06. Решение уравнений —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.01 Решение уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Разделы подтемы Решение уравнений

Линейные и квадратные уравнения

Кубические уравнения

Рациональные уравнения

Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)

Логарифмические уравнения

Тригонометрические уравнения

Уравнения с модулем

Задачи повышенного уровня сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36771

Решите уравнение: $4x4 − 36x2 = 0.$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -3; 0 ; 3.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36772

Решите уравнение: $x2 − 16 = 3x − 12.$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ:

$− 1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36773

Решите уравнение: $(x − 1)3 +(x + 1)3 = 2(x + 2)(x2 − 2x + 4).$

Показать ответ и решение

Видим, что левая часть уравнения — это сумма кубов, применим соответствующую формулу:

(x− 1)3+(x+1)3 = ((x− 1)+ (x+1 ))((x− 1)2− (x− 1)(x+1 )+(x+1)2) = 2x(x2− 2x+1 − x2+1+x2+2x+1 ) = 2x(x2+3 ) = 2x3+6x.

Правая же часть из себя представляет удвоенную сумму кубов $x$ и $2$ . Действительно:

2(x + 2)(x2 − 2x+ 4) = 2(x+ 2)(x2 − 2⋅x + 22) = 2(x3 + 23) = 2x3 + 16.

Таким образом, получим уравнение:

$pict$

Ответ:

$8 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89

Найдите корень уравнения $(7x +11)3 = 64.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим задачу на ОДЗ.

Исходное уравнение $(7x + 11)3 = 43$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $7x+ 11= 4.$ Отсюда заключаем, что $x = −1$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#102

Найдите корень уравнения $√6−-x-= 3.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $6− x≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 6.$

При возведении в квадрат левой и правой частей уравнения в общем случае могут возникать лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую части, найдём корни получившегося уравнения:

6 − x = 9 ⇔ x= − 3

Проверим подстановкой, являются ли найденные корни корнями корнями исходного уравнения:

∘ ------- 6− (−3)= 3

Получили верное равенство, таким образом, $x = −3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#855

Найдите положительный корень уравнения

2 2 2 (x + 1) − 6x − 1 = 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $2 x + 1 = t$ . Тогда $2 x = t− 1$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t − 1) − 1 = 0 ⇔ t − 6t+ 5 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t = 5$ и $t = 1,$ следовательно,

⌊ [ 2 [ 2 [ x = 0 x + 1 = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ |⌈x = 2 x2 + 1 = 5 x2 − 4 = 0 (x − 2)(x +2) = 0 x = − 2

Следовательно, положительный корень – это $x = 2$ .

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#857

Решите уравнение. В ответ укажите сумму квадратов корней уравнения, если они есть, и $0$ , если уравнение не имеет корней.

√- 2 √ -- √ -- 5x − 13x− 20 = 0

Показать ответ и решение

Так как $√- √-- D = 13+ 4 ⋅ 5 ⋅ 20 = 13+ 40 = 53 > 0,$ то уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда $√13 a+ b = √--- 5$ и $√20- ab = −-√--. 5$

(√ --)2 ( √ --) 2 2 2 2 2 2 2 -√13 -√20 13 a + b = a +2ab + b − 2ab = (a+ b) − 2ab ⇒ a + b = 5 − 2⋅ − 5 = 5 + 4 = 6,6

2 способ.

Корни уравнения

√13-− √53 √13-+ √53 x1 = ----√----- и x2 = ----√----- 2 5 2 5

Тогда

( √13 − √53-)2 13 − 2√13√53-+ 53 x21 = ----√----- = ----------------- 2 5 20 ( √13 +√53-)2 13 + 2√13√53-+ 53 x22 = ----√----- = ----------------- 2 5 √ --√ -- 20 √--√ -- 2 2 13-−-2-13--53-+-53 13-+-2-13--53+-53 ⇒ x1 + x2 = 20 + 20 = 6,6

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 6,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1423

Найдите корень уравнения

4 2 − 3x = 53

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на $− 3.$ После умножения: $4x = − 17,$ что равносильно $x = − 4,25$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1432

Решите уравнение. Если оно имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

3 (2x+ 1) = 27

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение $3 3 (2x +1) = 3$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $2x+ 1 = 3,$ откуда заключаем, что $x = 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1441

