1.20 Правильный шестиугольник и его свойства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной
Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где
— полупериметр, а
— радиус
вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной равна
полупериметр равен
тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:
Так как угол правильного шестиугольника равен а большие диагонали являются биссектрисами углов, то,
например,
следовательно, треугольник
— равносторонний. То есть радиус окружности равен
и
равен
Так как периметр шестиугольника равен
то его сторона равна
Тогда диаметр описанной окружности
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около правильного шестиугольника описана окружность с центром в точке
Расстояние от точки
до одной из его
сторон равно
Найдите радиус этой окружности.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.
— высота в треугольнике
опущенная из
Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на эту прямую, то
Пусть — радиус описанной окружности, тогда
(так как
ещё и медиана), таким образом, по
теореме Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона правильного шестиугольника равна
Найдите его площадь.
Пусть — центр описанной около
окружности.
Тогда треугольники
— равносторонние и все они попарно равны.
В данной задаче
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен Найдите радиус описанной около этого шестиугольника
окружности.
По свойству правильного шестиугольника радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра
правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр
падает в середину стороны.
Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне Тогда из прямоугольного
треугольника:
Таким образом, и радиус описанной окружности равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной
Рассмотрим правильный шестиугольник и в нем треугольник
Параллельными сторонами являются пары
и
и
и
Помним, что угол правильного шестиугольника равен
Треугольник равнобедренный (
), следовательно,
Таким образом,
Следовательно, — расстояние между сторонами
и
(по определению расстояние между двумя параллельными
прямыми — отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).
Найдем по теореме косинусов (
):
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
К окружности, описанной около правильного шестиугольника в точке
проведена касательная. Найдите угол между
этой касательной и прямой
Ответ дайте в градусах.
Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на
отрезке то есть
— диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен
касательной, то угол между касательной и
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь правильного шестиугольника равна Найдите длину его большей диагонали.
По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если то
Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна
то площадь всего шестиугольника равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около правильного шестиугольника описана окружность с центром в точке
Во сколько раз площадь этого
шестиугольника больше площади треугольника
где
— середина стороны
По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей.
Следовательно, эти диагонали пересекаются в точке Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне
правильного шестиугольника, следовательно,
Т.к. треугольник — правильный, то
Треугольник
также правильный. Т.к. по условию
—
медиана в правильном треугольнике
то она и биссектриса, то есть
Таким образом, то есть треугольник
— прямоугольный.
Следовательно,
Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:
Таким образом,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около правильного шестиугольника описана окружность с центром в точке
Найдите большую сторону треугольника
где
— середина стороны
шестиугольника
По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей.
Следовательно, — радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного
шестиугольника, следовательно,
Т.к. треугольник — правильный, то
Треугольник
также правильный. Т.к. по условию
—
медиана в правильном треугольнике
то она и биссектриса, то есть
Таким образом, то есть треугольник
— прямоугольный.
Следовательно, большая сторона в треугольнике — это гипотенуза
По теореме Пифагора из треугольника
(
также является в нем высотой):
Таким образом, по теореме Пифагора из треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен
Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно где
— полупериметр, а
— радиус
вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной равна
полупериметр равен
тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр правильного шестиугольника равен 150. Найдите диаметр описанной около него окружности.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен
стороне
шестиугольника, значит,
Тогда диаметр равен