Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

Задания 2021-22 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95269

Юрист Савва зарабатывает $w$ рублей в час (за полчаса $w∕2$ рублей, за 10 минут $w ∕6$ рублей и т. д.). Савва должен решить, как ему организовать свое питание. Есть три варианта:

1.: ходить в магазин за продуктами и готовить еду самому;
2.: заказывать в интернете продукты с доставкой и готовить еду самому;
3.: заказывать в интернете готовую еду с доставкой.

Стоимость продуктов на один прием пищи как в магазине, так и в интернете (без учета доставки) составляет 600 руб. Стоимость готовой еды при ее заказе в интернете составляет 1200 руб. без учета доставки. Стоимость доставки продуктов или доставки готовой еды составляет 500 руб. Поскольку Савва употребляет только свежие продукты и только что приготовленную еду, он ходит в магазин или заказывает доставку перед каждым приемом пищи. Поход в магазин занимает 30 минут. Готовка еды занимает 45 минут. Временем на сам прием пищи можно пренебречь.

Савва минимизирует экономические издержки, связанные с организацией своего питания. У Саввы есть сбережения, так что ему хватит денег на любой из вариантов при любом $w$ . Для каждого $w ≥ 0$ определите, какой из трех вариантов оптимален для Саввы (если оптимальных вариантов несколько, укажите все).

Показать ответ и решение

Рассчитаем экономические издержки для каждого из трех вариантов.

1: $C1(w)= 600+ w∕2+ 3w∕4= 600+ 5w∕4$ . (Второе и третье слагаемые есть альтернативные издержки времени, потраченного на поход в магазин и готовку соответственно.)

2: $C2(w)= 600+ 500+ 3w ∕4= 1100+ 3w ∕4$ . (Второе слагаемое есть альтернативные издержки времени, потраченного на готовку.)

3: $C3(w)= 1200+ 500 = 1700$

1) Сначала определим, при каких $w$ второй вариант лучше первого. Это так тогда и только тогда, когда $C2(w) <C1(w)$ , то есть $1100 +3w∕4 < 600 +5w ∕4$ , $w ∕2 > 500,w > 1000$ . Соответственно, при $w <1000$ первый вариант лучше второго, при $w = 1000$ издержки одинаковы.

Сравнить варианть 1 и 2 можно и без подсчета всех экономических издержек. Поскольку в обоих вариантах 1, 2 Савва готовит, вариант 2 выгоднее, если стоимость доставки продуктов меньше, чем альтернативные издержки времени, затраченного на поход в магазин, то есть $500< w∕2$ , $w > 1000$ .

2) Теперь определим, при каких $w$ третий вариант лучше второго. Это так тогда и только тогда, когда $C3(w) <C2(w)$ , то есть $1700 <1100+ 3w∕4$ , то есть $w > 800$ . Соответственно, при $w < 800$ второй лучше третьего, при $w = 800$ издержки одинаковы.

Сравнить варианты 2 и 3 можно и без подсчета всех экономических издержек. Поскольку в обоих вариантах 2, 3 Савва платит за доставку, вариант 3 выгоднее, если разница стоимости готовой еды и стоимости продуктов меньше, чем альтернативные

издержки времени, потраченного на готовку, то есть 1200 - $600< 3w ∕4,w > 800$ . 3) Из сравнений выше следует, что второй вариант не оптимален ни при каком $w ≥0$ . Действительно, при $w <1000$ он хуже первого, а при $w > 800$ он хуже третьего. Но для любого $w ≥ 0$ хотя бы одно из двух неравенств $w < 1000,w > 800$ обязательно выполнено. 4) Значит, оптимален либо первый, либо третий вариант. Сравним их. $C1(w)<$ $C3(w)$ при $600+ 5w∕4 <1700,5w ∕4< 1100,w < 880$ . Значит, первый вариант оптимален при $w < 880$ , третий при $w > 880$ , при $w = 880$ они оба оптимальны.

