3.10 Прямоугольный параллелепипед
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами и
. Найдите его диагональ.
Пусть .
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (
) имеем:
.
Из прямоугольного треугольника (
) по теореме Пифагора
.
Подставляя из первого равенства во второе, получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному
ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна . Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны и
, а ребра другого равны
и
. На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь
поверхности второго параллелепипеда, если
.
Площадь полной поверхности первого параллелепипеда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед, основания и
которого являются квадратами
со стороной
. Пусть
– точка пересечения диагоналей грани
,
– точка пересечения
диагоналей грани
. Найдите
.
Так как , то грани
и
равны, следовательно, и их диагонали
равны, значит,
. Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся
пополам, то
. Рассмотрим
: в нем
является средней
линией, следовательно, она равна половине основания
, которое в свою очередь является
диагональю квадрата
, следовательно, равно
. Следовательно,
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник . Эту призму
вписали в прямоугольный параллелепипед
так, что все вершины обоих оснований
призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем
и
лежат на
и
соответственно, а точки
и
– на сторонах
и
соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?
Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит
прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, ) параллельны боковым ребрам
призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в
одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть
– длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника . Так как
– прямоугольник, то есть
, то
. Заметим также, что вообще говоря
, а
.
Пусть – сторона шестиугольника. Его угол равен
, следовательно, по теореме косинусов:
Значит,
Площадь правильного шестиугольника равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12.
Найдите разность между площадью квадрата со стороной
и суммой площадей
квадратов со сторонами
,
,
.
Обозначим ,
,
, тогда площадь полной поверхности
равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– прямоугольный параллелепипед,
,
,
. Точка
–
середина
. Пусть
– периметр треугольника
. Найдите
Так как – прямоугольный параллелепипед, то
– проекция
на
, тогда по теореме Пифагора
Так как – прямоугольный параллелепипед, то по теореме Пифагора
Аналогично по теореме Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде :
,
,
.
Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда из точки
в точку
?
Если мы повернем грань вокруг
, так чтобы она оказалась в одной плоскости с гранью
, а точки
и
оказались на продолжении отрезков
и
за точки
и
соответственно, то получим следующую фигуру:
Очевидно, что кратчайшее расстояние от точки до точки
будет равно длине диагонали
.
Так как
, то
является диагональю квадрата
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде :
,
,
. Чему равна
сумма всех ребер параллелепипеда?
Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый
отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника:
,
,
. Из этих уравнений можно найти
неизвестные стороны параллелепипеда:
;
;
.
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде ребер – по
каждого
вида. Тогда сумма всех ребер будет равна:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны и
, а боковое ребро равно
. Найдите наибольшую площадь его грани.
Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел
, то есть
,
или
. Среди этих произведений наибольшим является
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны 185, 185 и 37; а ребра другого равны 185, 37 и 37. Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?
Отношение их объемов равно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани равна
, а
. Найдите
диагональ параллелепипеда.
Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе
диагонали равны. Следовательно, . Рассмотрим диагональ
и диагональ
параллелепипеда
. Треугольник
прямоугольный, так как ребро
перпендикулярно
грани
(по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед . Во сколько раз объем пирамиды
меньше объема этого параллелепипеда?
Пусть ,
,
. Тогда объем параллелепипеда равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде известно, что
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются
точки
Способ 1.
Заметим, что объем многогранника, вершинами которого являются
точки в два раза меньше объема прямоугольного
параллилепипеда, поскольку это призма с основанием, в два раза меньше, чем у
параллелепипеда.
Тогда — искомый объём,
— объём параллелепипеда:
Способ 2.
Полученный многогранник представляет из себя прямую призму с основаниями
и
объём которой вычисляет ся по формуле
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
От прямоугольного параллелепипеда отсекли многогранник, вершинами которого являются точки
Найдите объём оставшейся части, если объём отсечённой части равен 8.
Запишем выражение для объёма пирамиды который по условию равен 8:
Отсюда получаем
Заметим, что Найдём объём всего параллелепипеда:
Тогда объём оставшейся части равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
прямоугольного параллелепипеда
у которого
— пирамида с основанием
и высотой
так как
Объем пирамиды вычисляется по формуле
где — площадь основания,
— высота, проведенная к основанию.
Найдем высоту пирамиды и площадь основания пирамиды:
Тогда объем пирамиды равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины
C,
прямоугольного параллелепипеда
у которого
Многогранник — это пирамида с основанием
и высотой
Объем пирамиды можно найти по формуле
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде известно, что
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются
точки
Многогранник — призма с основанием
и высотой
Объем призмы можно найти по формуле
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер:
Найдите синус угла между прямыми
и
Прямые и
— скрещивающиеся. Вместо прямой
рассмотрим
параллельную ей прямую
и будем искать синус угла
Треугольник прямоугольный. Значит синус искомого угла
равен
По теореме Пифагора найдем длину отрезка
Тогда искомый синус равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде известно, что
Найдите длину диагонали
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора найдем длину
Треугольник прямоугольный, так как прямая
перпендикулярна
плоскости
а значит, перпендикулярна и прямой
По теореме
Пифагора найдем