08. Взаимосвязь функции и ее производной —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Взаимосвязь функции и ее производной

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.01 Взаимосвязь функции и ее производной

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Разделы подтемы Взаимосвязь функции и ее производной

Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ

Угловой коэффициент и угол наклона прямой

Производная в точке касания как тангенс угла наклона касательной

Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной

Расчет касания двух графиков

Производная и возрастание/убывание функции

Производная и точки экстремума функции

Производная и скорость/ускорение материальной точки

Первообразная и площадь под кривой

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73992

На рисунке изображен график функции $y = f(x).$ Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке $x0 = 5.$

$xyy14610= f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением $y = kx.$ Заметим, что она проходит через точку с координатами $(5;−1).$ Следовательно,

− 1= 5k ⇔ k =− 0,2

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

f′(5)= k = −0,2

$xyy14610= f(x)$

Ответ: -0,2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73991

На рисунке изображен график функции $y = f(x).$ Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции в точке $x0 = − 4.$

$xyy110 =f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением $y = kx.$ Заметим, что она проходит через точку с координатами $(−4;3).$ Следовательно,

3= − 4k ⇔ k = −0,75

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

f ′(−4)= k = − 0,75

$xyy110 =f(x)$

Ответ: -0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22945

Прямая $y =− 3x+ 8$ параллельна касательной к графику функции $2 y = x + 7x− 6.$ Найдите абциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Пусть $x0$ — абцисса точки касания. Тогда угловой коэффициент касательной в точке $x0$ равен значению производной в этой точке. Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

′ (2 )′ f (x) = x +7x − 6 = 2x+ 7 f′(x0)= 2x0+ 7

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, значит,

−3 = 2x0+7 ⇔ x0 = −5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#27109

Прямая $y =6x +7$ параллельна касательной к графику функции $g = x2− 5x+ 6.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Поскольку касательная параллельна прямой $y =6x +7,$ то уравнение касательной имеет вид $y = 6x+ c,$ где $c∈ ℝ.$ Поскольку прямая является касательной, то это может быть, только если функции совпадают. Но при этом решение может быть только одно, то есть должно получиться уравнение, дискриминант которого равен 0:

$pict$

Однако если квадратное уравнение имеет $D = 0,$ то его корень равен

b −11 x= − 2a= − 2⋅1 = 5,5

Это значение и есть абсцисса точки касания.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#247

Прямая, заданная уравнением $y = kx + 77$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $k$ , если $tgα = 12$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как тангенс угла $α$ между прямой $y = kx + 77$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $12$ , то $k = tg α = 12$ .

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#248

Прямая, заданная уравнением $y = kx$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $k$ , если $tgα = 0$ .

Показать ответ и решение

Так как тангенс угла $α$ между прямой $y = kx$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $0$ , то $k = tg α = 0$ .

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#258

Прямая, заданная уравнением $y = 1,5x,$ касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$ Найдите $f′(x0).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y =ax +b$ в точке $(x0;f(x0)).$ Таким образом, $f′(x0)= 1,5.$

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#270

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(− 3; 8,5).$ Найдите сумму точек экстремума этой функции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция $f (x )$ достигает локально минимальные значения в точках $0$ , $4$ и $8$ , а локально максимальные значения в точках $− 2$ , $1$ и $6$ . Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна $0 + 4 + 8 + (− 2) + 1 + 6 = 17$ .

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#271

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−2,4;8,7).$ Найдите сумму точек экстремума этой функции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимального или локально максимального значения.

По рисунку можно определить, что функция $f(x)$ достигает локально минимального значения в точках -1, 2 и 5, а локально максимального значения в точках 0, 4 и 8. Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

−1 + 2+ 5+ 0+ 4+ 8= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#272

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 2.8;7.8)$ . Найдите произведение точек экстремума этой функции.

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку можно определить, что функция $f (x )$ достигает локально минимальные значения в точках $1$ и $4$ , а локально максимальные значения в точках $− 2$ , $3$ и $7$ . Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно $1 ⋅ 4 ⋅ (− 2) ⋅ 3 ⋅ 7 = − 168$ .

