05. Задачи на теорию вероятностей —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.01 Задачи на теорию вероятностей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Разделы подтемы Задачи на теорию вероятностей

Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

Умножение вероятностей вдоль цепочки событий

Условная вероятность

Комбинаторика

Задачи повышенного уровня сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74233

На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Нам подходит любое из трех событий:

$A = {2 красных блюдца и 2 красных чаш ки}$ или

$B = {2 синих блюдца и 2 синих чашки}$ или

$C = C1$ и $C2.$

Здесь $C1 = {взяли в любом порядке 1 красное блюдце и 1 синее блю дце с первой п&$ ,

$C2 = {взяли в любом порядке 1 красную чаш ку и 1 синюю чаш ку со второй по&#x0$ .

Следовательно, вероятность события $X = {A или B или C }$ равна

P(X)= P (A )+ P(B)+ P(C)= P (A )+ P(B)+ P(C1)⋅P(C2)

Взять два красных блюдца с первой полки можно с вероятностью $16-⋅ 15, 25 24$ взять две красных чашки со второй полки можно с вероятностью $13⋅ 12. 25 24$ Следовательно,

P (A )= 16⋅ 15-⋅ 13⋅ 12. 25 24 25 24

Тогда, записав аналогично вероятности $P(B),$ $P (C1)$ и $P (C2),$ найдем

( ) ( ) P (X )= 16 ⋅ 15⋅ 13 ⋅ 12+ 9-⋅-8 ⋅ 12⋅ 11 + 2⋅ 16⋅-9 ⋅ 2⋅ 13 ⋅ 12 = 2◟5--24◝◜25--24◞ 2◟5-24◝◜25-24◞ ◟---25◝◜-24-◞ ◟--25◝◜-24◞ P(A) P(B) P (C1) P(C2) = --12---⋅(16 ⋅15 ⋅13 +9 ⋅8⋅11+ 4⋅16⋅9⋅13)= 0,38 252⋅242

Ответ: 0,38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74234

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть в нашей терминологии каждая мишень называется целью. Событие «стрелок поражает цель» равно событию «стрелок поражает мишень при первом выстреле ИЛИ стрелок поражает эту же мишень при втором выстреле». Следовательно, вероятность этого события равна $p= 0,6+ 0,4 ⋅0,6 =0,84.$ Следовательно, $1 − p = 0,16$ — вероятность того, что цель не будет поражена.

Тогда вероятность того, что спустя все выстрелы стрелок поразит ровно одну мишень, равна

4 P1 = (0,84 ⋅0,16 )⋅5

(вероятность поразить только первую мишень равна $0,84⋅0,164$ , только вторую — $3 0,16 ⋅0,84⋅0,16,$ только третью — $2 2 0,16 ⋅0,84⋅0,16$ и т.д.; всего пять различных способов: пнннн, нпннн, ннпнн, нннпн, ннннп, где п — поразит, н — не поразит, вероятность каждого одинакова и равна $0,84⋅0,164$ ).

Вероятность поразить спустя все выстрелы ровно две мишени равна

2 3 P2 = (0,84 ⋅0,16 )⋅10

(аналогично предыдущему рассуждению получаем 10 различных способов: ппннн, пнпнн, пннпн, пнннп, нппнн, нпнпн, нпннп, ннппн, ннпнп, нннпп, где п — поразит, н — не поразит).

Следовательно, искомое отношение этих вероятностей равно

P2 P1 = 10,5

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74235

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Для того, чтобы в верхнем ящике по прежнему осталось 10 белых и 15 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

$A =$ «Аня взяла 1 белый и 1 черный кубик И Оля взяла 1 белый и 1 черный кубик»;

$B =$ «Аня взяла 2 черных кубика И Оля взяла 2 черных кубика»;

$C =$ «Аня взяла 2 белых кубика И Оля взяла 2 белых кубика».

Тогда вероятность искомого события равна $P = P(A)+ P(B) +P (C )$ и равна

( ) ( ) P = 2⋅ 10⋅ 15 ⋅ 2 ⋅ 15⋅ 10 + 15⋅ 14 ⋅ 10⋅-9+ 10 ⋅ 9-⋅ 15 ⋅ 14= ◟---25--24--◝◜----25-24-◞ ◟25-24◝◜25-24◞ 2◟5--24◝◜25--24◞ P(A ) P(B) P(C ) = -10⋅15-⋅(4⋅15⋅10+ 14⋅9⋅2)= 0,355 252⋅242

Ответ: 0,355

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74236

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика два кубика, а Толя — два кубика из нижнего ящика. После этого Ваня положил свои кубики в нижний ящик, а Толя — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Для того, чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, нам подходит одно из следующих событий:

$A =$ «Ваня взял 1 белый и 1 черный кубик, а Толя — 2 белых кубика»;

$B =$ «Ваня взял 2 черных кубика, а Толя — 1 белый и 1 черный кубик».

Тогда вероятность искомого события равна $P = P(A)+ P(B)$ и равна

( ) ( ) P = 2⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 15⋅ 14+ 15 ⋅ 14⋅ 2 ⋅ 15⋅ 10 = ◟--25--24◝◜---25-24◞ 2◟5--24--◝◜-25-24-◞ P(A) P(B) 2 = 2 ⋅ 2⋅15-⋅14⋅10=--7- = 0,35 252⋅242 5 ⋅22

Ответ: 0,35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74237

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 6 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков больше, чем у Вани.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Если у Вани выпало больше 2 очков, то у него могло выпасть одно из чисел 3,4,5 или 6. Тогда у Пети могло выпасть одно из чисел 1,2,3,4 или 5.

Так как у Вани выпало очков меньше, чем у Пети, то нам подходят следующие пары «Ваня, Петя»: «3,4», «3,5» или «4,5». При этом общее количество пар равно произведению количества вариантов Вани на количество вариантов Пети.

Заметим, что вероятность выпадения любой пары «Ваня, Петя» равна $-1 36.$ Следовательно, вероятность искомого события равна

число подходящих пар 3 P = ---число всех пар--= 4⋅5-= 0,15

Ответ: 0,15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74238

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 5 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков меньше, чем у Вани.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Если у Вани выпало больше 2 очков, то у него могло выпасть одно из чисел 3,4,5 или 6. Тогда у Пети могло выпасть одно из чисел 1,2,3 или 4.

Так как у Вани выпало очков больше, чем у Пети, то нам подходят следующие пары «Ваня, Петя»: «3,1», «3,2», «4,1», «4,2», «4,3», «5,1», «5,2», «5,3», «5,4», «6,1», «6,2», «6,3» или «6,4». При этом общее количество пар равно произведению количества вариантов Вани на количество вариантов Пети.

Заметим, что при выполнении условий на число очков у каждого из мальчиков вероятность выпадения любой пары «Ваня, Петя» равна

1 ⋅ 1=-1 4 4 16

Следовательно, вероятность искомого события равна

P = число подходящ-их пар-= 13= 0,8125 число всех пар 16

Ответ: 0,8125

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74240

В классе 26 учащихся, среди них три подружки — Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Без ограничения общности можно считать, что Олю распределяют первой в какую-то группу, затем Аню, а затем Юлю. Тогда с вероятностью 1 Оля попадет в одну из двух групп. Тогда для Ани осталось 12 подходящих мест из 25, для Юли — 11 подходящих мест из 24. Следовательно, вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе, равна

p= 1⋅ 12 ⋅ 11= 0,22 25 24

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74241

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга — Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Без ограничения общности можно считать, что Юру распределяют первым в какую-то подгруппу, затем Борю, а затем Егора. Тогда с вероятностью 1 Юра попадет в одну из трех подгрупп. Тогда для Бори осталось 10 подходящих мест из 14, для Егора — 5 подходящих мест из 13. Следовательно, вероятность того, что все три друга окажутся в разных подгруппах, равна

p= 1⋅ 10-⋅ 5-= 50- 14 13 182

После округления до сотых получаем $0,27.$

Ответ: 0,27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32

В коробке лежат 4 синих, 10 черных, 2 красных и 4 зеленых ручки. Ваня наугад достает по очереди две ручки, ничего не кладя обратно. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно одна ручка, которая не является синей и не является черной? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

В данной задаче нет смысла различать синие и черные ручки, а также нет смысла различать красные и зеленые ручки. Будем считать, что в коробке 14 хороших ручек и 6 плохих. При такой переформулировке найдем вероятность того, что Ваня за две попытки ровно один раз достанет хорошую ручку.

Вероятность того, что Ваня достанет сначала хорошую ручку, а потом плохую, равна

14-⋅ 6 20 19

Вероятность того, что Ваня достанет сначала плохую ручку, а потом хорошую, равна

6- 14 20 ⋅19

Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий, равна сумме их вероятностей:

14⋅-6 + 6-⋅ 14 = 168 20 19 20 19 380

После деления в столбик и округления до сотых получим 0,44.

Ответ: 0,44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33

У странной Кати есть 10 чёрных и 10 синих ручек. Она раскладывает ручки в два кармана по 10 в каждый таким образом, чтобы при случайном выборе кармана и вытаскивании из него ручки наугад, вероятность получить синюю ручку была максимально возможной. Какую вероятность вытащить синюю ручку она получит?

Показать ответ и решение

Пусть в первом кармане $s$ синих ручек, тогда в другом кармане $10− s$ синих ручек.

Вероятность вытащить синюю ручку из первого кармана равна

0,5 ⋅ s-, 10

где 0,5 – вероятность выбора первого кармана.

Вероятность вытащить синюю ручку из второго кармана равна

10 − s 0,5⋅ -10--

Тогда вероятность вытащить синюю ручку равна

0,5⋅-s +0,5⋅ 10−-s = 0,5⋅ s+-10−-s = 0,5 10 10 10

(независимо от того, как именно разложены ручки, но при соблюдении условия «по 10 в каждом кармане»).

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34

В двух ящиках лежат носки: в одном 3 чёрных носка и 1 синий, в другом 5 синих носков и 1 чёрный. Случайным образом выбирается один ящик, затем из него не глядя вытаскивают 2 носка. Какова вероятность того, что оба носка окажутся одного цвета? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

В первом ящике пару совпадающих по цвету могут образовывать только чёрные носки. Вероятность вытащить два чёрных носка из первого ящика равна

3 2 0,5⋅4 ⋅3

Здесь 0,5 — вероятность выбора первого ящика.

Аналогично во втором ящике пару совпадающих по цвету могут образовывать только синие носки. Вероятность вытащить два синих носка из второго ящика равна

5 4 0,5⋅6 ⋅5

Тогда вероятность вытащить пару совпадающих по цвету носков равна

0,5⋅ 3 ⋅ 2+ 0,5 ⋅ 5⋅ 4 =-7 =0,58(3) 4 3 6 5 12

После округления до сотых получим 0,58.

Ответ: 0,58

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#38

Монетку подбросили 1001 раз. Какова вероятность того, что выпало более 500 орлов? Ответ округлите до десятых.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка «равноправны»). Но «выпало более 500 решек» $=$ «выпало менее 501 орла». Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.

Но события «выпало более 500 орлов» и «выпало менее 501 орла» в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.

Таким образом, вероятность события «выпало более 500 орлов» равна $0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#39

За круглый стол в случайном порядке рассаживаются Белоснежка, злая ведьма и 5 гномов (двое охраняют мероприятие). Найдите вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма не будут сидеть вместе. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Проще сначала найти вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма окажутся сидящими вместе. Пусть Белоснежка села на любое место, тогда чтобы злая ведьма села рядом с ней, ей нужно сесть на 2 места из оставшихся 6 (одно слева от Белоснежки, а другое справа). Тогда вероятность того, что злая ведьма сядет рядом с Белоснежкой равна

2= 1 6 3

А тогда вероятность того, что они не окажутся рядом равна

1 2 1− 3 = 3

После округления окончательно получаем $0,67.$

Ответ: 0,67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40

Компания «Light» изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна 0,04. Каждую лампочку дополнительно проверяет упаковщик. Вероятность того, что упаковщик обнаружит и изымет неисправную лампочку, равна 0,96. Вероятность того, что упаковщик по ошибке изымет исправную лампочку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет изъята упаковщиком.

Показать ответ и решение

Лампочка может быть изъята в двух случаях: лампочка исправна, но упаковщик ошибся, или лампочка неисправна и упаковщик не ошибся. Вероятность первого из этих исходов составляет

(1 − 0,04) ⋅0,01= 0,0096

Вероятность второго из этих исходов равна

0,04⋅0,96 = 0,0384

Так как эти исходы несовместны, то вероятность того, что наступит хотя бы один из них, равна сумма их вероятностей:

0,0096+ 0,0384= 0,048

Ответ: 0,048

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#41

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит 170 секунд, зеленый свет горит 30 секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Показать ответ и решение

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из 170 красных чисел и с такими же вероятностями каждое из 30 зелёных чисел, то есть всего возможно 200 различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: 1 секунда, 2, 3, ..., 170 секунд, 0 секунд, 0, ..., 0 секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание

1+-2+-...+170-+0-+...+-0-= 1+-2+-...+170-= 72,675 секунд 200 200

Ответ: 72,675

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#42

Антон играет в компьютерную игру, которая заключается в том, что компьютер выдаёт ему натуральное число от 1 до $N.$ Если число чётное — Антон выиграл, если нечётное – выиграл компьютер. Антон знает, что вероятность выпадения любого чётного числа равна $0,02,$ а вероятность выпадения любого нечётного числа равна $0,04.$ Найдите $N.$

Показать ответ и решение

Возможны два случая: 1) $N$ — чётное $(N = 2n);$ 2) $N$ — нечётное $(N = 2n+ 1).$

1) Чётных и нечётных чисел в игре одинаково и равно $n,$ тогда, так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до $N$ равна 1,

n⋅0,02+ n⋅0,04= 1

В итоге $n⋅0,06 = 1,$ но тогда $n = 530$ – не натуральное число, следовательно, случай 1) не подходит.

2) Нечётных чисел в игре больше чем чётных на одно, тогда чётных чисел в игре $n,$ следовательно, так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до $N$ равна 1,

n⋅0,02 +(n +1)⋅0,04= 1

В итоге $n⋅0,06= 0,96,$ тогда $n = 16,$ следовательно, $N =33.$

Ответ: 33

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#878

Игорь трижды подбрасывает правильную игральную кость. Какова вероятность того, что за эти три подбрасывания ровно один раз выпадет число, кратное трём, а сумма результатов подбрасываний не будет делиться на 3? Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Так как игральная кость правильная, то вероятность выпадения каждой грани равна $1 -- 6$ . Среди чисел на гранях есть два числа, дающих при делении на $3$ остаток $0$ , два числа, дающих при делении на $3$ остаток $1$ и два числа, дающих при делении на $3$ остаток $2$ .

Тогда вероятность за одно подбрасывание получить, например, число, дающее при делении на $3$ остаток $1$ , равна $1 3-$ . С другими остатками аналогично.

Условие задачи можно переформулировать в следующем виде: какова вероятность за три подбрасывания получить результаты, остатки от деления на $3$ которых будут содержать единственный $0$ и два одинаковых числа?

Таким образом, нас устраивают исходы, остатки от деления на $3$ которых будут иметь вид:

0, 1, 1 1, 0, 1 1, 1, 0 0, 2, 2 2, 0, 2 2, 2, 0.

Вероятность любого из выписанных исходов равна

1-⋅ 1-⋅ 1-. 3 3 3

При этом различных исходов здесь шесть, следовательно, вероятность получения подходящего исхода равна

6 ⋅ 1-⋅ 1-⋅ 1-= 2. 3 3 3 9

После округления получим ответ $0,22$ .

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#890

Тимур считает вероятность наступления некоторого события $A$ в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события $A$ равна $0,045$ . Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?

Показать ответ и решение

Рассмотрим ситуацию, когда $P (A) = 0$ (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит $0,045$ . Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит $0,045$ , но все числа, не превосходящие $0, 045$ , при округлении до десятых дают $0$ . Таким образом, ответ: $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#909

Илья решает задачу по геометрии, в которой дан четырёхугольник $ABCD$ , причём $AB = 5$ , $BC = 6$ , $CD = 4$ , $AD = 10$ . В условии задачи сказано, что одна из вершин является центром некоторой окружности и Илья думает, какую вершину ему выбрать в качестве центра этой самой окружности.

Известно, что вероятность выбора каждой конкретной вершины пропорциональна сумме длин сторон четырёхугольника $ABCD$ , проходящих через эту вершину. Какова вероятность того, что Илья выберет вершину $B$ ?

Показать ответ и решение

Через вершину $A$ проходят стороны $AB$ и $AD$ , их сумма: $AB + AD = 15$ .

Через вершину $B$ проходят стороны $AB$ и $BC$ , их сумма: $AB + BC = 11$ .

Через вершину $C$ проходят стороны $BC$ и $CD$ , их сумма: $BC + CD = 10$ .

Через вершину $D$ проходят стороны $CD$ и $DA$ , их сумма: $CD + DA = 14$ .

Обозначим вероятность выбора вершины $A$ через $P (A)$ (для остальных вершин аналогично). Тогда по условию имеем:

P (A) = 15k, P (B) = 11k, P (C ) = 10k, P(D ) = 14k,

но $P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (D ) = 1$ , тогда $k = 0,02$ , откуда находим: $P (B ) = 0,22$ .

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#921

Таня заметила, что в казино “Подкинем” используют неправильную игральную кость (т.е. не у всех граней вероятности выпадения одинаковы). При этом она установила, что вероятность выпадения чётного числа равна $0,6$ ; вероятность выпадения числа, делящегося на $3$ , равна $0,3$ ; вероятность того, что выпадет $1$ или $5$ , равна $0,22$ . Найдите вероятность того, что на этой игральной кости выпадет число $3$ . Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения числа $n$ обозначим через $P ({n})$ , вероятность выпадения одного из чисел $m$ и $n$ обозначим через $P ({m; n} )$ , а вероятность выпадения одного из чисел $m$ , $n$ и $k$ обозначим через $P ({m; n; k})$ . Тогда