Тема 6. Решение уравнений

6.01 Линейные и квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1423

Найдите корень уравнения $4 2 − 3x =5 3.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на $− 3.$ После умножения: $4x =− 17,$ что равносильно $x= − 4,25$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2682

Найдите корень уравнения $2 1 9x= 49 .$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: $2x= 37$ , что равносильно $x = 18,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#853

Решите уравнение $37 2x 3,75x+ 4 = 3 .$

Показать ответ и решение

Данное уравнение является линейным. Преобразуем его, заметив, что $3,75 =3 3= 15: 4 4$

15-x− 2x =− 37 |⋅12 ⇔ 45x − 8x = −37⋅3 ⇔ 37x= − 37 ⋅3 ⇔ x= −3 4 3 4

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17113

Решите уравнение $x+-5− 9x =14(1− x). 5$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79

Решите уравнение $2x2− 7x + 3= 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения $D = 49− 24= 25= 52.$ Корни

7 +5 7− 5 x1 =--4- = 3 и x2 = -4--= 0,5

ответ: $x = 0,5$ – меньший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2− 4ac= 72− 4⋅3⋅2= 49− 24 >0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

( {x1 +x2 = − −7 {x1+ x2 = 3,5 ( 3 2 ⇔ x1x2 = 1,5 x1x2 = 2

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором найдем, что $0,5$ и 3 являются корнями системы. Так как $0,5$ — наименьший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80

Найдите корень уравнения

2 2 (4x+ 5) = (4x+ 4)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 16x + 40x + 25 = 16x + 32x + 16 ⇔ 8x = − 9 ⇔ x = − 1,125

Ответ: -1,125

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#81

Решите уравнение $(6,25x+ 11)2 =(6,25x+ 9)2.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 (6,25x) + 137,5x +121 =(6,25x)+ 112,5x+ 81 ⇔ 25x = −40 ⇔ x = −1,6

Ответ: -1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82

Решите уравнение $4 2 2 7x = 467.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем $4x2 = 324,$ что равносильно $x2 = 81,$ что равносильно $x= ±9$ – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней равен 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#856

Решите уравнение $(1 − x)2+ 1= 2(1− x).$

Показать ответ и решение

1 способ.

Раскроем скобки:

2 2 1 − 2x +x +1 = 2− 2x ⇔ x = 0 ⇔ x =0

2 способ.

Преобразуем:

2 2 2 2 (1− x) − 2(1 − x)+ 1 = 0 ⇔ (1− x− 1) = 0 ⇔ (−x) = 0 ⇔ x =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1425

Решите уравнение $x2− 11x +28 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения

2 D = 121− 28⋅4= 121− 112= 9= 3

Тогда его корни

11+ 3 11− 3 x1 = --2--= 7, x2 =--2--= 4.

Ответ: $x= 7$ – больший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2 − 4ac= 112− 28⋅4= 121− 112> 0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

{ x1+ x2 = 11 x1x2 = 28

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором чисел, произведение которых равно 28, обнаружим, что 4 и 7 корни данной системы. Так как 7 — наибольший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1426

Найдите корень уравнения $(5x +8)2 = 160x.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $25x2+ 80x+ 64= 160x,$ что равносильно $25x2− 80x+ 64= 0,$ что равносильно $(5x− 8)2 = 0,$ что равносильно $(5x− 8)(5x− 8)= 0.$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что

x= 8 = 1,6 5

– единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1427

Найдите корень уравнения $(2x +11)2 = 88x.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $4x2+ 44x+ 121= 88x,$ что равносильно $4x2− 44x + 121 = 0,$ что равносильно $(2x − 11)2 = 0,$ что равносильно $(2x − 11)(2x− 11)= 0.$

11 x= 2 = 5,5

– единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1428

Найдите корень уравнения $(x +8)2 = x2+ 8.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 2 (x+ 8) = x + 8 ⇔ x + 16x + 64= x + 8 ⇔ 16x= −56 ⇔ x = −3,5

Ответ: -3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1429

Найдите корень уравнения $(2x +3)2 = 4x2+ 9.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 2 (2x+ 3) = 4x + 9 ⇔ 4x + 12x + 9= 4x + 9 ⇔ 12x= 0 ⇔ x =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2149

Найдите отрицательный корень уравнения

(3− x)(3x + 4) = 4

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки:

2 2 9x+ 12 − 3x − 4x = 4 ⇔ 3x − 5x − 8 = 0

1 способ.
Дискриминант $D = 25+ 4 ⋅3⋅8 = 121 = 112$ , следовательно, корни:

x = 5-+-11= 8 и x = 5-− 11-= − 1. 1 2 ⋅3 3 2 2 ⋅3

Следовательно, отрицательный корень – это $x = − 1$ .

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: $3+ (− 8) = − 5$ , равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: $− 5$ , следовательно, один из корней $x1 = − 1$ . Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $8 − 3$ ) равен $8 x2 = 3$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2150

Решите уравнение $x2+ 33x − 34 = 0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Показать ответ и решение

1 способ.

Данное уравнение является квадратным.

Дискриминант $D = 1089+ 4⋅34= 1225.$ Найдем, чей это квадрат. Это число делится на 25, следовательно, корень из него делится на 5. Так как $302 = 900,$ а $402 = 1600,$ проверкой убеждаемся, что $352 =1225.$ Следовательно, корни

−-33-+-35- −33-− 35- x1 = 2 = 1 и x2 = 2 = −34

Следовательно, наибольший по модулю корень – это $x = −34.$

2 способ.

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: $1 +33 − 34 =0,$ следовательно, один из корней $x1 = 1.$ Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $− 34$ ) равен $x2 = −34.$

Ответ: -34

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#854

Найдите больший корень уравнения $x2− x − 40200= 0.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.

Дискриминант $D = 1 +4 ⋅40200= 160801.$ Найдем, квадрат какого числа равен $160 801.$ Заметим, что $4002 = 160000,$ следовательно, $√------ 160801$ чуть больше, чем $400.$

Подбором убеждаемся, что $4012 = 160801.$ Следовательно, корни:

1-+401 1−-401- x1 = 2 = 201 и x2 = 2 = −200

Следовательно, больший корень – это $x = 201.$

2 способ.

Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно $− 40200,$ то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например $a$ и $− b$ (где $a,b> 0$ ).

Заметим, что их сумма равна $1$ , следовательно, $a − b =1.$ Попробуем найти $a$ и $b$ .

Заметим, что $40200= 402⋅100= 201⋅2⋅100.$ Таким образом, если взять числа 201 и 200, то их разность равна 1. Минус следует отнести к 200, то есть $x1 = 201$ и $x2 = −200.$