1.21 Площадь многоугольника: различные формулы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна
Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Площадь прямоугольника равна площадь параллелограмма равна
Из условия следует, что
Следовательно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите боковую сторону этого
треугольника, если его площадь равна
Пусть — боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника равен а радиус вписанной окружности равен
Найдите площадь этого треугольника.
Так как где
— полупериметр,
— радиус вписанной окружности, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна
Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите боковую сторону этого
треугольника, если его площадь равна 25.
Пусть — боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около окружности, радиус которой равен описан многоугольник, периметр которого равен
Найдите его площадь.
Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где
— полупериметр, а
— радиус
вписанной окружности, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике
Найдите площадь треугольника
Из основного тригонометрического тождества: тогда
Так как
то
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, тогда площадь треугольника
равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника равен
одна из его сторон равна
ещё одна сторона равна
Найдите его
площадь.
Третья сторона треугольника равна По формуле Герона
где
— полупериметр треугольника
.
Для данного треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ромбе диагонали пересекаются в точке
при этом
Найдите площадь ромба.
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, тогда
Отсюда и
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В выпуклом четырёхугольнике диагонали
и
пересекаются в точке
Найдите площадь
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, тогда
тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике точка
делит сторону
на отрезки
Найдите площадь
треугольника
если
Треугольники и
подобны по углам, т.к.
а
— общий, тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике проведена медиана
Найдите площадь треугольника
если известно, что
Способ 1
Медиана делит
пополам, то
Так как известны все стороны треугольника
найдем его площадь по
формуле Герона:
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть следовательно,
Способ 2
По обратной теореме Пифагора треугольник — прямоугольный (это треугольник со сторонами 3, 4 и 5). Площадь
прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, т.е.
— медиана треугольника
, а
значит, делит его площадь пополам. Тогда площадь всего треугольника в два раза больше плозади треугольника
и равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике
— высота,
Найдите площадь треугольника
Так как перпендикулярна
то
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, тогда площадь треугольника
равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме
Найдите площадь параллелограмма
В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют
Так как то
откуда находим
Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь треугольника со сторонами
и
Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной
Обозначим эту высоту за а отрезки, на которые она разбила сторону, за
и
Запишем теорему Пифагора для двух
получившихся прямоугольных треугольников:
Таким образом, площадь этого треугольника равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите квадрат площади треугольника со сторонами
и
По формуле Герона квадрат площади треугольника равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а один из углов равен
Найдите площадь этого треугольника.
Т.к. катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы, то
Т.к. то площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник На сторонах
и
отмечены точки
и
соответственно. Известно, что
Найдите
Площадь треугольника равна
Площадь треугольника равна
Таким образом, имеем равенство:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь параллелограмма равна
Найдите площадь выпуклого четырехугольника
вершины которого —
середины сторон параллелограмма
Рассмотрим рисунок. Проведем диагонали и
Так как
— середины
и
то
— средняя линия
треугольника
Следовательно,
Аналогично
Следовательно,
— параллелограмм по признаку.
Так как площадь параллелограмма равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними, то
Так как площадь параллелограмма также можно искать как произведение смежных сторон на синус угла между ними, то
Заметим, что как углы с попарно параллельными сторонами. Следовательно,