Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.20 Правильный шестиугольник и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1156

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной √3.

PIC

Показать ответ и решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно S =p ⋅r,  где p  — полупериметр, а r  — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной a  равна     3√3-2
S =  2 a ,  полупериметр равен 3a,  тогда

√ -
3-3- √- 2   √-
 2 ⋅( 3) = 3 3 ⋅r  ⇒   r = 1,5
Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1157

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

PIC

Показать ответ и решение

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

PIC

Так как угол правильного шестиугольника равен    ∘             ∘
180 (6− 2):6= 120,  а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например,                  ∘
∠BAO  = ∠ABO  =60 ,  следовательно, треугольник ABO  — равносторонний. То есть радиус окружности равен   AO  и равен AB.  Так как периметр шестиугольника равен 72,  то его сторона равна 72 :6= 12.  Тогда диаметр описанной окружности равен 2 ⋅12 = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#237

Около правильного шестиугольника ABCDEF  описана окружность с центром в точке O.  Расстояние от точки O  до одной из его сторон равно 4√3.  Найдите радиус этой окружности.

Показать ответ и решение

PIC

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

OK  — высота в треугольнике AOF,  опущенная из O.  Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то        √-
OK  = 4 3.

Пусть R  — радиус описанной окружности, тогда OF = R,  KF = 0,5R  (так как OK  ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора

               √-
R2 = (0,5R)2+ (4 3)2  ⇒   R =8
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#238

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF  равна √43.  Найдите его площадь.

Показать ответ и решение

Пусть O  — центр описанной около ABCDEF  окружности.

PIC

Тогда треугольники AOF,  AOB,  BOC,  COD,  DOE,  EOF  — равносторонние и все они попарно равны.

              2     ∘  AF-2√3
S△AOF  =0,5AF  ⋅sin60 =    4
                       √-   2
 SABCDEF = 6 ⋅S△AOF  = 3-3AF--
                         2

В данной задаче

                    3√3AF 2
SABCDEF = 6⋅S△AOF = ---2--- =4,5
Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#803

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен √12.  Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника радиус r  вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

PIC

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне a.  Тогда из прямоугольного треугольника:

    (  )
a2 = a  2+ r2  ⇒   a = √2-r  ⇒   a= √2-⋅√12-= 4
     2                 3             3

Таким образом, и радиус описанной окружности равен 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#804

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной √108.

Показать ответ и решение

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDF  E  и в нем треугольник ABC.  Параллельными сторонами являются пары    AB  и DF,  BC  и F E,  CD  и EA.

Помним, что угол правильного шестиугольника равен 120∘.

PIC

Треугольник ABC  равнобедренный (AB  =BC  ), следовательно,                ∘    ∘     ∘
∠BAC  =0,5⋅(180 − 120 )= 30 .

Таким образом,            ∘   ∘    ∘
∠CAE  = 120 − 30 = 90 .

Следовательно, AC  — расстояние между сторонами AE  и CD  (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми — отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем AC  по теореме косинусов (AB = BC = a= √108-  ):

                                                (    )
AC2 = a2+ a2− 2a2 ⋅cos120∘ = 2a2(1 − cos120∘) =2 ⋅108 ⋅ 1+ 1 = 3⋅108 ⇒
                         √-----  √ -------          2
                ⇒   AC =  3⋅108=   3⋅3⋅36= 3⋅6 =18
Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#805

К окружности, описанной около правильного шестиугольника ABCDEF,  в точке A  проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой AD.  Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

PIC

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке AD,  то есть AD  — диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и AD  равен 90∘.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2099

Площадь правильного шестиугольника равна 24√3.  Найдите длину его большей диагонали.

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если AB = a,  то AD  =BF  = CE = 2a.

PIC

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна √ -
-43a2,  то площадь всего шестиугольника равна

      √-
      -3-2    √ -
S = 6⋅ 4 a = 24 3  ⇒   a= 4  ⇒   AD  = 2a = 8
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2100

Около правильного шестиугольника ABCDEF  описана окружность с центром в точке O.  Во сколько раз площадь этого шестиугольника больше площади треугольника AOK,  где K  — середина стороны BC.

PIC

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, эти диагонали пересекаются в точке O.  Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, AB = AO = x.

Т.к. треугольник AOB  — правильный, то ∠AOB  = 60∘.  Треугольник BOC  также правильный. Т.к. по условию OK  — медиана в правильном треугольнике BOC,  то она и биссектриса, то есть

        1   ∘    ∘
∠BOK  = 2 ⋅60 = 30

Таким образом,           ∘
∠AOK  = 90 ,  то есть треугольник AOK  — прямоугольный.

PIC

Следовательно,

        1           x
S△AOK = 2 ⋅AO ⋅OK = 2 ⋅OK

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

SABCDEF = 6⋅ 1 ⋅BC ⋅OK = 6⋅ x ⋅OK
            2              2

Таким образом,

SABCDEF- = 6
 S△AOK
Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2101

Около правильного шестиугольника ABCDEF  описана окружность с центром в точке O.  Найдите большую сторону треугольника AOK,  где K  — середина стороны BC  =√7-  шестиугольника ABCDEF.

PIC

Показать ответ и решение

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, AO  — радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, AB = AO = √7.

Т.к. треугольник AOB  — правильный, то ∠AOB  = 60∘.  Треугольник BOC  также правильный. Т.к. по условию OK  — медиана в правильном треугольнике BOC,  то она и биссектриса, то есть

        1   ∘    ∘
∠BOK  = 2 ⋅60 = 30

Таким образом,           ∘
∠AOK  = 90 ,  то есть треугольник AOK  — прямоугольный.

PIC

Следовательно, большая сторона в треугольнике AOK  — это гипотенуза AK.  По теореме Пифагора из треугольника  BOK  (OK  также является в нем высотой):

     ∘ ----------  ∘-√-----(-√-)2   √-  √-
OK =   BO2 − BK2 =  (  7)2−   -7-  = -3-⋅ 7
                             2       2

Таким образом, по теореме Пифагора из треугольника AOK  :

                   ∘ ------(-√-----)2-
AK = ∘AO2--+-OK2-=   (√7-)2 +  -3-⋅√7   = 7= 3,5
                              2         2
Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2505

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен √3.

PIC

Показать ответ и решение

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно S =p ⋅r,  где p  — полупериметр, а r  — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного шестиугольника со стороной a  равна     3√3-2
S =  2 a ,  полупериметр равен 3a,  тогда

 √ -
3--3 2     √-
 2  a = 3a⋅ 3   ⇒   a= 2
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#41921

Периметр правильного шестиугольника равен 150. Найдите диаметр описанной около него окружности.

Показать ответ и решение

Радиус R  описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне a  шестиугольника, значит,

                    150
P = 6a =6R  ⇒   R =  6 = 25

Тогда диаметр равен 2R = 50.

Ответ: 50
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!