Квадратные уравнения

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.
Дискриминант \(D=1+4\cdot 40200=160\,801\). Найдем, квадрат какого числа равен \(160\,801\). Заметим, что \(400^2=160\,000\), следовательно, \(\sqrt{160\,801}\) чуть больше, чем \(400\). Подбором убеждаемся, что \(401^2=160\,801\). Следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{1+401}{2}=201 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{1-401}{2}=-200.\] Следовательно, больший корень – это \(x=201\).

2 способ.
Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно \(-40200\), то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например \(a\) и \(-b\) (где \(a, b>0\)). Заметим, что их сумма равна \(1\), следовательно, \(a-b=1\). Попробуем найти \(a\) и \(b\).
Заметим, что \(40200=402\cdot 100=201\cdot 2\cdot 100\). Таким образом, если взять числа \(201\) и \(200\), то их разность равна \(1\).
Минус следует отнести к \(200\), то есть \(x_1=201\), \(x_2=-200\).

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.
Дискриминант \(D=1089+4\cdot 34=1225\). Найдем, чей это квадрат. Это число делится на \(25\), следовательно, корень из него делится на \(5\). Т.к. \(30^2=900\), а \(40^2=1600\), то проверкой убеждаемся, что \(35^2=1225\). Следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-33+35}{2}=1 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{-33-35}{2}=-34.\] Следовательно, наибольший по модулю корень – это \(x=-34\).

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: \(1+33-34=0\), следовательно, один из корней \(x_1=1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-34\)) равен \(x_2=-34\).

1 способ.
Раскроем скобки: \[1-2x+x^2+1=2-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]

2 способ.
Преобразуем: \[(1-x)^2-2(1-x)+1^2=0\quad\Leftrightarrow\quad(1-x-1)^2=0\quad\Leftrightarrow \quad (-x)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]

Т.к. \(D=57-4\cdot 2\cdot 7=1>0\), то уравнение имеет корни.

1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=-\dfrac{\sqrt{57}}2\), \(ab=\dfrac72\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2= \left(-\dfrac{\sqrt{57}}2\right)^2-2\cdot \dfrac72=\dfrac{57}4-7=7,25.\]

2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2= \left(\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\right)^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &x_2^2=\left(\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\right)^2=\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &\Rightarrow \quad x_1^2+x_2^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}+\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}=7,25. \end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем \(4x^2 = 324\), что равносильно \(x^2 = 81\), что равносильно \(x = \pm 9\) – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней \(9\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 121 - 28 \cdot 4 = 121 - 112 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{11 + 3}{2} = 7, \ x_2 = \dfrac{11 - 3}{2} = 4\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 7\) – больший корень уравнения.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 49 - 24 = 25 = 5^2\). Корни \(x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3, \ x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = 0,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 0,5\) – меньший корень уравнения.