Найдите корень уравнения $--1--- --1--- 5x− 24 = 16 − 3x .$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $5x− 24⁄= 0$ и $16 − 3x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(1(65−x−3x)24−)( 116⋅(−5x3−x)24)= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1⋅(16− 3x) − 1 ⋅(5x− 24)= 0 −8x= −40 x= 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1442

Найдите корень уравнения

1 1 33x-−-12-= 17-+-32x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $33x − 12 ⁄= 0$ и $17+ 32x ⁄= 0.$ Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

1⋅(17+ 32x)− 1 ⋅(33x − 12) ---(33x-−-12)(17+-32x)----= 0

Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда

1 ⋅(17 +32x) − 1⋅(33x− 12) = 0 ⇔ − x = − 29 ⇔ x = 29

Ответ: 29

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1443

Найдите корень уравнения

√------ x + 12 = 6

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ − 12.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $x+ 12 = 36,$ что равносильно $x = 24.$

Подставим в исходное уравнение: $√ ------- 24+ 12 = 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1444

Найдите корень уравнения $√4x+-5 =6.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4x+ 5 ≥0,$ что равносильно $x≥ −1,25.$ Решим на ОДЗ:

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $4x+ 5 =36,$ что равносильно $x = 7,75.$

Подставим в исходное уравнение: $√--------- 4 ⋅7,75+ 5= 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x =7,75.$

Ответ: 7,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1456

Найдите корень уравнения $3x+11 = 27.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим задачу на ОДЗ.

Исходное уравнение есть $3x+11 = 33,$ оно имеет стандартный вид и равносильно $x + 11 = 3.$ Отсюда получаем $x= −8$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1457

Найдите корень уравнения $57−2x = 25.$

Показать ответ и решение

Исходное уравнение есть $57−2x = 52,$ оно имеет стандартный вид и равносильно $7 − 2x = 2,$ что равносильно $x= 2,5.$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1458

Найдите корень уравнения $x 1 4 = 2.$

Показать ответ и решение

Исходное уравнение есть $22x = 2−1,$ оно имеет стандартный вид и равносильно $2x =− 1,$ что равносильно $x= − 0,5.$

Ответ: -0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2151

Найдите произведение корней уравнения

2 2 2 (x + 2) = 6x + 4

Показать ответ и решение

1 способ.

Сделаем замену: $2 x + 2 = t.$ Тогда $2 x = t − 2$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t − 2) − 4 = 0 ⇔ t − 6t+ 8 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t = 4$ и $t = 2,$ следовательно,

[ [ [ x2 + 2 = 2 x2 = 0 x = 0 2 ⇔ 2 ⇔ 2 x + 2 = 4 x = 2 x = 2

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

2 способ.

Раскроем скобки:

4 2 2 4 2 2 2 x +4x + 4 = 6x + 4 ⇔ x − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2152

Решите уравнение. В ответе укажите сумму квадратов корней уравнения если они есть, и 0, если уравнение не имеет корней.

2 √-- 2x + 57x + 7 = 0

Показать ответ и решение

Так как $D = 57− 4 ⋅2⋅7 = 1 > 0,$ уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда по теореме Виета $√57 a+ b = − 2$ , $7 ab = 2.$

( √ --)2 a2 + b2 = a2 + 2ab+ b2 − 2ab = (a+ b)2 − 2ab ⇒ a2 + b2 = −-57 − 2⋅ 7 = 57 − 7 = 7,25 2 2 4

2 способ.

Корни уравнения

√-- √ -- x1 = −--57−-1- и x2 = −--57+-1- 4 4

Тогда

( √-- )2 √ -- x21 = −--57-−-1 = 57+-2--57+-1 4 16 ( ) − √57 + 1 2 57− 2√57-+ 1 x22 = ----4---- = -----16----- √ -- √-- ⇒ x21 + x22 = 57+-2-57+-1 + 57−-2-57-+-1= 7,25. 16 16

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 7,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2227

Решите уравнение $siny = 0.$ В ответе укажите целый корень уравнения.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

y = πn, n∈ ℤ

Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при $n = 0$ и это $y = 0.$ Все остальные корни будут вида «целое число умножить на $π$ », что является иррациональным числом.