04. Введение в теорию вероятностей —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 4. Введение в теорию вероятностей

4.01 Введение в теорию вероятностей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела введение в теорию вероятностей

Разделы подтемы Введение в теорию вероятностей

Вероятность как отношение "подходящих" исходов ко всем исходам

Сумма вероятностей несовместных событий

Сумма вероятностей совместных событий

Произведение вероятностей независимых событий

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1314

Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Т. решит больше 10 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

Показать ответ и решение

Для наглядности нанесем данные из условия на прямую:

$PIC$

Тогда видим, что событие $A$ = { Т. решил больше 9 задач } состоит из объединения несовместных событий $B$ = { Т. решил больше 10 задач } и $C$ = { Т. решил ровно 10 задач }, а значит, вероятность события $A$ равна сумме вероятностей:

P(A) = P(B) + P(C)

Так как требуется найти вероятность события $C$ , то

P (C) = P (A)− P (B ) ⇔ P (C) = 0,8 − 0,75 = 0,05

Ответ: 0,05

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1315

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.

Показать ответ и решение

Для наглядности решения начертим рисунок:

$PIC$

Отсюда видим, что событие $A$ = { В автобусе окажется меньше 16 пассажиров } состоит из двух непересекающихся событий $B$ = { В автобусе окажется меньше 10 пассажиров } и $C$ = { В автобусе окажется от 10 до 15 пассажиров }, значит, для вероятностей можно записать:

P (A)= P(B)+ P (C )

Так как нам нужно найти вероятность события $C$ , то:

P(C)= P (A )− P(B)= 0,96− 0,55 =0,41

Ответ: 0,41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2646

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.

Показать ответ и решение

Рассмотрим следующий рисунок:

$PIC$

Из рисунка видно, что для нахождения вероятность того, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет, нужно из вероятности прослужить больше года вычесть вероятность прослужить больше двух лет.

Иными словами: событие $A$ = {чайник прослужит больше года} состоит из непересекающихся событий $B$ = {чайник прослужит большедвух лет} и $C$ = {чайник прослужит больше года, но меньше двух лет}, то есть $A = B ∪C.$

Значит, для вероятностей этих событий можно записать следующее:

P (A)= P(B)+ P (C )

Нам нужно найти вероятность события $C :$

P (C)= P(A)− P (B )

По условию $P(A) = 0,9,$ $P(B) = 0,82,$ тогда

P(C )= 0,9− 0,82 =0,08

Ответ: 0,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18606

В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей. Из них 18 чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Показать ответ и решение

Всего автомобилей желтого цвета с черными надписями будет

45− 18 = 27

Вероятность того, что такая машина приедет на вызов, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Всего исходов — 45, благоприятных — 27.

Тогда искомая вероятность равна

27 = 3 = 0,6 45 5

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19484

В соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 6 спортсменов из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Словении и 8 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Словении.

Показать ответ и решение

Всего в соревнованиях принимают участие $6+ 7+ 9+ 8= 30$ спортсменов. Последним мог выступать только один из 30 спортсменов, и каждый спортсмен с одинаковой вероятностью мог выступать последним.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Словении, равна отношению количества спортсменов из Словении к общему количеству спортсменов, то есть

9- = 3-= 0,3 30 10

Ответ: 0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21441

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Показать ответ и решение

Общее количество спортсменов, принимающих участие в соревнованиях, равно

3 + 6+ 4+ 7= 20

Последним мог выступать только один из 20 спортсменов, и все спортсмены с одинаковыми вероятностями могли выступать последними.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Норвегии, равна

-4 = 1 = 0,2 20 5

Ответ: 0,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22941

Мама сварила малиновое варенье и разложила по банкам. Вероятность того, что варенье сохранится более трёх лет, равна 0,92. Вероятность того, что оно сохранится более четырёх лет — 0,84. Какова вероятность того, что варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет?

Показать ответ и решение

Если варенье сохранится более трёх лет, то оно испортится либо на четвертом году хранения, либо после четвертого года. Тогда события «варенье сохранится более четырёх лет» и «варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет», несовместны.

Значит, вероятность того, что варенье сохранится более трёх лет, равна сумме вероятностей событий «варенье сохранится более четырёх лет» и «варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет». Тогда вероятность того, что варенье сохранится более трёх, но менее четырёх лет, равна

p= 0,92 − 0,84= 0,08

Ответ: 0,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#24

В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 3 очка, к количеству всевозможных исходов. Набрать 3 очка можно только двумя способами: $(2;1)$ и $(1;2).$

Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар $(a;b),$ где $a$ и $b$ принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.

Вероятность суммарного выпадения 3 очков равна

2-= 0,0(5) 36

После округления окончательный ответ становится $0,06.$

Замечание: пары $(a;b)$ и $(b;a)$ при $a⁄= b$ – разные. В самом деле, в условии задачи ничего не изменилось бы, если бы было сказано, что первая кость – красная, а вторая – синяя. Но в таком случае разница была бы очевидна.

Ответ: 0,06

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#25

В кинопрокате показывают 3 боевика и 7 мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?

Показать ответ и решение

В кинопрокате показывают 10 фильмов, из них 7 мелодрам, следовательно, вероятность того, что Максим случайно выберет мелодраму, равна

-7 p= 10 = 0,7

Ответ: 0,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#26

Согласно учебному плану, Антону нужно сдать 3 спецкурса. Он выбирает 3 спецкурса случайным образом из 4 возможных: спектральная теория, теория операторов, теория групп, группы Ли. Какова вероятность того, что он выберет спецкурсы по спектральной теории, теории групп и группам Ли?

Показать ответ и решение

Выбрать 3 спецкурса из 4 — это то же самое, что не выбрать 1 из 4. Так как вероятности выбора каждого спецкурса одинаковы, то вероятность не выбрать теорию операторов равна

1 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#27

В коробке 4 красных, 2 синих и 4 зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный равна

---4--- = 0,4 4 +2 +4

Ответ: 0,4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#28

В коробке 15 шоколадных конфет, 4 карамели и 1 грильяж. Ваня наугад выбирает одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется грильяжем?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна

----1--- = 0,05 15 +4 +1

Ответ: 0,05

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#29

У Андрея есть 10 томов стихов. Он прочёл первые 3 тома и последние 2. Известно, что слово «каша» встречается в этих 10 томах 32 раза, при этом в первых 3 томах оно встречается 19 раз, а в последних 2 томах оно встречается 12 раз. Какова вероятность того, что выбранный наугад том стихов будет не прочитан Андреем и в нём встретится слово «каша»?

Показать ответ и решение

Всего Андрею слово «каша» встречалось $19+ 12= 31$ раз, следовательно, в томах, которые он ещё не читал, оно встречается ещё $32 − 31 =1$ раз, то есть содержится только в одном томе. Иными словами, только 1 том удовлетворяет условию задачи. Вероятность того, что случайным образом будет выбран именно он, равна

1-= 0,1 10

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#30

Прыгая с высоты 1 метр, Костя ломает ногу с вероятностью 0,05. Прыгая с высоты 1 метр, Ваня ломает ногу с вероятностью 0,01. Прыгая с высоты 1 метр, Антон ломает ногу с вероятностью 0,01. Костя, Ваня и Антон независимо друг от друга прыгают с высоты 1 метр. Какова вероятность того, что из них только Костя сломает ногу? Ответ округлите до тысячных.

Показать ответ и решение

События «при прыжке с высоты 1 метр Костя сломал ногу», «при прыжке с высоты 1 метр Ваня не сломал ногу» и «при прыжке с высоты 1 метр Антон не сломал ногу» независимы. Тогда вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

0,05⋅0,99 ⋅0,99= 0,049005

После округления до тысячных получаем 0,049.