Ответ:

При $w < 880$ - вариант 1;

При $w =880$ - варианты 1 и 3;

При $w >880$ - вариант 3.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95270

В стране Z совокупный спрос описывается уравнением $Y = 250− 100P − 10r$ , где $Y −$ реальный ВВП, $P$ - уровень цен, $r$ - ключевая ставка центрального банка в процентах. Например, если ключевая ставка равна $4%$ , то уравнением совокупного спроса будет $Y = 250− 100P − 10⋅4 = 210 − 100P$ .

В 2120 году краткосрочное совокупное предложение описывалось уравнением $Y = 100P$ ; экономика страны Z находилась в состоянии в состоянии краткосрочного и долгосрочного равновесия. Ключевая ставка была равна $5%$ . В 2121 году началась очередная пандемия, и из-за нарушения цепочек поставок краткосрочное совокупное предложение сократилось до $Y = 100P − 50$ . Потенциальный ВВП не изменился. В 2121 году равновесие в экономике только краткосрочное, оно устанавливается один раз и с учетом действий ЦБ.
a) (7 баллов) Определите годовой темп инфляции в 2121 году, если центральный банк не изменит ключевую ставку.
б) (5 баллов) Предположим, что ЦБ придерживается политики таргетирования инфляции на уровне $5%$ в год. Какую ключевую ставку установит ЦБ в 2121 году, чтобы удержать годовую инфляцию на уровне $5%$ ?
в) (18 баллов) Теперь предположим, что ЦБ заботится не только об инфляции, но и о реальном ВВП. ЦБ выбирает ключевую ставку так, чтобы минимизировать потери в 2021 году от несоответствия инфляции целевому уровню $π⋆ = 5$ , а ВВП - своему потенциальному уровню $Y ⋆ :L = 8(π − 5)2+ (Y − Y ⋆)2$ , где $L −$ потери, $π$ - годовой темп инфляции в 2121 году в процентах. Определите оптимальную ключевую ставку и годовой темп инфляции в 2121 году.

Показать ответ и решение

a) Найдем сначала равновесный уровень цен в 2120 году. Поскольку $r =5$ , имеем $250− 100P − 10⋅5 =100P,200= 200P,P =1$ .

Теперь найдем равновесный уровень цен в 2121 году при $r = 5.250− 100P−$ $50 =100P − 50,250= 200P,P = 5∕4= 1,25$ . Значит, годовая инфляция составит $1,25− 1 π = --1-100% = 25%$ .

б) Ставка $r$ должна быть выбрана так, чтобы равновесный уровень цен составил 1,05 . Значит, $Y = 250 − 100 ⋅1,05− 10r = 100 ⋅1,05− 50,300− 200⋅1,05= 10r,90 = 10r,r = 9$ , ставку нужно повысить до $9%$ .

в) Сначала определим значение потенциального ВВП. Поскольку в 2120 году имело место не только краткосрочное, но и долгосрочное равновесие, потенциальный ВВП $Y⋆$ равен равновесному ВВП в 2120 году, то есть $Y ⋆ = Y = 100P = 100⋅1= 100$ .

Далее можно двигаться двумя способами.

Способ 1. Найдем краткосрочное равновесие при каждом $r.250− 100P − 10r = 100P−$ 50, откуда

P = 300−-10r 200 Y =100300−-10r− 50= 100− 5r 200

От уровня цен перейдем к инфляции в процентах:

300-− 10r π = 100(P − 1)= 100 200 − 100= 50− 5r

Подставляя выражения для выпуска и инфляции, а также значение потенциального выпуска $Y⋆ =100$ в функцию потерь, получаем

( ) L(r) = 8(50− 5r− 5)2+(100− 5r− 100)2 = 8(45− 5r)2+(5r)2 =25 8(9− r)2 +r2 .

Центробанк минимизирует функцию $L (r)$ . Приравняем производную к нулю:

L′(r)= 50(− 8(9 − r)+ r)= 0 −72 +9r =0 r = 8

$L′(r)$ возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума.

Также можно заметить, что функция потерь квадратичная, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке $r =8$ .

