Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 2)

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: \(5^{50}+25^3-125=5^{50}+({5^2})^3-5^3=5^{50}+5^6-125\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного \(5^3\):
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ 10...01000000\\ 1000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{44}444000 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+216^3-321=6^{120}+({6^3})^3-(1\cdot6^2+3\cdot6^1+1\cdot6^0)=6^{120}+6^9-131\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10..0..0000000000\\ 1000000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{109}1000000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного 131:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\ 10..01000000000\\ 131\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{110}555555425 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Переведем числа в десятичную систему счисления:

\(11_7=1\cdot7^0+1\cdot7^1=8_{10}\)

\(455_6=5\cdot6^0+5\cdot6^1+4\cdot6^2=179_{10}\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(8+x=179\)

\(x=179-8=171\)

Переведем числа в десятичную систему счисления:

\(22_3=2\cdot3^0+2\cdot3^1=8_{10}\)

\(33_4=3\cdot4^0+3\cdot4^1=15_{10}\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(8+x=15\)

\(x=15-8=7\)

Переведем числа в десятичную систему счисления:

\(21_3=1\cdot3^0+2\cdot3^1=7_{10}\)

\(62_8=2\cdot8^0+6\cdot8^1=50_{10}\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(7+x=50\)

\(x=50-7=43\)

Переведем числа в десятичную систему счисления:

\(62_7=2\cdot7^0+6\cdot7^1=44_{10}\)

\(32_5=2\cdot3^0+3\cdot5^1=17_{10}\)

Теперь решим уравнение в десятичной системе счисления:

\(44-x=17\)

\(x=44-17=27\)

Переведем в десятичную систему счисления:

\(45_{8}=37_{10}\)

\(55_{7}=40_{10}\)

Сложим:

\(40+37=77\)

Переведем в девятиричную систему счисления

\(77_{10}=85_{9}\)