Тема Региональные этапы ВСОШ прошлых лет

Задания 2020-21 года

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#95250

Рынок медицинских масок в стране Z совершенно конкурентный. Функция издержек фирмы, если она вошла на рынок, задается уравнением $T C(q) =q2 +4$ , где $q−$ количество масок, произведенное данной фирмой (в тыс. шт.). Если фирма не входит на рынок, ее прибыль равна нулю. В краткосрочном равновесии число фирм на рынке фиксировано. В долгосрочном равновесии число фирм определяется таким образом, что каждой фирме безразлично, входить на рынок или нет.
a) (14 баллов) Изначально рыночный спрос на маски задавался уравнением $Q0(P) =$ $= 40− P$ и рынок находился в состоянии долгосрочного равновесия. Найдите рыночные цену, объем и количество фирм в этом равновесии.
б) (6 баллов) В связи с пандемией спрос на маски резко вырос - до $Q1(P)= 400− P$ . Однако в краткосрочном периоде новые фирмы не успели войти на рынок, чтобы удовлетворить возросший спрос, и число фирм осталось таким же, как в пункте а). Найдите рыночные цену и объем в новом краткосрочном равновесии.
в) (10 баллов) С течением времени спрос остался на уровне $Q1(P) = 400 − P$ , однако на рынок вошли новые фирмы, желающие заработать. Установилось новое долгосрочное равновесие. Найдите рыночные цену, объем и количество фирм в этом равновесии.

Показать ответ и решение

a) Способ 1. Типичная фирма максимизирует прибыль

π(q) =P q− q2− 4→ max q≥0

Графиком этой квадратичной функции является парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $q⋆(P)= 0,5P$ (это не что иное, как функция предложения каждой вошедшей на рынок фирмы). Заметим, что при оптимальном поведении фирмы её прибыль обращается в ноль при цене $P = 4$ :

2 2 maxπ(q)= π(0,5P)= P ⋅0,5P − (0,5P) − 4= 0,25P − 4 =0.

Значит, именно такая цена сложится в долгосрочном равновесии. Потребители захотят купить по этой цене $Q0(4)= 36$ единиц продукции, тогда как каждая действующая на рынке фирма произведёт по $q⋆(4)= 2$ единицы; значит, на рынок войдёт $Q0(4)∕q⋆ = 18$ фирм.

Способ 2. Вспомним, что долгосрочное равновесие на совершенно конкурентном рынке определяется условием $P = MC = AC$ ; заметим, что $MC$ возрастают, поэтому данное условие может быть применено.

Имеем $′ MC =T C (q)= 2q,AC = TC∕q =q +4∕q$ . Из условия $MC = AC$ получаем $⋆ 2q =q +4∕q,q = 2$ , значит $⋆ P = MC =2q = 4$ . Потребители по этой цене захотят купить $Q (4)= 36 0$ единиц продукции; значит, на рынок войдёт $Q0(4)∕q⋆ = 18$ фирм.

Способ 3 отличается от способа 2 лишь тем, как получается $q⋆ = 2$ . А именно, $q⋆ = 2$ можно найти из задачи минимизации средних издержек, $AC = q +4∕q → min$ , $AC ′ =1 − 4∕q2 = 0$ , производная меняет знак с минуса на плюс, $q⋆ = 2$ . Тот же ответ можно получить из неравенства о средних.

б) В пункте а) было установлено, что функция предложения каждой фирмы имеет вид $⋆ q = 0,5P$ ; рыночное предложение составит $⋆ QS =18q = 9P$ . Тогда в новом краткосрочном равновесии $Q1(P)= QS (P )$ , или $400− P = 9P$ , откуда $P = 40Q =360$ .

в) В пункте а) получено, что в долгосрочном равновесии $P =4$ , вывод это цены не зависит от функции спроса. Потребители по этой цене захотят купить $Q1(4)= 396$ единиц продукции, каждая фирма произведёт по $q⋆(4)= 2$ единицы; значит, на рынке будет $Q1∕q⋆ = 198$ фирм.