Наконец, найдем уровень инфляции при $r = 8:π =50 − 5 ⋅8 = 10$ .

Способ 2. Сначала найдем, какой темп инфляции (или уровень или уровень выпуска) оптимален для ЦБ (с учетом его заботы о ВВП), и затем определим, какая ставка $r$ реализует данный темп инфляции (или уровень цен или уровень выпуска). 1) Независимо от действий ЦБ выполнено уравнение предложения $Y = 100P − 50$ , которое в терминах инфляции можно переписать как $Y = 100(1 +π∕100)− 50= 50+ π$ . Значит, мы можем получить выражение для потерь в зависимости от инфляции $π$ :

L(π)= 8(π− 5)2 +(50+ π − 100)2 = 8(π − 5)2+ (π− 50)2

Минимизируя эту функцию, получаем $L′(π)= 2(8π− 40+ π− 50)= 0$ , откуда $π = 10.L′(π)$ возрастает (меняет знак с минуса на плюс), а значит, найденная точка является точкой минимума. Также можно заметить, что функция потерь квадратичная, ветви параболы направлены вверх, поэтому минимум будет достигаться в вершине параболы, которая также находится в точке $π = 10$ .

Ответ:

а) $25%$

б) $9%$

в) Оптимальная ключевая ставка составит $8%$ , темп инфляции - $10%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95271

В стране есть три региона, КПВ которых описываются уравнениями $y1 = 10 − x1$ , $y2 = 2(10− x2),y3 = 3(10 − x3)$ . Изначально страна открыта для свободной торговли. На мировом рынке валютой является тугрик. На мировом рынке можно купить или продать любые количества товаров по ценам $px = 30$ тугриков (цена товара икс), $py =$ $= 20$ тугриков (цена товара игрек). До торговли у страны нет тугриков.

Во всех пунктах задачи укажите на рисунках координаты точек пересечения КПВ (КТВ) с осями и координаты точек излома КПВ (КТВ).
a) (6 баллов) Постройте КПВ страны.
б) (8 баллов) Постройте кривую торговых возможностей (КТВ) страны на том же рисунке, что и в а). (КТВ является верхней границей множества наборов ( $X, Y$ ), доступных для потребления страной после производства и торговли.)
в) (16 баллов) Против страны введена торговая санкция по следующему правилу: внешнеторговый оборот страны (сумма стоимости импорта и экспорта) не может превышать 960 тугриков. Постройте новую КТВ страны на новом рисунке.

Показать ответ и решение

a) Складывая КПВ регионов стандартным образом, получаем, что КПВ страны есть ломаная, соединяющая точки $(0;60),(10;50),(20;30)$ и $(30;0)$ . КПВ имеет следующий вид:

$PIC$

Рис. 1 КПВ страны. КТВ в пункте б)

б) Способ 1 (через сравнение А.И. и пропорции обмена). Пропорция обмена на мировом рынке равна $20:30= 1:1,5$ , одну единицу товара икс можно купить за 1,5 единицы товара игрек. Для максимизации потребления товара игрек при данном количестве товара икс нужно производить икс только в тех регионах, где альтернативные издержки его производства меньше, чем его цена (в единицах игрека) на мировом рынке. Альтернативные издержки производства товара икс в каждом регионе равны номеру региона. Поскольку $1< 1,5< 2 < 3$ , производить товар икс нужно только в первом регионе.

Таким образом, страна будет производить $X = 10$ единиц товара икс и $Y = 20+$ $30= 50$ единиц товара игрек. Стартуя в этой точке, страна сможет обменивать икс на игрек в пропорции $1:1,5$ . Значит, КТВ является отрезком прямой с наклоном $(− 1,5)$ , проходящей через точку ( $10;50$ ). Несложно установить, что эта прямая пересекает ось икс при $x = 43+ 1∕3$ , ось игрек при $y = 65$ . (Ее уравнение $Y = 65− 1,5X$ или $3X + 2Y = 130$ .)

