Использование формул сокращенного умножения с квадратами (страница 2)

По формуле квадрата разности \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) выражение \(x^2-14x+49\) можно преобразовать: \(x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=(x-7)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x-7)\cdot \dfrac{x+7}{(x-7)^2}=\dfrac{x+7}{x-7}=\dfrac{-13+7}{-13-7}= \dfrac{-6}{-20}=0,3\]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a=\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}\] Числитель получившейся дроби можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}=\dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}= a-9b\qquad (9ab\ne 0, \ a+9b\ne 0)\]Тогда при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\) мы получим: \[9\sqrt 8+4-9(\sqrt 8-4)=9\sqrt 8+4-9\sqrt 8+36=40\]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac1{4b}-\dfrac1a=\dfrac{a-4b}{4ab}\] Числитель дроби \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}\) можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}=\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}:\dfrac{a-4b}{4ab}= \dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\cdot \dfrac{4ab}{a-4b}=a+4b\qquad (4ab\ne 0, \ a-4b\ne 0)\]Тогда при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\) мы получим: \[3\,\dfrac1{13}+4\cdot 4\,\dfrac3{13}=3+\dfrac1{13}+ 4\cdot \left(4+\dfrac3{13}\right)=3+16+\dfrac1{13}+\dfrac{12}{13}=19+\dfrac{13}{13}=20\]

Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]

Умножим числитель и знаменатель данного выражения на \((3-2)\) (от этого данное выражение не изменит своего значения):

\[\dfrac{(3-2)(2+3)(2^2+3^2)\cdot ...\cdot (2^{256}+3^{256})(2^{512}+3^{512})+(3-2)\cdot2^{1024}}{(3-2)\cdot3^{1024}}\]

Применим формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) для числителя:
\((3-2)(3+2)=3^2-2^2\)
\((3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4\)
\((3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8\)
\(...\)   \((3^{256}-2^{256})(3^{256}+2^{256})=3^{512}-2^{512}\)
\((3^{512}-2^{512})(3^{512}+2^{512})=3^{1024}-2^{1024}\)

Таким образом, дробь примет вид:

\[\dfrac{\left(3^{1024}-2^{1024}\right)+(3-2)\cdot2^{2014}}{(3-2)\cdot3^{1024}} =\dfrac{3^{1024}-2^{1024}+2^{1024}}{3^{1024}}=1\]

Сделаем преобразования, учитывая, что \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\):

\(\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x(y-3x)}{(y-3x)(y+3x)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x}{y+3x}-2=\)  

\(=\dfrac{y^2-4xy-x^2+10x(x+y)}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2+10x^2+10xy}{(y+3x)(x+y)}-2= \)  

\(=\dfrac{y^2+6xy+9x^2}{(y+3x)(x+y)}-2\).  

Числитель полученной дроби можно преобразовать по формуле квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) и получить \(y^2+6xy+9x^2=y^2+2\cdot y\cdot 3x+(3x)^2=(y+3x)^2\). Следовательно, дробь будет равна \[\dfrac{(y+3x)^2}{(y+3x)(x+y) }-2=\dfrac{y+3x}{x+y}-2\]

Заметим, что равенство \(\dfrac{y+x}x=8\) можно переписать в виде \(y+x=8x\) или \(y=7x\) (при условии \(x\ne 0\)). Заметим, что при этих значениях действительно \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\).
Следовательно, выражение примет вид:

\[\dfrac{7x+3x}{x+7x}-2=\dfrac{10x}{8x}-2=\dfrac54-2=-0,75\]

По формуле \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) разности квадратов преобразуем: \(49a^2-9=(7a-3)(7a+3)\). Следовательно, выражение при всех \(a\ne -\frac37; \frac37\) можно переписать в виде: \[(7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac{7a+3-(7a-3)}{(7a-3)(7a+3)}= (7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac6{(7a-3)(7a+3)}=6\]