Логика на СПБГУ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На празднике по случаю открытия нового
футбольного сезона за круглым столом разместились 
футбольных фанатов: 
болельщиков команды “Суперорлы” и 
болельщиков
команды “Суперльвы”. Каждый из них заявил: “справа от меня фанат “Суперорлов”. Могло ли среди фанатов “Суперорлов” и фанатов
“Суперльвов” быть поровну лжецов?
Подсказка 1
Пусть среди фанатов “Суперорлов” и фанатов “Суперльвов” поровну лжецов. Тогда что можно сказать про чётность количества лжецов за столом?
Подсказка 2
Лжецов чётно! Теперь подумайте, фанаты каких команд могут сидеть справа от лжецов и от рыцарей?
Подсказка 3
Справа от лжеца может сидеть только фанат команды “Суперльвы”, а от рыцаря — только фанат команды “Суперорлы”. Тогда нечётно ли количество фанатов “Суперльвов”?
Пусть среди фанатов «Суперорлов» и среди фанатов «Суперльвов» по 
лжецов. Тогда всего лжецов ровно 
, т е. фраза «справа от
меня фанат «Суперорлов»» четное число раз была ложью.
Таким образом, четное число раз правым соседом был фанат «Суперльвов». Но такое невозможно, поскольку всего их нечетное число.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На острове живут два племени: племя рыцарей, которые всегда говорят правду, и племя лжецов, которые всегда лгут. На главный праздник за большим круглым столом разместились 2017 островитян. Каждый житель острова произнес фразу: “мои соседи из одного племени”. Оказалось, что двое лжецов ошиблись и случайно сказали правду. Сколько лжецов может сидеть за этим столом?
Заметим, что никакие два рыцаря не могут сидеть рядом, то есть соседи каждого рыцаря - лжецы. Действительно, рассмотрим цепочку сидящих подряд рыцарей, окруженных лжецами. Предположим, что в этой цепочке хотя бы два рыцаря. Соседи крайнего рыцаря - рыцарь и лжец, но это невозможно, поскольку тогда рыцарь солгал. Следовательно, никакие два рыцаря не сидят рядом и соседи каждого рыцаря лжецы.
Назовем тех лжецов, которые не ошиблись, настоящими лжецами. По условию соседи каждого настоящего лжеца из разных племен. Поэтому соседи настоящих лжецов обязательно рыцарь и лжец. Значит, цепочка ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ повторяется до тех пор, пока не натыкается на ненастоящего лжеца. Если до него сидит рыцарь, то после него также рыцарь. Если до него сидит лжец, то и после него сидит лжец. Следовательно, рассадка с ненастоящими лжецами может быть получена из рассадки «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» с помощью либо посадки ненастоящего лжеца между двумя лжецами, либо выходу из-за стола настоящего лжеца (и тогда его соседлжец превратится в ненастоящего). Первое действие увеличивает остаток от деления общего количества сидящих за столом на 1 , второе - уменьшает на 1. Поскольку в рассадке «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» количество островитян делится на 3, а 2017 дает остаток 1 при делении на 3, нам надо остаток 0 дважды уменьшить на 1. Таким образом, надо из рассадки 2019 островитян убрать двоих лжецов. Стало быть, количество лжецов равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На нитке надеты 
бусинок красного, синего и зелёного цвета. Известно, что среди любых шести бусинок, идущих подряд, есть хотя бы
одна зелёная, среди любых одиннадцати, идущих подряд, — хотя бы одна синяя. Какое наибольшее количество красных бусинок может быть
на нитке?
Подсказка 1
Попробуйте посчитать, сколько минимально должно быть синих и зелёных бусинок, чтобы выполнялись условия.
Подсказка 2
Разбив всю нитку на блоки по 11 и по 6 бусин, легко можно сосчитать, что синих бусин не менее 13, а зелёных — не менее 25. Если расставить зелёные бусины по позициям кратным 6, то как стоит расставить синие, чтобы максимальное число мест было занято красными?
Мы можем выбрать ![[150]= 13
11](/api/latex-service/v1/GetSession/195222/index-8b040e606a77a43e0307c61b0077fe5c.svg)
последовательных блоков по 
бусинок. Так как каждый блок содержит хотя бы одну синюю бусинку,
всего на нитке не менее 
синих бусинок. Кроме того, мы можем сгруппировать все бусинки в 
последовательных блоков по 
бусинок. Каждый из блоков содержит хотя бы одну зеленую бусинку, поэтому всего их на нитке не менее 
Значит, число красных
бусинок не больше 
Приведем пример, когда нитка содержит ровно 
красных бусинок. Разместим зеленые бусинки на позициях, кратных 
а синие —
на местах с номерами
Остальные позиции заполним красными бусинками.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На встрече любителей кактусов 
кактусофилов представили свои коллекции, каждая из которых состоит из кактусов разных видов.
Оказалось, что ни один вид кактусов не встречается во всех коллекциях сразу, но у любых 
человек есть кактусы одного и того же вида.
Какое наименьшее общее количество видов кактусов может быть во всех коллекциях?
Покажем, что 16 кактусов могло быть. Занумеруем кактусы числами от 1 до 16 . Пусть у 1-го кактусофила есть все кактусы, кроме первого; у 2-го все, кроме второго кактуса; у 15-го — все, кроме пятнадцатого кактуса; а у кактусофилов с 16-го по 80-го есть все кактусы, кроме шестнадцатого. Тогда у любых 15 кактусофилов найдется общий вид кактусов.
Установим теперь, что у них должно быть больше 15 кактусов. Предположим противное: пусть всего у них 
кактусов. Занумеруем
кактусы числами от 1 до 
. Для кактуса с номером 
найдется кактусофил 
, у которого его нет. Но тогда для кактусофилов
нет кактуса, который был бы у всех. И, тем более, нет такого кактуса, если мы к ним добавим еще нескольких кактусофилов
так, чтобы их количество стало равно 15. Противоречие.