Ответ: -168

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#275

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= t2 +2t+ 3,$ где $t$ — время от начала движения в секундах, $x(t)$ — расстояние от положения точки в соответствующий момент времени до точки $x =0$ в метрах. Найдите скорость точки в момент времени $t =1$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Скорость движущейся по закону $x(t)$ точки в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$ Найдем производную закона движения:

′ x(t) = 2t+ 2

Тогда в момент времени $t= 1$ с скорость в метрах в секунду равна

x′(1)= 2 ⋅1 +2 = 4

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#278

$F (x)= 2x4− x3+ 7x− π$ — одна из первообразных функции $f(x).$ Найдите $f(1).$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F ′(x).$ Тогда $f(x)= 8x3− 3x2+7,$ откуда $f(1) =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#279

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(0,5;8,5).$ Определите по рисунку количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[2,5;5,5].$

$PIC$

Показать ответ и решение

По определению первообразной $f(x)= F′(x),$ тогда уравнение $f(x)= 0$ равносильно $F ′(x)= 0.$ Производная функции равна 0 в точности в тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси $Ox.$

По рисунку видно, что на отрезке $[2,5;5,5]$ касательная к графику $y = F(x)$ параллельна оси $Ox$ в точках с абсциссами $x= 4$ и $x= 5.$ Таких точек две.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#677

На рисунке изображён график функции $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $y = f(x),$ определённой на интервале $(− 1,1;8,3).$ Определите по рисунку количество решений уравнения $f(x)= 0$ на отрезке $[−1;6].$

$PIC$

Показать ответ и решение

По рисунку видно, что на отрезке $[−1;6]$ касательная к графику $y =F (x)$ параллельна оси $Ox$ в точках с абсциссами $x = −0,5,$ $x= 1,$ $x = 2,$ $x= 3,$ $x = 5.$ Таких точек пять.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1007

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−2,4;8,7).$ Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке $[1;6].$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума — это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: $x= −1;$ 0; 2; 4; 5; 8. Из них на отрезке $[1;6]$ лежат только точки 2; 4; 5, следовательно, их сумма равна $2+ 4+ 5= 11.$

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1223

Прямая $y = 7x − 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x2+ 6x − 8.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Пусть $yk = kx+ b$ — уравнение касательной. Так как прямая $y =7x − 5$ параллельна $yk,$ то их угловые коэффициенты равны, следовательно, $k = 7.$ Кроме того, имеем:

′ f (x)= 2x + 6

Так как угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ равен значению производной функции в точке касания $x0,$ то

7= 2x0+ 6 ⇔ x0 =0,5

Ответ: 0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1288

Прямая $y =9x +5$ является касательной к графику функции $y = 18x2+ ax+ 7.$ Найдите число $a,$ если известно, что абсцисса точки касания отрицательна.

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ – касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0$ , то выполняется следующее:

{ k = f′(x0) yk(x0)= f(x0)

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 9= 36x0+ a 9x0+ 5= 18x20+ ax0+ 7 { a= 9 − 36x0 18x20 = 2

Из этой системы получаем $x0 = ± 13.$ Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то $x0 =− 13.$ Отсюда окончательно

( ) 1 a = 9− 36⋅ − 3 =21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1289

Прямая $y =3x +4$ является касательной к графику функции $f(x)= 3x2− 3x+ d.$ Найдите число $d.$

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0,$ то имеем систему

{ k = f′(x0) yk(x0)= f(x0)

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 3 = 6x0− 3 3x0+ 4 =3x20 − 3x0+ d { x0 = 1 d = −3x20+ 6x0+ 4

Таким образом,

d = −3+ 6+ 4 =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1570

Прямая, заданная уравнением $y = x$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $tgα$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как для прямой $y = x$ коэффициент $k$ равен $1$ , то $tgα = 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1571

Прямая, заданная уравнением $y = 2x− 3,$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α.$ Найдите $tgα.$

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx +b,$ коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx+ b$ и положительным направлением оси $Ox.$

$PIC$

Так как для прямой $y =2x − 3$ коэффициент $k$ равен 2, то

tg α= 2

Ответ: 2

Предыдущий раздел

Следующий раздел