Ответ:

а) $P = 4,Q = 36,N = 18$

б) $P = 40,Q = 360$

в) $P = 4,Q = 396,N = 198$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95253

Фирма-монополист работает на рынке со спросом $qd = 15− p$ , а производство каждой единицы продукции обходится фирме в 5 д.е. Фирма облагается налогом на прибыль по ставке $20%$ (естественно, только в случае, если прибыль положительна), но у фирмы есть возможность задекларировать вместо фактической прибыли какуюто меньшую величину и тем самым уклониться от налога. Однако уклонение не является бесплатным: чтобы не платить налог с $x$ д.е. прибыли, необходимо понести затраты в размере $2 0,01x$ д.е. Оплата услуг по уклонению от налога «неофициальна»: фирма не отражает сумму $0,01x2$ в своих издержках, оплачивая её неформально из своей чистой прибыли, т.е. после уплаты налога.
a) (6 баллов) Какую чистую прибыль получит фирма, если она не будет уклоняться от уплаты налога?
б) (12 баллов) Какую настоящую чистую прибыль (с учётом издержек на уклонение) получит фирма в случае уклонения от налога? Фирма выбирает уровень уклонения $x$ оптимальным образом.
в) (12 баллов) Предположим, государство заинтересовано собрать как можно больше налогов (зная об уклонении, но не имея возможности с ним бороться). После того как государство выбирает ставку налога, фирма выбирает выпуск и уровень уклонения от налога. Какую ставку налога на прибыль следует установить государству?

Показать ответ и решение

a) Фирма максимизирует чистую прибыль:

πnet(q) =(1− t)π0(q)= (1− 0,2)((15− q)q − 5q)= 0,8 (10q− q2)→ max q≥0

Функция прибыли является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина в точке $q⋆ = 5$ ; прибыль до вычета налога составит $π0 = 25$ ; чистая прибыль (после вычета налога) составит $πnet =20$ .

б) Фирма заработает прибыль $π0(q)$ , затем задекларирует прибыль на уровне $π0(q)− x$ , после чего заплатит с этой величины налог, равный $t(π0(q)− x)$ , и ещё неофициальным образом оплатит услуги по уходу от налога $0,01x2$ . Таким образом, целевая функция фирмы примет вид

( ) πnet(q,x)= π0(q)− t(π0(q)− x)− 0,01x2 = (1− t)π0(q)+tx−0,01x2 = 0,8 10q− q2+0,2x−0,01x2

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратичных функций, ветви парабол направлены вниз, вершины в точках $⋆ q = 5$ (выпуск по сравнению с пунктом а) не меняется) и $⋆ x = 10$ . «Настоящая» чистая прибыль фирмы составит $πnet = 21$ .

в) Аналогично пункту б), целевая функция фирмы имеет вид

2 ( 2) 2 πnet(q,x)= (1 − t)π0(q)+ tx− 0,01x = (1− t) 10q− q +tx − 0,01x

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратных парабол с ветвями вниз и вершинами в точках $q⋆ = 5$ (выпуск по сравнению с пунктом а) не меняется) и $x⋆ = 50t$ . (Строго говоря, $x⋆ =min {50t;π0(q⋆)}$ .)

Налоговые поступления (доля $t$ от декларируемой прибыли), если они больше нуля, составят

T(t)= t(π (q)− x) =t(π (5)− x⋆(t))= t(25 − 50t) 0 0

Государство максимизирует эту функцию по $t∈ [0;1]$ . Функция $T(t)$ квадратичная, ветви параболы направлены вниз, вершина в точке $t⋆ = 0,25$ .

Ответ:

а) $πnet = 20$

б) $πnet = 21$

в) $t⋆ = 25%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95257

В закрытой экономике потребители расходуют две трети от своего располагаемого дохода и вдобавок - при любом значении располагаемого дохода - еще 10 д.е., составляющих автономное потребление. Инвестиции постоянны и равны 40 д.е. В стране взимаются только подоходные налоги по ставке $25%$ ; аккордных налогов и трансфертных платежей нет. Известно также, что потенциальный ВВП этой экономики составляет 300 д.е. Правительство, реализуя свою фискальную политику, может воздействовать только на государственные закупки.
a) (20 баллов) На каком уровне следует установить госзакупки (без изменения текущей ставки подоходного налога), чтобы в экономике установился потенциальный ВВП? А чтобы в экономике был сбалансированный госбюджет?
б) (10 баллов) Теперь предположим, что правительство преследует две цели одновременно и выбирает некий компромиссный вариант. Вторая цель для правительства в 4 раза более важна, чем первая, и потому потери правительства от несоответствия выпуска своему потенциальному значению и от несбалансированного бюджета определяются как

L = (Y − Y ⋆)2+ 4⋅s2

где $Y$ - фактический ВВП, $⋆ Y$ - потенциальный ВВП, $s$ - сальдо госбюджета. Чему будут равны госзакупки, если правительство будет принимать решение, минимизируя свои потери?

