Многогранник, объём которого необходимо найти, является пирамидой, высотой которой является а основание представляет собой прямоугольник Следовательно, искомый объём равен

Данная призма имеет такую же высоту, что и куб. Тогда поскольку куб — это тоже призма, то объём призмы будет во столько раз меньше объёма куба, во сколько раз будет меньше его основание, чем основание куба, ведь для призмы

Заметим, что плоскость проходит по средней линии основания, ведь прямая, проходя параллельно боковому ребру через середину ребра верхнего основания, будет также проходить и через середину ребра нижнего основания. А поскольку средняя линия отсекает четверть площади от треугольника, площадь которого составляет половину площади основания куба, то основание призмы в 8 раз меньше основания куба. Таким образом, объём призмы равен

Так как сфера вписана в куб, то сторона куба равна диаметру сферы. Следовательно, сторона куба равна Тогда объем куба равен

 

Прямая параллельна прямой , тогда угол между и равен углу между и , но и – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно ответ .

По условию имеем:

Кроме того, так как — точка пересечения диагоналей квадрата, и — общая сторона двух треугольников.

Тогда прямоугольные треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, и — равнобедренный.

Далее, точка — середина тогда — высота в треугольнике а — высота в треугольнике Следовательно, — линейный угол искомого двугранного угла.

В имеем:

Тогда — равнобедренный прямоугольный треугольник и

Так как три ребра, выходящие из одной вершины куба, попарно взаимно перпендикулярны, то ребро перпендикулярно плоскости грани и , тогда величина линейного угла совпадает с искомым двугранным углом.

Примем сторону куба за и рассмотрим треугольник : , – диагональ квадрата , а сторону можно найти по теореме Пифагора из треугольника :

Зная все три стороны в треугольнике , можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти косинус искомого угла:

 

 

.

Пусть – пирамида, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды . тоже является правильной пирамидой, так как вершины треугольника являются серединами сторон треугольника , а значит стороны треугольника являются средними линиями треугольника стороны треугольника относятся к соответствующим сторонам треугольника как их площади состоят в отношении . Высота искомой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды их объемы относятся также, как их площади объем искомой пирамиды равен .

По формуле объема шара с радиусом имеем:

Радиус нового шара равен

Тогда найдем площадь поверхности:

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса, обозначить за а длину образующей за то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам:

Из первой формулы получаем:

Из второй формулы получаем:

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей:

Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия треугольников, являющихся осевыми сечениями этих конусов:

Тогда отношение высот конусов равно коэффициенту подобия:

Отсюда найдем высоту малого и усеченного конусов:

Пусть .
 

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника () имеем: .

 

Из прямоугольного треугольника () по теореме Пифагора .

 

Подставляя из первого равенства во второе, получим:

 
Так как – высота пирамиды, то . Заметим, что – проекция наклонной на плоскость . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как ) наклонная перпендикулярна , то есть угол между ними равен .

Построим перпендикулярно как показано на рисунке.
 

 

Так как – квадрат со стороной и и , то . Так как – точка пересечения диагоналей квадрата, то – середина , следовательно, – средняя линия и .
– проекция на плоскость , причем перпендикулярен , тогда по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен и угол между плоскостями и есть .

Заметим, что можно разбить данный многогранник на два непересекающихся прямоугольных параллелепипеда и :
 

 

Тогда объем первого параллелепипеда будет равен , а объем второго . Следовательно, объем всего многогранника будет равен .

Заметим, что тогда рассмотрим треугольник в котором необходимо определить Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов. Так как квадраты между собой равны, то равны и диагонали, следовательно, — равносторонний треугольник. Тогда

 

Проведем диагональ в квадрате . Тогда – средняя линия в – искомый угол. Рассмотрим . Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов треугольник является равносторонним .

 

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора: . Треугольник – прямоугольный, т.к. ( – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти : . Теперь найдем объем пирамиды:

и — прямоугольные треугольники, следовательно,

Таким образом,

Тогда можем найти площадь основания:

Значит,

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Высота тетраэдра падает в точку пересечения медиан равностороннего треугольника (она же является точкой пересечения биссектрис, высот и т.д.; далее в решении задачи нас будет интересовать точка пересечения медиан), лежащего в основании.
 

 

Пусть – правильный тетраэдр, – апофема, лежащая в грани . Она же является медианой, проведенной к стороне . Тогда, если ребро тетраэдра обозначить за , то высота в равностороннем треугольнике выразится как . и – медианы в треугольнике , – точка пересечения и , – высота в тетраэдре. Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, состоящие в отношении , где больший отрезок лежит между соответствующей вершиной треугольника и точкой пересечения медиан. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник : , т.к. все равносторонние треугольники равны между собой и следовательно также равны между собой их высоты. , тогда найдем по теореме Пифагора: . Наконец, найдем объем правильного тетраэдра: