Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.21 Площадь многоугольника: различные формулы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1134

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150∘.$ Боковая сторона треугольника равна $20.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 1 1 SABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠B = 2 ⋅202 ⋅2 = 100

Ответ: 100

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1135

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь прямоугольника равна $S1 =ab,$ площадь параллелограмма равна $S2 = ab⋅sinα.$ Из условия следует, что $2S2 = S1.$ Следовательно:

1 2ab⋅sin α= ab ⇒ sinα = 2 ⇒ α = 30∘

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1136

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $150∘.$ Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна $100.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — боковая сторона треугольника.

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 2 ⋅a2⋅sin30∘ = S = 100 ⇒ a2 = 400 ⇒ a= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1149

Периметр треугольника равен $12,$ а радиус вписанной окружности равен $1.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $S△ = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, то

S△ = 12⋅1= 6 2

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2477

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30∘.$ Боковая сторона треугольника равна $10.$ Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 1 1 SABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠B = 2 ⋅102⋅2 = 25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2478

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30∘.$ Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна 25.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — боковая сторона треугольника.

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,

1 2 ⋅a2⋅sin 30∘ = S = 25 ⇒ a2 = 100 ⇒ a =10

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2497

Около окружности, радиус которой равен $3,$ описан многоугольник, периметр которого равен $20.$ Найдите его площадь.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно $S = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности, то

20 S = 2-⋅3= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#753

В треугольнике $ABC :$ $AC =4,$ $AB = 6,$ $√15 cos∠BAC = -4-.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Из основного тригонометрического тождества: $15 sin2∠BAC = 1− 16,$ тогда $sin∠BAC =±0, 25.$ Так как $∠BAC ∈ (0∘;180∘),$ то $sin∠BAC = 0,25.$

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, тогда площадь треугольника $ABC$ равна

0,5⋅4 ⋅6 ⋅0,25 =3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#754

Периметр треугольника $ABC$ равен $250,$ одна из его сторон равна $120,$ ещё одна сторона равна $17.$ Найдите его площадь.

Показать ответ и решение

$PIC$

Третья сторона треугольника равна $250 − 120 − 17 =113.$ По формуле Герона $∘ ----------------------- S△ABC = p(p − AB )(p − BC )(p− AC),$ где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$ .

Для данного треугольника

∘ --------------------------------- √ ------------ S△ABC = 125⋅(125 − 120)⋅(125 − 17)⋅(125− 113) = 125⋅5⋅12⋅108= √ ------ √---- = 25 12⋅108= 100 3⋅27= 900

Ответ: 900

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#755

В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O,$ при этом $BD =8,$ $tg∠BDC = 3.$ Найдите площадь ромба.

Показать ответ и решение

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, тогда

OD = 1BD = 4, CO- = tg∠BDC = 3 2 OD

$PIC$

Отсюда $CO = 12$ и $AC = 24.$ Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то есть

SABCD = 0,5⋅BD ⋅AC =0,5⋅8⋅24= 96

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#756

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O,$ $∠COD = arcsin0,85,$ $AC = 5,$ $BD = 4.$ Найдите площадь $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, тогда $sin∠COD = sin(arcsin0,85)= 0,85,$ тогда

SABCD = 0,5 ⋅0,85⋅5⋅4 = 8,5

Ответ: 8,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#851

В треугольнике $OBH$ точка $M$ делит сторону $OB$ на отрезки $OM = 4, MB = 28, ∠OHM = ∠OBH.$ Найдите площадь треугольника $OHM,$ если $∠O = 45∘.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольники $OMH$ и $OHB$ подобны по углам, т.к. $∠OHM = ∠OBH,$ а $∠O$ — общий, тогда

OM OH √ - OH--= OB-⇒ OH2 = OM ⋅OB ⇒ OH = 8 2

SOHM = 0,5⋅8⋅√2-⋅4⋅sin45∘ = 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1240

В треугольнике $KDA$ проведена медиана $DB = 3.$ Найдите площадь треугольника $KDA,$ если известно, что $KD = 4, KA = 10.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Способ 1

Медиана $DB$ делит $KA$ пополам, то $KB = 5.$ Так как известны все стороны треугольника $KDB,$ найдем его площадь по формуле Герона:

∘ ------------------- SKDB = 6⋅(6− 3)(6− 4)(6− 5)= 6

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть $SKDB = SADB,$ следовательно,

SKDA = 2⋅SKDB = 12

Способ 2

По обратной теореме Пифагора треугольник $DKB$ — прямоугольный (это треугольник со сторонами 3, 4 и 5). Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, т.е. $1 SDKB = 2⋅3⋅4= 6.$ $DB$ — медиана треугольника $ABC$ , а значит, делит его площадь пополам. Тогда площадь всего треугольника в два раза больше плозади треугольника $DKB$ и равна $6 ⋅2 = 12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2039

В треугольнике $ABC :$ $AD$ — высота, $cos∠DAC = 0,7,$ $AC = 6,$ $BC = 9.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $AD$ перпендикулярна $DC,$ то $sin∠C =cos∠DAC = 0,7.$

0,5 ⋅6 ⋅9⋅0,7 = 18,9

Ответ: 18,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2040

В параллелограмме $ABCD :$ $AB = 6,$ $BC =5,$ $sin∠A + sin∠B + sin ∠C +sin∠D = 3,24.$ Найдите площадь параллелограмма $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют $∘ 180 .$

Так как $sin(π − α)= sinα,$ то $sin∠A + sin∠B + sin∠C + sin∠D = 4sin∠A,$ откуда находим $sin∠A = 0,81.$

Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда

SABCD = 6⋅5 ⋅0,81= 24,3

Ответ: 24,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2041

Найдите площадь треугольника со сторонами $22,$ $√197-$ и $√65.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной $22 :$

$PIC$

Обозначим эту высоту за $h,$ а отрезки, на которые она разбила сторону, за $x$ и $22 − x.$ Запишем теорему Пифагора для двух получившихся прямоугольных треугольников:

{ { 197= h2+ (22 − x)2 197 − 65 =(22− x)2− x2 65= h2+ x2 ⇔ 65 = h2+ x2 ⇔ { { 132 = (22 − x − x)(22− x+ x) x = 8 ⇔ 65= h2+ x2 ⇔ h = 1

Таким образом, площадь этого треугольника равна

1 S = 2 ⋅1⋅22= 11

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2042

Найдите квадрат площади треугольника со сторонами $7,$ $11$ и $6√6.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По формуле Герона квадрат площади треугольника равен

√- ( √ - √-) ( √- ) ( √- ) S2 = 7+-11+-6-6-⋅ 7-+11+-6-6− 6 6 ⋅ 7+-11+-6-6-− 7 ⋅ 7+-11+-6-6-− 11 = 2 2 2 2 7+-11+-6√6- 7+-11−-6√6- 11+-6√6−-7- 7+-6√6−-11- = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1 √- √ - √ - √- = 16 ⋅(18+ 6 6)(18− 6 6)(6 6+ 4)(6 6− 4)= √- √- √ - 2 = 1-⋅62⋅(3+ 6)(3− 6)⋅((6 6)2− 42)= 6-⋅3⋅200 =1350 16 16

Ответ: 1350

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2044

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $√43,$ а один из углов равен $30∘.$ Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. катет, лежащий против угла в $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

4√- AC = 0,5 ⋅AB = 0,5 ⋅ 3

Т.к. $∠A =90∘− ∠B = 60∘,$ то площадь равна

√ - S = 1 ⋅AC ⋅AB ⋅sin60∘ = 1 ⋅0,5 ⋅ 4√3⋅√43-⋅-3= 3 = 0,375 2 2 2 8

Ответ: 0,375

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2045

Дан треугольник $ABC.$ На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $A′$ и $C′$ соответственно. Известно, что $BC ′ = 0,5BC = 4,$ $AB = 14,$ $SABC = 7SA′BC′.$ Найдите $A′B.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника $ABC$ равна

SABC = 0,5⋅14⋅8⋅sin ∠B

Площадь треугольника $A ′BC ′$ равна

SA′BC′ = 0,5⋅A′B⋅4 ⋅sin∠B

Таким образом, имеем равенство:

′ ′ 0,5⋅14⋅8 ⋅sin∠B = 7⋅0,5⋅A B⋅4 ⋅sin∠B ⇔ A B =4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2392

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $50.$ Найдите площадь выпуклого четырехугольника $A′B′C′D′,$ вершины которого — середины сторон параллелограмма $ABCD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Проведем диагонали $AC$ и $BD.$ Так как $A′, B′$ — середины $AB$ и $BC,$ то $A′B′$ — средняя линия треугольника $ABC.$ Следовательно, $A′B′ = 0,5AC.$ Аналогично $C′D′ = 0,5AC,$ $A′D ′ = B′C′ = 0,5BD.$ Следовательно, $A ′B ′C′D′$ — параллелограмм по признаку.