Способ 2 (геометрический). Геометрически международная торговля представляет собой движение вдоль некой прямой $l$ . Эта прямая имеет наклон, соответствующий пропорции обмена, в нашем случае $− px∕py = −1,5$ , и проходит через точку $(X0,Y0)$ , соответствующую объемам производства (точка ( $X0,Y0$ ) должна лежать на или под КПВ.) КТВ будет соответствовать той из этих прямых, что лежит выше других. Проводя разные такие прямые одном на рисунке с КПВ (они изображены на рис. 7.1 светло-серым цветом), видим, что выше других лежит прямая, проходящая через точку (10;50). Это и есть искомая КТВ. Зная ее наклон, находим точки пересечения с осями.

Способ 3 (через максимизацию выручки). Этот способ близок к способу 2. Представим себе, что вместо того, чтобы продавать один товар и покупать другой, потребляя в итоге набор $(X1,Y1)$ , страна сначала продает на мировом рынке все произведенные единицы обоих товаров, а затем на полученные тугрики покупает потребительский набор $(X1,Y1)$ . Те единицы, которые не торговались на мировом рынке в первом случае, во втором случае страна продает и покупает назад. Поскольку цены для покупки и продажи одинаковы, с помощью второй процедуры можно получить ровно те же наборы, что просто в результате торговли. Но во втором случае потребление товаров будет максимально (например, максимально потребление товара игрек при данном количестве товара икс), если «потребительский бюджет» страны будет максимален. А он равен выручке. Это рассуждение приведено здесь для полноты. От участника олимпиады это рассуждение не требуется, участник может максимизировать выручку без обоснования.

Выручка страны в тугриках равна $30X + 20Y$ . Максимизируя ее графическим способом (проводя разные кривые одинаковой выручки $30X + 20Y =$ const, на рис. 7.1 они светло-серые), получаем, что максимальная выручка достигается, если производить $X = 10$ единиц товара икс и $Y = 20+ 30= 50$ единиц товара игрек. Выручка будет равна $30⋅10 +20⋅50 =1300$ Линия максимальной выручки $30X + 20Y = 1300(3X + 2Y = 130)$ и будет искомой КТВ. Из уравнения находим точки пересечения с осями.

Кроме того, выручку можно максимизировать и аналитически, подставляя в функцию выручки $30X +20Y$ аналитическое выражение для КПВ $Y (X )$ и максимизируя выражение $30X +20Y (X )$ по $X$ . в) Поскольку для максимизации потребления стоимость импорта должна быть равна стоимости экспорта (если бы стоимость экспорта была больше, было бы лучше часть товаров не экспортировать, а потреблять), данная санкция эквивалентна тому, что стоимость импорта не может превышать $960∕2 =480$ тугриков и стоимость экспорта не может превышать $960∕2 = 480$ тугриков.

Следовательно, импорт и экспорт товара икс не может превышать $480∕30= 16$ единиц, импорт и экспорт товара игрек не может превышать $480∕20 =24$ единицы, причем достаточно рассмотреть только ограничения по товару икс, ограничения по товару игрек автоматически следуют из того, что стоимости экспорта и импорта равHы.

При производстве $X = 10$ единиц страна сможет экспортировать не больше $10 <16$ единиц товара икс, так что ограничение повлияет на КТВ страны только при импорте товара икс. Значит, отрезок $(0;65)− (10;50)$ старой КТВ принадлежит и новой КТВ.

Стартуя в точке $(10;50)$ , страна сможет сдвинуться вправо вдоль старой КТВ (полученной в пункте б) только на расстояние 16 по оси икс. При $X = 10+ 16= 26$ объем потребления товара игрек равен $50− 24= 26$ . Отрезок $(10;50)− (26;26)$ будет принадлежать новой КТВ.

При $X > 26$ страна уже не сможет обеспечить объемы потребления товара игрек, как в б). Чтобы потреблять более 26 единиц товара икс, стране придется увеличивать производство товара икс. При этом, поскольку альтернативные издержки производства икс будут больше 1,5 , оптимальным является использование возможностей торговли по максимуму, то есть страна будет импортировать 16 единиц товара икс и экспортировать 24 единицы товара игрек. Значит, КТВ при $X > 26$ будет получаться путем сдвига части КПВ правее точки $(10;50)$ на вектор $(16;− 24)$ .

