Использование формул сокращенного умножения с квадратами
Найдите значение выражения \((2+c)^2-c(c-4)\) при \(c=-\dfrac18\).
По формуле квадрата суммы \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) получим: \[2^2+2\cdot 2\cdot c+c^2-c^2+4c=4+4c+c^2-c^2+4c=4+8c=4+8\cdot \left(-\dfrac18\right)=4-1=3\]
Найдите значение выражения \((4-y)^2-y(y+1)\) при \(y=-\dfrac19\).
По формуле квадрата разности \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) получим: \[4^2-2\cdot 4\cdot y+y^2-y^2-y=16-8y+y^2-y^2-y=16-9y=16-9\cdot \left( -\dfrac 19\right)=16+1=17\]
Найдите значение выражения \(16ab+4(2a-b)^2\) при \(a=\sqrt{14}\), \(b=\sqrt 2\).
По формуле квадрата суммы \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) выражение \((2a-b)^2\) можно переписать в виде \((2a)^2-2\cdot 2a\cdot b+b^2=4a^2-4ab+b^2\). Тогда все выражение примет вид \[16ab+4(4a^2-4ab+b^2)=16ab+16a^2-16ab+4b^2=16a^2+4b^2=16\cdot 14+4\cdot 2= 232\]
Найдите значение выражения \(12ab+2(-3a+b)^2\) при \(a=\sqrt{10}\), \(b=\sqrt 3\).
По формуле квадрата суммы \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) выражение \((-3a+b)^2\) можно переписать в виде \((-3a)^2+2\cdot (-3a)\cdot
b+b^2=9a^2-6ab+b^2\).
Если заметить, что \(-3a+b=b-3a\), то для выражения \((b-3a)^2\) можно применить формулу квадрата разности \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) и, очевидно, получить то же самое: \(b^2-2\cdot 3a\cdot
b+(3a)^2=b^2-6ab+9a^2\).
Все выражение примет вид \[12ab+2(b^2-6ab+9a^2)=12ab+2b^2-12ab+18a^2=2(b^2+9a^2)=2(3+9\cdot 10)=2\cdot 93=
186\]
Найдите значение выражения \(\dfrac{a^2-81}{2a^2-18a}\) при \(a=-0,1\).
По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((a-9)(a+9)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(2a(a-9)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(a-9)(a+9)}{2a(a-9)}=\dfrac{a+9}{2a}\qquad (a-9\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-0,1\) значение выражения равно \[\dfrac{-0,1+9}{2\cdot
(-0,1)}=-\dfrac{8,9}{0,2}=-\dfrac{89}2=-44,5\]
Найдите значение выражения \(\dfrac{1-a^2}{5a^2+5a}\) при \(a=-2\).
По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((1-a)(1+a)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(5a(a+1)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(1-a)(1+a)}{5a(a+1)}=\dfrac{1-a}{5a}\qquad (a+1\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-2\) значение выражения равно \[\dfrac{1-(-2)}{5\cdot
(-2)}=-\dfrac{3}{10}=-0,3\]
Найдите значение выражения \((x+8):\dfrac{x^2+16x+64}{x-8}\) при \(x=12\).
По формуле квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) выражение \(x^2+16x+64\) можно преобразовать: \(x^2+2\cdot x\cdot
8+8^2=(x+8)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x+8)\cdot \dfrac{x-8}{(x+8)^2}=\dfrac{x-8}{x+8}=\dfrac{12-8}{12+8}=\dfrac 4{20}=
0,2\]
