14. Системы счисления (сложно)

Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 3)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 14. Системы счисления (сложно):

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Решаем задачи
Задание 15 #11467

Сколько пятерок содержится в шестеричной записи числа \(6^{120}+216^3-55\)?

Показать решение

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+216^3-321=6^{120}+({6^3})^3-(1\cdot6^2+3\cdot6^1+1\cdot6^0)=6^{120}+6^9-131\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10..0..0000000000\\ 1000000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{109}1000000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного 131:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\ 10..01000000000\\ 131\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{110}555555425 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Ответ: 7
Задание 16 #11465

Сколько четверок содержится в пятеричной записи числа \(5^{50}+25^3-125\)?

Показать решение

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: \(5^{50}+25^3-125=5^{50}+({5^2})^3-5^3=5^{50}+5^6-125\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного \(5^3\):
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ 10...01000000\\ 1000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{44}444000 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.

Ответ: 3
Задание 17 #11464

Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2051}+81^6+8\)?

Показать решение

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2051}+81^6+8=3^{2051}+({3^4})^6+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)=3^{2051}+3^{24}+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2051}+1\overbrace{0...000}^{24}+22\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 22\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2024}1\underbrace{0...000}_{24}22 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 2
Задание 18 #11463

Сколько единиц в троичной записи числа \(3^{2019}+27^7+3\)?

Показать решение

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2019}+27^7+3=3^{2019}+({3^3})^7+3^1=3^{2019}+3^{21}+3^1\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{21}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1995}1\underbrace{0...000}_{21}10 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3
Задание 19 #11462

Сколько единиц в двочиной записи числа \(2^{2019}+8^5+2\)?

Показать решение

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{2019}+8^5+2=2^{1024}+({2^3})^5+2^1=2^{2019}+2^{15}+2^1\). В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{15}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2001}1\underbrace{0...000}_{15}10 \end{array} \end{array}\]

Ответ: 3
Задание 20 #9964


Запись некоторого натурального десятичного числа в системах счисления с основаниями 4 и 6 оканчивается 0. Найдите минимальное возможное число, удовлетворяющее данному условию.

 

Показать решение


Если число оканчивается цифрой 0, это значит, что оно делится на основание системы счисления без остатка. Значит, необходимо найти наименьшее число, которое кратко как 4, так и 6 - это число 12.

Ответ: 12
Задание 21 #9962


Сколько четверок содержится в пятеричной записи числа \(5^{14}+25^3-117?\)

 

Показать решение


Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, а 117, поскольку оно не является степенью пятерки, перевдем в пятеричную систему счисления, получим:
\(5^{14}+25^3-117=5^{14}+({5^2})^3-(4\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0)=5^{14}+5^6-432.\)
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_71000000 \end{array} \end{array}\] Вычтем из полученного 432:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,4\,4\,4\,5}\\ 10...01000000\\ 432\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_8444013 \end{array} \end{array}\\\] Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы(она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до последней цифры.

Ответ: 3
12

3

4

...

9
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!