Показать ответ и решение

a) Поскольку экономика закрытая, $Ex = Im = Xn = 0$ , и ВВП будет равен $Y =$ $= C + I + G$ . По условию $C = CA+ mpc ⋅Yd = 10+ (2∕3)⋅Yd$ . В силу отсутствия аккордных налогов и трансфертов $T =tY = 0,25Y$ и $Yd = Y − T = 0,75Y$ . Учтя, что $I = 40$ , составим уравнение

Y =10 +(2∕3)⋅0,75Y +40 +G

Выразив выпуск, получим $Y = 100 +2G$ . Для достижения потенциального ВВП, или формально $⋆ Y1 =Y$ , должно выполняться $100 +2G1 = 300$ , откуда $G1 = 100$ . Сальдо бюджета определяется как разница между доходами бюджета и расходами бюджета:

s= tY − G = 0,25(100+ 2G)− G = 25− 0,5G

Чтобы бюджет был сбалансирован, сальдо должно равняться нулю: $25− 0,5G = 0 2$ , откуда $G = 50 2$ .

б) Подставим в задачу правительства найденные ранее $Y = 100+ 2G$ и $s =25 − 0,5G$ :

L(G)= (Y(G)− Y⋆)2+s2(G )= (100+2G −300)2+4 (25−0,5G)2 = 5(G2− 180G +8500)→ min G ≥0

Целевая функция является квадратичной, ветви параболы направлены вверх, минимум достигается в вершине: $G⋆ = 90$ .

Ответ:

а) $G1 = 100,G2 = 50$

б) $G⋆ = 90$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95261

На острове Паабалор есть два племени, живущие охотой и собирательством. Племена потребляют мясо $(x)$ и плоды $(y)$ ) Уравнения и графики КПВ имеют вид:

a) (8 баллов) Какое максимальное количество плодов может быть собрано на острове, если всего нужно добыть 3 единицы мяса?
б) (8 баллов) Какое максимальное количество плодов может быть собрано на острове, если всего нужно добыть 5 единиц мяса?
в) (14 баллов) Определите уравнение КПВ острова.

Показать ответ и решение

a) Найдем, как нужно разделить обязанности племен по добыче 3 единиц мяса, чтобы в итоге количество собранных плодов было максимально, то есть решим задачу

y1+ y2 = 6− x21− x22∕8 → max

при условии $x1 +x2 =3$ , а также $x1 ∈ [0;2],x2 ∈ [0;4]$ . Подставляя в целевую функцию $x2 = 3− x1$ , получаем задачу

6− x21− (3− x1)2∕8 → max

При этом найти максимум этой функции надо на отрезке [0;2], так как первое племя не может добыть больше 2 единиц мяса. При этом производство второго племени будет изменяться от 1 до 3 . Эти количества для второго племени возможны, так что дополнительных ограничений не возникает. Находя вершину этой параболы с ветвями вниз, получаем, что $x⋆= 1∕3 1$ , что принадлежит отрезку [0;2]. Значит, это и есть искомый максимум. Второе племя будет производить $3 − 1∕3= 8∕3$ единиц мяса. Общее количество собранных плодов при этом равно $6 − (1∕3)2− (8∕3)2∕8= 5$ .

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по $x2$ функцию $6 − (3− x2)2 −$ $− x22∕8$ . Оптимизировать нужно на отрезке $[1;3]$ , так как $x2 ≤3$ в силу ограничения на общее количество мяса и $x1 ≥ 0$ , и $x2 ≥1$ в силу ограничения на общее количество мяса и $x1 ≤2$ .

Кроме того, точку $⋆ x1 = 1∕3$ можно получить, приравнивая производную целевой функции к нулю, или, что эквивалентно, приравнивая альтернативные издержки производства для двух племен. Для первого племени альтернативные издержки равны $||( 2)′|| |4− x1 |= 2x1$ , для второго $||( 2 )′|| −| 2− x2∕8 |= x2∕4$ .

б) Теперь нужно решить задачу

y1+ y2 = 6− x21− x22∕8 → max

при условиях $x1 +x2 =5,x1 ∈ [0;2],x2 ∈[0;4]$ . Аналогично пункту а), получаем задачу

6− x21− (5− x1)2∕8 → max

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племени надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой функции мы будем искать на отрезке [1;2]. Вершиной данной параболы с ветвями вниз является точка $x = 5∕9< 1 1$ , и значит, максимум будет достигаться на краю отрезка, в точке $x⋆= 1 1$ . Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по $x2$ функцию 6 - $(5 − x2)2$ $− x22∕8$ . Оптимизировать нужно на отрезке $[3;4];x2 ≥ 3$ в силу ограничения на общее количество мяса и $x1 ≤2$ .

Кроме того, решение $x⋆1 = 1$ можно получить, если заметить, что производная целевой функции $2 2 6− x1− (5− x1) ∕8$ отрицательна на отрезке [1;2], или, что эквивалентно, для любого $x1 ∈ [1;2]$ альтернативные издержки добычи мяса первым племенем в точке $x1$ больше, чем альтернативные издержки добычи мяса вторым племенем в точке $5− x1$ .

в) КПВ есть не что иное, как график функции, показывающей, какое максимальное количество Игрека можно произвести, если всего требуется произвести $X$ единиц Икса. Две точки на КПВ острова мы уже нашли - (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти остальные, решив ту же задачу максимизации уже для произвольного значения $X$ , то есть

Y = y1+ y2 = 6− x21− x22∕8 → max

при условиях $x1+ x2 =X, x1 ∈ [0;2],x2 ∈ [0;4]$ . Ясно, что $X ∈ [0;6]$ . Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

2 2 6− x1− (X − x1) ∕8→ max

где $X$ - параметр. Если $X ≤ 4$ , эту задачу надо решать на отрезке $[0;2]$ - для любого $x1 ∈ [0;2]$ , второе племя сможет произвести $X − x1$ . Если же $X > 4,x1 ∈ [X − 4;2]$ , так как первое племя должно будет произвести минимум $X − 4$ единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз $6− x21− (X − x1)2∕8$ находится в тотiле $x1− X∕9$ .

Случай 1. $X ≤4$ , и поэтому $x1 ∈ [0;2].X ∕9$ принадлежит этому отрезку для любого $X ≤ 4$ , а значит, $⋆ x1(X )= X∕9$ будет решением задачи. Тогда $2 2 Y = 6− (X∕9) − (8X ∕9) ∕8=$ $2 = 6− X ∕9$ .

Случай 2. $X ∈(4;6]$ , и поэтому $x1 ∈ [X − 4;2]$ . $X ∕9$ принадлежит этому отрезку при $X∕9≥ X − 4$ , или $X ≤4,5$ . Значит, решением будет

{ x⋆(X) = X∕9, X ≤ 4,5 1 X − 4, X > 4,5

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого отрезка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При $X > 4,5$ максимальное количество собранных плодов будет равно

Y = 4− (X − 4)2+ 0= 4− (X − 4)2

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

{ 6− X2∕9, X ≤ 4,5 Y = 4− (X − 4)2, 4,5 ≤ X ≤6

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по $x2$ и обобщая анализ в пунктах а) и б). При $X < 2$ максимизацию по $x2$ нужно проводить на отрезке [0;4], а при $X ≥ 2−$ на отрезке $[X − 2;4]$ . Граничное значение $X = 4,5$ определяется из условия $8X ∕9 = 4$ .

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа альтернативных издержек. При $X ≤ 4,5$ является доступным распределение $(x1,x2)=$ $(X∕9,8X ∕9)$ , при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума. При $X > 4$ это распределение не является доступным, так как $8X∕9> 4$ . При оптимизации по $x1$ производная целевой функции отрицательна на отрезке $[X − 4;2]$ альтернативные издержки первого племени больше в точке $x1$ , чем альтернативные издержки второго племени в точке $X − x1$ - и потому оптимальным является минимальное значение $x1$ , то есть $X − 4$ .