Ответ: 0,049

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что танкист попадет во вражеские танки ровно два раза. Результат округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что танкист промахнется только первым выстрелом, равна

0,6⋅0,4 ⋅0,4

Вероятность того, что танкист промахнется только вторым выстрелом, равна

0,4⋅0,6 ⋅0,4

Вероятность того, что танкист промахнется только третьим выстрелом, равна

0,4⋅0,4 ⋅0,6

Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий, равна сумме вероятностей каждого из них:

3⋅0,096 =0,288

После округления до сотых получим 0,29.

Ответ: 0,29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#35

В аквариуме плавает 100 рыбок. Известно, что из них 17 золотых, 4 исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме 3. Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.

Показать ответ и решение

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна

17- -4- -3- 18- 100 + 100 − 100 = 100 = 0,18

Ответ: 0,18

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#36

Вероятность того, что маленький Миша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,3. Вероятность того, что маленькая Маша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,4. Вероятность того, что Миша и Маша вместе заплачут, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,15. Какова вероятность того, что по крайней мере один из них заплачет, увидев в зоопарке медведя?

Показать ответ и решение

Событие «Маша или Миша заплачет» складывается из следующих элементарных событий.

Событие «Миша заплачет и Маша не заплачет» с вероятностью

0,3− 0,15

Событие «Миша не заплачет и Маша заплачет» с вероятностью

0,4− 0,15

Событие «Миша заплачет и Маша заплачет» с вероятностью 0,15.

Тогда искомая вероятность равна

p =(0,3 − 0,15)+(0,4− 0,15)+ 0,15= 0,55

Ответ: 0,55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#37

Лампочка в левой комнате некоторого блока в общежитии перегорает в среднем 1 раз в 20 включений. Лампочка в правой комнате этого блока перегорает в среднем 1 раз в 50 включений. Вероятность того, что при одновременном включении лампочек обе перегорят, составляет 0,01. Какова вероятность того, что при одновременном включении ни одна из лампочек не перегорит?

Показать ответ и решение

Найдем вероятность того, что при одновременном включении хотя бы одна из этих лампочек перегорит.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления. Тогда вероятность того, что перегорит хотя бы одна лампочка, равна

1-+ -1− 0,01 = 0,05+ 0,02− 0,01= 0,06 20 50

Следовательно, вероятность того, что не перегорит ни одна лампочка, равна

1 − 0,06= 0,94

Ответ: 0,94

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#634

Даня придумал себе 100 уравнений. Он заметил, что среди придуманных им уравнений: 41 квадратное, 72 он умеет решать, 31 кубическое, 22 тригонометрических. Известно, что Даня умеет решать любые квадратные уравнения и любые кубические уравнения и что придумал он только квадратные, кубические, тригонометрические и логарифмические уравнения. Какова вероятность того, что выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить?

Показать ответ и решение

Заметим, что квадратных и кубических уравнений Даня придумал $41 + 31 = 72$ . Так как он умеет решать любые квадратные и кубические уравнения, причём среди придуманных уравнений он умеет решать 72 уравнения, то все тригонометрические и все логарифмические уравнения, которые он придумал, он решать не умеет.

Таким образом, условие “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить” равносильно условию “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим”.

Всего Даня придумал $100 − 41 − 31 − 22 = 6$ логарифмических уравнений из 100, следовательно, вероятность выбрать наугад логарифмическое уравнение равна

6 ---- = 0,06. 100

Ответ: 0,06

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#635

В книге 250 страниц. Ваня прочитал первые 150 страниц и последние 10. При этом известно, что слово “дуэль” встречается в книге 141 раз, причём на первых 150 страницах оно встречается 99 раз, на последних 10 страницах оно встречается 42 раза. Какова вероятность того, что наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова “дуэль”?

Показать ответ и решение

Заметим, что слово “дуэль” уже встречалось Ване $99 + 42 = 141$ раз из 141 возможных раз, то есть на оставшихся страницах книги его нет, тогда условие “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова дуэль” равносильно условию “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной”.

Всего Ваня не прочитал $250 − 150 − 10 = 90$ страниц из 250 страниц этой книги, следовательно, вероятность выбрать наугад непрочитанную страницу равна

-90- = 0,36. 250

Ответ: 0,36

Предыдущий раздел

Следующий раздел