Нахождение основания системы счисления (страница 6)

Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:

\(43_x=3\cdot x^0+4\cdot x^1=3+4x\)

\(323_5=3\cdot5^0+2\cdot5^1+3\cdot5^2=88\)

\(67_9=7\cdot9^0+6\cdot9^1=61\)

Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:

\(61+3+4x=88\)

\(4x=24\)

\(x=6\)

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

\(78_{11}=8\cdot11^0+7\cdot11^1=85\)

\(125_x=5\cdot x^0+2\cdot x^1+1\cdot x^2=5+2x+x^2\)

Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:

\(85=5+2x+x^2\)

\(x^2+2x-80=0\)

\(D=4-4\cdot(-80)=324=18^2\)

\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8 \hfill \\ x=\frac{-2-18}{2}=-\frac{20}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]

Значит, искомое основание равно 8.

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

\(37_{11}=7\cdot11^0+3\cdot11^1=40\)

\(31_x=1\cdot x^0+3\cdot x^1=1+3x\)

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

\(40=1+3x\)

\(39=3x\)

\(x=13\)

Значит, искомое основание равно 13.

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

\(14_{7}=4\cdot7^0+1\cdot7^1=11\)

\(12_x=2\cdot x^0+1\cdot x^1=2+x\)

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

\(11=2+x\)

\(x=9\)

Переведем обе части уравнения вдесятичную систему счисления:

\(246_9=6\cdot9^0+4\cdot9^1+2\cdot9^2=204\)

\(129_x=9\cdot x^0+2\cdot x^1 + 1\cdot x^2=x^2+2x+9\)

Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:

\(204=x^2+2x+9\)

\(x^2+2x-195=0\)

\(D=4-4\cdot(-195)=784=28^2\)

\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+28}{2}=\frac{26}{2}=13 \hfill \\ x=\frac{-2-28}{2}=-\frac{-30}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]

Значит, искомое основнание системы равно 13.

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно \(x^4-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^4-1=15\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Троичная: \(3^4-1=80\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Четверичная: \(4^4-1=255\). Значит, искомое значение — 4. Для проверки переведем 89 в четверичная систему счисления: \(89_{10}=1\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+1\cdot4^0=1121_4\).

Если запись числа трехзначна, максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое значение — 5. Для проверки переведем 67 в пятеричную систему счисления: \(67_{10}=2\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0=232_5\).