Таким образом, новая КТВ будет иметь вид:

$PIC$

Рис. 2 КТВ в пункте в)

Это ломаная линия, соединяющая точки $(0;65),(26;26),(36;6)$ и $(38;0)$ . (Координата 38 получена так: последний участок КТВ имеет наклон 3 и проходит через точку ( $36;6$ ), значит он пересекает ось $x$ при $X = 36 +6∕3 =38$ .) г) Поскольку при оптимальном поведении страна тратит всю валютную выручку от экспорта на импорт, стоимость импорта равна стоимости экспорта, и две санкции абсолютно эквивалентны. КТВ будет такой же, как и в пункте в), ответ не изменится.

Ответ:

Требуемые графики предоставлены в решении

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95272

Функция спроса на продукцию монополиста описывается уравнением $Q = 10$ - $P$ , а средние издержки постоянны и равны 2 . Государство вводит потолок цены в размере $x$ . Ограничение цены, однако, не является жестким. Если фирма нарушает условие о потолке цены, то она должна заплатить штраф в размере 9, при этом переустанавливать цену не нужно. Если фирма безразлична между несколькими разными ценами, она назначает меньшую из них.

Для каждого $x ≥ 0$ найдите цену $⋆ P (x)$ , которую установит фирма. Постройте график функции $P⋆(x)$ .

Показать ответ и решение

Сначала найдем, какую цену устанавливала бы фирма в отсутствие ограничения цены. Прибыль монополиста равна $π(P) = (10− P)(P − 2)$ , это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $P = 6$ , при этом объем выпуска равен $Q = 4$ , а значение прибыли равно 16. Такой же результат можно получить, приравнивая $MR = 10− 2Q$ и $MC = 2$ или максимизируя функцию прибыли от $Q :π(Q)= (10− Q)Q − 2Q$ .

Если фирма установит оптимальную для себя цену и заплатит штраф, то ее прибыль будет равна $16− 9= 7$ . Если следование ограничению цены приводит к меньшей прибыли, то выгоднее платить штраф.

Рассчитаем оптимальную цену и прибыль фирмы, если фирма подчиняется потолку цены $x$ .

Случай 1: $x≥ 6$ . Если потолок цены не заставляет фирму снижать цену, то для фирмы ничего не поменяется она установит цену $P ⋆ = 6$ . Прибыль при этом будет равна 16 .

Случай 2: $2≤ x< 6$ . В этом случае фирме придется снижать цену (или платить штраф), но, подчинившись, она всё еще может получать неотрицательную прибыль. Эта прибыль будет равна $(10− x)(x− 2)$ .

Случай 3: $x< 2$ . В этом случае фирме невыгодно работать на рынке, так как цена ниже ее средних издержек.

Очевидно, что в случае 1 фирма не будет платить штраф (потому что ее оптимальная цена ничего не нарушает), а в случае 3 - будет (потому что иначе прибыль отрицательная). Что касается случая 2 , то решение фирмы зависит от $x$ : если он достаточно низок, чтобы прибыль фирмы с ним была меньше 1200 , то выгоднее заплатить штраф, иначе нужно следовать ограничению. Найдем значения $x$ , при которых штраф выгоднее:

(10 − x)(x− 2)< 7 x< 3 или x > 9

Интервал $x > 9$ не подходит, потому что тогда потолок ничего не ограничивает (случай 1). Получается, что при потолке ниже 3 (в том числе ниже 2) фирма будет платить штраф и устанавливать цену 6 , при потолке от 3 до 6 она будет следовать ограничению, а при потолке от 6 и выше будет просто вести себя как обычно. Запишем функцию $⋆ P (x)$ аналитически и построим график:

Ответ:

$( |{ 6, если x <3; P ⋆(x)= x, если 3 ≤x < 6 |( 6, если x ≥6.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел