OC BC 3 S△DOC- = AO-= AD- = 8 =0,375 △AOD

Ответ: 0,375

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1837

В трапеции $ABCD$ $CD = BC,$ $∠BCD = 140∘,$ $∠ABD = 100∘.$ Найдите модуль разности острых углов трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$△BCD$ — равнобедренный, следовательно,

∘ ∠CBD = ∠CDB =20 ∠BAD = 180∘ − ∠ABD − ∠CBD = 180∘− 100∘− 20∘ = 60∘ ∘ ∘ ∘ ∠ADC = 180 − 140 = 40

Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ |∠ADC − ∠BAD |=|40 − 60|= |− 20|= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2046

В трапеции боковые стороны равны $12$ и $12√5,$ угол при меньшей боковой стороне равен $135∘.$ Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна $156.$

Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим трапецию $ABCD,$ где $AB = 12, CD = 12√5,$ $∠A =45∘, ∠B =135∘,$ и проведем в ней высоты $BH$ и $CK.$ При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.

1 способ.

$PIC$

Заметим, что $△ABH$ — прямоугольный и равнобедренный, тогда

BH = AH = AB√- = 1√2-= 6√2 2 2

Значит, из прямоугольного $△DCK$ можно найти $KD :$

√- √ - √-------- √- KD2 = CD2 − CK2 = (12 5)2− (6 2)2 = 648 ⇒ KD = 9⋅9 ⋅4 ⋅2= 18 2

Пусть $BC =x,$ тогда $HK = BC =x.$

Т.к. площадь трапеции равна $156$ , то имеем следующее уравнение:

√ - √ - - - 6--2+-18-2+-x+-x ⋅6√ 2= 156 ⇒ x =√ 2 2

Тогда

BC :AD = (√2):(25√2)= 1:25

2 способ.

$PIC$

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим

√ - CK = DK = BH = 6 2 AH =18√2- √ - √- √ - AD = 18 2+ x− 6 2= 12 2+ x

Из уравнения $√- √- 156 = 12-2+-x+-x-⋅6 2 2$ находим $√ - x =7 2.$

Значит,

√ - √ - BC :AD = (7 2):(19 2) =7 :19

Т.к. $125 < 719,$ то в ответ пойдет $125 = 0,04.$

Ответ: 0,04

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2385

Одно из оснований трапеции в 5 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз это основание меньше другого основания трапеции?

Показать ответ и решение

Обозначим меньшее основание трапеции за $x,$ большее — за $y.$ Тогда $5x$ — длина средней линии трапеции.

$PIC$

Так как средняя линия равна полусумме оснований, то

x+ y = 2 ⋅5x ⇔ y = 9x

Следовательно, меньшее основание трапеции в 9 раз меньше ее большего основания.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2520

Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $CH.$ Тогда $ADCH$ — прямоугольник, следовательно,

AH = DC = 4 ⇒ HB = 12 − 4 = 8

Площадь трапеции равна

AB + DC 4+ 12 64= ---2----⋅CH = --2--⋅CH

Отсюда получаем $CH = 8.$

$PIC$

Заметим, что мы получили, что

CH =HB = 8

Тогда $△CHB$ равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть $∠HCB = ∠HBC.$ Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $∘ 90,$ то искомый угол равен

∠HBC = 90∘ :2= 45∘

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2521

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции $ABCD.$ Пусть основания $AB = 3$ и $CD =2.$ Отрезок $MN$ пересекает диагонали в их серединах — точках $E$ и $G.$

Действительно, так как $MN$ — средняя линия, то $MN ∥ AB ∥CD.$ Следовательно, если рассмотреть $△ADC,$ то $ME ∥CD.$

Так как к тому же точка $M$ — середина $AD,$ то по теореме Фалеса точка $E$ — середина $AC.$ Аналогично доказывается, что точка $G$ — середина $DB.$

$PIC$

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

MN = 0,5(3+ 2)= 2,5

Так как $ME$ и $GN$ — параллельные $CD$ средние линии в треугольниках $ADC$ и $BDC$ соответственно, то

ME =GN = 0,5CD = 0,5⋅2= 1

Следовательно, искомый отрезок равен

EG = MN − ME − GN = 2,5− 1− 1= 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2522

Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

$PIC$