Нахождение основания системы счисления (страница 7)

Переведем обе части уравнения вдесятичную систему счисления:

\(246_9=6\cdot9^0+4\cdot9^1+2\cdot9^2=204\)

\(129_x=9\cdot x^0+2\cdot x^1 + 1\cdot x^2=x^2+2x+9\)

Теперь решим новое квадратное уравнение и найдем ответ:

\(204=x^2+2x+9\)

\(x^2+2x-195=0\)

\(D=4-4\cdot(-195)=784=28^2\)

\[\left[ \begin{gathered} x=\frac{-2+28}{2}=\frac{26}{2}=13 \hfill \\ x=\frac{-2-28}{2}=-\frac{-30}{2}<0, \text{основание системы счисления не может быть отрицательным}\\ \end{gathered} \right.\]

Значит, искомое основнание системы равно 13.

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно \(x^4-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^4-1=15\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Троичная: \(3^4-1=80\), слишком мало, запись числа 89 будет состоять более, чем из 4-х цифр.

Четверичная: \(4^4-1=255\). Значит, искомое значение — 4. Для проверки переведем 89 в четверичная систему счисления: \(89_{10}=1\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+1\cdot4^0=1121_4\).

Если запись числа трехзначна, максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Четверичная: \(4^3-1=63\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Пятеричная: \(5^3-1=124\). Значит, искомое значение — 5. Для проверки переведем 67 в пятеричную систему счисления: \(67_{10}=2\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0=232_5\).

Если запись числа трехзначна, максимальное значение числа равно \(x^3-1\), где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: \(10^4-1=10000-1=9999\), максимальное трехзначное число: \(10^3-1=1000-1=999\). Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:

Двоичная: \(2^3-1=7\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Троичная: \(3^3-1=26\), слишком мало, запись числа 67 будет состоять более, чем из 3-х цифр.

Четверичная: \(4^3-1=63\). Значит, искомое значение — 4. Для проверки переведем 63 в четверичную систему счисления: \(63_{10}=3\cdot4^2+3\cdot4^1+3\cdot4^0=333_4\).

Приведем к общему основанию:

\(5^{4}+5^{5}-5^{3}\)

Переведем в пятиричную систему счисления и получим:

\(10000+100000-1000\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 110000\\ \ 1000\\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 104000 \end{array} \end{array}\]

Переведем в семеричную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{15}-1000000\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{15} \\ \ -1\underbrace{000000} \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 666666666000000 \end{array} \end{array}\]

Приведем к общему основанию:

\(8^{190}+8^{100}-8^{6}\)

Переведем в восьмиричную систему счисления и получим:

\(1\underbrace{000...000}_{190} +1\underbrace{000...000}_{100}-1000000\)

\[\begin{array}{r} \text{-} \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{87}0010\underbrace{000...000}_{99}\\ \ 1000000 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{000...000}_{87}0007\underbrace{777...777}_{90}7777000000 \end{array} \end{array}\]